期末复习微专题 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

10　【模型构建专题】相似三角形 的基本模型 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 类型一　“A”字型   正“A”字型 斜“A”字型 模 型 展 示 DE∥BC ∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B 结论 △ADE∽△ABC △AED∽△ABC 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1.如图，在△ABC中，AB＝5，点D，E分别是边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型二　“8”字型   正“8”字型 斜“8”字型 模 型 展 示 AB∥CD ∠A＝∠C或∠B＝∠D 结论 △ABO∽△DCO △ABO∽△CDO 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：△ABO∽△CDO. 证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， ∠OBA＝∠ODC． ∴△ABO∽△CDO. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在▱ABCD中，点E是边AD上的一点．已知AE∶ED＝2∶1，AO＝4，求OC的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，连接AE，FB，FB的延长线交AE于点M.求证： (1)△BEM∽△BFC． (2)CF2＝FB·ME. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°. 又∵BE＝CF， 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型三　一线三等角 点P在线段AB上(同侧型) 模 型 展 示 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 点P在线段AB的延长线上(异侧型) 模 型 展 示 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 结 论 ①△ACP∽△BPD ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时， △ACP≌△BPD 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)证明：由题意，得∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB＋∠EFC＝90°. 又∵∠AFB＋∠BAF＝90°， ∴∠EFC＝∠BAF. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABF∽△FCE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型四　旋转型 旋转型 模 型 展 示 ∠1＝∠2且∠B＝∠D 结论 △ABC∽△ADE 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6.如图，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ABC． 求证：DE＝2BC． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，AD＝6，AE＝4，DE＝9，AB＝12，AC＝8. (1)求证：△ADE∽△ABC． (2)求BC的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴AD·BC＝DE·AB． 又∵DE＝2，AB＝5， ∴AD·BC＝2×5＝10. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠BCO， ∠AEO＝∠CBO， ∴△AOE∽△COB， ∴＝. 又∵AE：ED＝2：1，∴AE：AD＝2：3. 又∵AD＝BC，∴AE：BC＝2：3， ∴＝. 又∵AO＝4，∴OC＝6. ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠E＝∠F. 又∵∠EBM＝∠FBC， ∴△BEM∽△BFC． (2)由(1)得△BEM∽△BFC， ∴＝. ∵BE＝CF， ∴＝，即CF2＝FB·ME. 5.如图，在矩形ABCD中，点E为边DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F. (1)求证：△ABF∽△FCE. (2)若AB＝2，AD＝4，求CE的长． (2)由题意，得AF＝AD＝4， ∴BF＝＝＝2， ∴CF＝BC－BF＝AD－BF＝4－2＝2. 又∵△ABF∽△FCE，∴＝， ∴＝，∴CE＝. 证明：∵AB·AD＝AC·AE， ∴＝. 又∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC， 即∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB． 又∵S△ADE＝4S△ABC，∴＝4， ∴2＝＝4，∴＝2， ∴DE＝2BC． 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC， 即∠DAE＝∠BAC． ∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，AC＝8， ∴＝＝，∴△ADE∽△ABC． (2)∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝，即＝，∴BC＝18. $$11【方法技巧专题】比例式的证明技巧 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M是BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.求证：AM2＝DM·ME. 证明：∵DM⊥BC， ∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°， ∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA， ∴∠B＝∠D． ∵AM是Rt△ABC斜边上的中线， 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 技巧二　等线段代换法——替换一条或多条线段 说明：从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定形法”找相似三角形． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．求证：AC·BE＝CE·AD． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，交BP的延长线于点F，BF交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AC的中点，AB，ED的延长线交于点F.求证：AB·AF＝CA·DF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 技巧四　等积代换法——两次相似找中间积 说明：常借助于射影定理的基本图形和结论找中间积． 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE·AB＝AF·AC． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别是点E，F，连接EF.求证：AE·DB＝AD·EF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 技巧一　三点定型法——左右定型或上下定型找相似三角形 说明：要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定形法”找相似三角形． 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F.求证：＝. 证明：∵∠ABF＝∠CBE， 易证∠BAF＝∠C， ∴△ABF∽△CBE， ∴＝. ∴AM＝BM＝MC， ∴∠B＝∠BAM， ∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D． 又∵∠AME＝∠DMA， ∴△AME∽△DMA，∴＝， ∴AM2＝DM·ME. 证明：∵∠ECA＝∠D＝∠B，∠E＝∠E， ∴△CEA∽△BEC， ∴＝＝， ∴AC·BE＝CE·AD． 证明：如图，连接CP，则BP＝PC． 由∠PCA＝∠EBA＝∠F， 可得△PCE∽△PFC， ∴＝， ∴PC2＝PE·PF， ∴BP2＝PE·PF. 技巧三　等比代换法——两次运用相似找中间比 说明：要证明的比例式无法直接通过平行或相似得到时，往往要找中间比进行代换． 5．如图，在▱ABCD的对角线BD上任取一点P，过点P的一条直线分别与边BA，DC的延长线交于点E，G，与边BC，AD分别交于点F，H.求证：＝. 证明：∵DG∥BE， ∴＝. ∵BF∥DH， ∴＝， ∴＝. 证明：在Rt△BAC中， ∵AD⊥BC， ∴△ABD∽△CAD， ∴＝. ∵DE是Rt△ADC的中线， ∴∠C＝∠EDC＝∠BDF＝∠FAD． 又∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA， ∴＝＝， ∴AB·AF＝CA·DF. 证明：证△ABD∽△ADE， ∴＝， ∴AD2＝AE·AB． 同理可证，△ACD∽△ADF， ∴＝， ∴AD2＝AF·AC， ∴AE·AB＝AF·AC． 证明：证△ACF∽△ADC， ∴＝， ∴AC2＝AF·AD． 同理可证，AC2＝AE·AB， ∴AF·AD＝AE·AB，即＝. 又∵∠EAF＝∠DAB， ∴△AEF∽△ADB，∴＝， 即AE·DB＝AD·EF. $$12　【方法技巧专题】作平行线构造“A”字形或“8”字形相似 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 方法二：过点A作平行线构造双“8”字形 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 方法三：过点B作平行线构造双“8”字形 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 方法四：过点C作平行线构造“A”“8”字形 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型一　构造“A”字形或“8”字形证明 1．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD，过点B作直线分别交AD，AC于点E，F.求证：＝. 方法一：过点D作平行线构造双“A”形 证明：如图1，过点D作DG∥BF交AC于点G， ∴＝＝1， ∴FG＝GC． 同理可得 ＝，∴＝. 证明：如图2，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G， 则 ＝. 同理可得 ＝＝，∴＝， ∴＝. 证明：如图3，过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G， 则AD＝DG，BG＝AC， ∴＝， 即AE·(AF＋FC)＝AF·(2ED＋AE)， ∴AE·FC＝AF·2ED， ∴＝. 证明：如图4，过点C作CG∥BF交AD的延长线于点G， 则DG＝DE， ∴＝＝， ∴＝. 类型二　构“A”字形或“8”字形求值 2．如图，在△ABC中，延长BC到点D，使CD＝BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E，求的值． 解：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G， 则CG＝BF＝AF， ∴＝＝2， ∴＝. 3．如图，在△ABC中，AE：EB＝1：3，BD：DC＝2：1，AD与CE相交于点F，求＋的值． 解：如图，过点D作DG∥EC交AB于点G， 易得＝＝2. 设BG＝2x，则GE＝x， ∴AE＝EB＝x， ∴＝＝1. ∵DG∥EC， ∴＝＝，＝＝. 设EF＝y，则DG＝2y，EC＝3y， ∴FC＝2y，∴＋＝＋1＝. 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE＝3ED，DF＝CF，求的值． 解：如图，过点F作FN∥AD交AB于点N，交BE于点M.设DE＝a， 则AE＝3a，NF＝AD＝4a. ∵AN＝DF＝2a， ∴NM＝AE＝a， ∴FM＝a. 易证△AEG∽△FMG， ∴＝＝＝. $$13　【方法技巧专题】作垂线构造直角三角形相似 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，AD∥BC，∠BCD＝90°，DE⊥AB于点E.若BC＝3，AD＝6，求AE·AB的值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 技巧二　作垂线→构造“三垂直型”相似 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，求边AC的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 技巧一　作垂线→构造直角三角形相似 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF⊥AC于点F.若BC＝2，求CF·AC的值． 解：如图，过点A作AM⊥BC于点M. ∵AB＝AC，AM⊥BC， BC＝2， ∴BM＝CM＝BC＝. ∵BF⊥AC，AM⊥BC， ∴∠BFC＝∠AMC＝90°. 又∵∠C＝∠C， ∴△BFC∽△AMC， ∴＝， ∴CF·AC＝CM·BC＝BC2＝×(2)2＝4. 解：如图，过点B作BG⊥AD于点G.证△ABG∽△ADE， ∴＝， 即AE·AB＝AD·AG. ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝180°－∠BCD＝90°. ∵BG⊥AD，∴∠BGD＝90°， ∴四边形BCDF是矩形，∴DG＝BC＝3， ∴AG＝AD－DG＝6－3＝3， ∴AE·AB＝AD·AG＝6×3＝18. 解：如图，过点B作MN⊥l2，交l1于点N，交l3于点M， 则△NAB∽△MBC， ∴＝＝， ∴NA＝， ∴AB＝＝＝， ∴AC＝2AB＝. 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5.求BD的长． 解法一：如图，连接AC，过点B作BE⊥CD交DC的延长线于点E，AC＝5，易证AC2＋CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°. 易证△ABC∽△CEB， ∴＝＝， ∴＝＝，∴CE＝，BE＝， ∴BD＝＝2. 解法二：易证∠ACD＝90°，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∴△DCF∽△CAB， ∴＝＝＝＝2，∴CF＝6，DF＝8， ∴BD＝＝2. $$14　【难点探究专题】特殊三角形中的相似问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一　直角三角形中的相似——射影型相似 射影定理： 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高，则有(1)BD2＝AD·DC；(2)AB2＝AD·AC；(3)BC2＝CD·CA． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二　等腰(等边)三角形中的相似——一线三等角型 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D，E分别是边BC，AB上的一点，∠ADE＝∠C． (1)求证：AD2＝AE·AB． (2)∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，△ACB为等腰直角三角形，∠C＝90°，点O是斜边AB的中点，∠EOF＝45°. (1)求证：△AOE∽△BFO. (2)若AB＝4，求AE·BF的值． 解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°， ∴∠B＝∠A＝45°. ∵∠EOB＝∠A＋∠AEO， 且∠EOF＝∠B＝∠A＝45°， ∴∠FOB＝∠AEO， ∴△AOE∽△BFO. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．若＝，求的值． 解：由射影定理，得 AB2＝BD·BC， AC2＝CD·BC． ∴＝＝2， ∴＝. 2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是边BC上的一点，点E是边AB上的 一点，AD交CE于点F，AD⊥CE.若＝，求的值． 解：如图，过点B作BG⊥BC交CE的延长线于点G，则AC∥BG， ∴＝＝＝. 易证△ACD≌△CBG， ∴CD＝BG， ∴CD＝BD， ∴＝＝，＝＝，∴＝. 解：(1)证明：∵∠ADE＝∠C， ∠DAE＝∠BAD， ∴△DAE∽△BAD， ∴＝， ∴AD2＝AE·AB． (2)∠ADC＝∠BED．理由如下： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠ADC＝∠DAE＋∠B，∠BED＝∠DAE＋∠ADE， ∴∠ADC＝∠BED． (2)由(1)得△AOE∽△BFO， ∴＝，即AE·BF＝OA·OB． 又∵AB＝4，点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝2， ∴AE·BF＝2×2＝4. $$15　【难点探究专题】特殊四边形中的相似问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 三　矩形中的相似 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，求BF的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 一　平行四边形中的相似 1．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证： (1)△AMB∽△AND． (2)＝. 证明：(1)略． (2)由(1)得＝，∠BAM＝∠DAN. 又∵AD＝BC， ∴＝. ∵∠B＋∠BCD＝∠MAN＋∠BCD＝180°， ∴∠B＝∠MAN，∴△AMN∽△BAC， ∴＝. 二　菱形中的相似 2．如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，点G是AC的中点，且∠EGF＝60°.求的值． 解：如图，过点A作AH∥GE交BC于点H，则∠CGE＝∠CAH.由∠BAC＝∠EGF＝60°，可得∠FGC＝∠BAH，∠B＝∠GCF＝60°， ∴△ABH∽△GCF，∴＝＝＝2， ∴CF＝BH. 又∵GE∥AH， ∴＝＝，∴CE＝CH， ∴CE＋CF＝CH＋BH＝BC， ∴＝. 解：在矩形ABCD中， CD＝AB＝2，AD＝BC＝3， ∠BAD＝∠D＝90°. ∵点E是边CD的中点， ∴DE＝CD＝1， ∴AE＝ ＝＝. ∵BF⊥AE， ∴∠BAE＋∠DAE＝∠DAE＋∠AED＝90°， ∴∠BAE＝∠AED， ∴△ABF∽△EAD， ∴＝， ∴＝， ∴BF＝. 四　正方形中的相似 4．如图，在正方形ABCD中，点P是边BC上的一点，CP＝2BP，PA⊥PN交CD于点N，交AC于点M，求的值． 解：如图，延长NP交AB的延长线于点G.设BP＝a，则CP＝2a，AB＝3a. 易证△PCN∽△ABP， ∴＝， ∴＝，CN＝a， ∴BG＝a， ∴＝＝. $$16　【基础提升专题】反比例函数 的图象与性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 一、三 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D y1<y2 创新作业本·数学九年级上（北师大版） A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (1)当1＜x≤2时，y的取值范围是____________. (2)当－3≤x＜－2时，y的取值范围是________________. (3)当x＞4时，y的取值范围是__________________. (4)当－1＜x＜2且x≠0时，y的取值范围是_______________. (5)当2＜y＜3时，x的取值范围是______________. 3≤y＜6 －3＜y≤－2 0＜y＜1.5 y＜－6或y＞3 2＜x＜3 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 一　反比例函数的表达式 1．若点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，则k的值是(　 　) A．8 B．－2 C．－ D．－8 2．如图，在平面直角坐标系内，点O是坐标原点．在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．若OB＝4，AC＝3，则k＝______. 二　反比例函数的图象分布 3．反比例函数y＝－的图象在(　 　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)，B(2m，－1)，则这个反比例函数的图象在第__________象限． 三　反比例函数的增减性 (一)已知k的符号比较坐标大小 5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－的图象上的点，并且y1<0<y2<y3，则下列各式中正确的是(　 　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x1<x3 D．x2<x3<x1 6．已知点A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是_______________. (二)已知坐标大小确定k的取值范围 7．对于反比例函数y＝，当x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(　 　) A．m>4 B．m<4 C．m>－4 D．m<－4 8．已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在反比例函数y＝的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是(　 　) A．m＞0 B．m＜0 C．m＞－1.5 D．m＜－1.5 (三)求自变量或函数值的取值范围 9．画出反比例函数y＝的图象，借助图象直接写出结果： $$17【基础提升专题】k的几何意义与面积 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B　 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B　 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型一　k与三角形的面积 1．如图，点P是双曲线上的一点，图中阴影部分的面积为3，则此反比例函数的表达式为(　 　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 2．如图，点A在反比例函数y1＝(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，交反比例函数y2＝(x＞0)的图象于点C，点P为y轴上的一点，连接PA，PC，则△APC的面积是(　 　) A．5 B．6 C．11 D．12 类型二　k与平行四边形的面积 3．如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－的图象于点B，以AB为边作 ▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则▱ABCD的面积是(　 　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，▱ABCD的顶点B在y轴上，横坐标相 等的顶点A，C分别在y＝与y＝的图象上，则▱ABCD的面积是(　 　) A．(k1＋k2) B．k1＋k2 C．(k1－k2) D．k1－k2 类型三　k与特殊平行四边形的面积 5．如图，正方形OABC的对角线OB在x轴上，点A落在反比例函数y＝第一象限内的图象上．若正方形OABC的面积为8，则k的值是(　 　) A．2 B．4 C．8 D．16 6．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则它的面积是(　 　) A．4 B．6 C．8 D．12 类型四　k与多边形的面积 7．如图，在平面直角坐标系内，过点M(－3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积是________. $$18　【热点题型专题】反比例函数与一次函数的综合 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） A　 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (－2，－3) 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，已知一次函数y＝－2x＋3与反比例函数的图象相交于点A(－1，m)，B(n，－2)． (1)求反比例函数的表达式及m，n的值． (2)求△AOB的面积． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 题型一　判断函数图象 1．反比例函数y＝(kb≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　 　) 2．函数y＝kx＋b与y＝(kb≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是(　 　) 题型二　求两函数图象交点或由交点求函数表达式 3．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1＝(k为常数，且k≠0)的图象与正比例函数y2＝ax(a为常数，且a≠0)的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为(2,3)，则点B的坐标为__________________. 4．如图，点M是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点．若OM＝4，则k＝_________. 4 5．如图，直线y1＝2x－6与反比例函数y2＝的图象交于点A(4,2)，求k的值及另一个交点的坐标． 解：把A(4,2)代入y2＝，得2＝，解得k＝8. 由 解得或 ∴另一个交点的坐标为(－1，－8)． 6.已知点A(－6,3)，B(n，－6)是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象的两个交点，求此反比例函数和一次函数的表达式． 解：把点A的坐标代入反比例函数y＝， 得m＝－6×3＝－18， ∴反比例函数的表达式为y＝－. ∵点B(n，－6)在y＝－的图象上， ∴－6＝－，解得n＝3，则点B的坐标为(3，－6)． 把点A，B的坐标分别代入一次函数y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x－3. 题型三　利用图象解方程或不等式 7．如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y2＝(k≠0)的图象交于点C (－4，－2)，D(2,4)． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)当x为何值时，y1>0？请直接写出x的取值范围． (3)当x为何值时，y1<y2？请直接写出x的取值范围． 解：(1)y1＝x＋2，y2＝. (2)当x>－2时，y1>0. (3)当x<－4或0<x<2时，y1<y2. 8．如图，已知点A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)直接写出方程kx＋b－＝0的解． (3)直接写出不等式kx＋b－＜0的解集． 解：(1)∵点B(2，－4)在反比例函数y＝的图象上， ∴－4＝，解得m＝－8， ∴反比例函数的表达式为y＝－. ∵点A(－4，n)在反比例函数y＝－的图象上， ∴n＝2，∴点A的坐标为(－4,2)． ∵点A(－4,2)，B(2，－4)在一次函数y＝kx＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x－2. (2)x1＝－4，x2＝2. (3)－4＜x＜0或x＞2. 题型四　求解与线段或面积有关的几何图形问题 9．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A，B，点B的纵坐标是－1，过点A作AC⊥x轴于点C，且OC＝1，△AOC的面积为1. (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)若点D是反比例函数图象上的一点， 且到点A，C的距离相等，求点D的坐标． 解：(1)∵OC＝1，S△AOC＝1， ∴OC·AC＝1，∴AC＝2，∴点A(1,2)． 把点A(1,2)代入y＝，得2＝，解得k＝2， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵点B的纵坐标是－1， ∴－1＝，解得x＝－2， ∴点B的坐标为(－2，－1)． 把点A(1,2)，B(－2，－1)代入y＝ax＋b，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋1. (2)∵点D到点A，C的距离相等， ∴点D的纵坐标为1. 把y＝1代入y＝，得x＝2， ∴点D的坐标为(2,1)． 解：(1)把点A(－1，m)，B(n，－2)代入一次函数y＝－2x＋3， 得 ∴解得 设反比例函数的表达式为y＝， 把点A(－1,5)代入反比例函数y＝，得k＝－1×5＝－5， ∴反比例函数的表达式为y＝－. (2)当y＝0时，则0＝－2x＋3，解得x＝1.5，故点C的坐标为(1.5,0)， ∴OC＝1.5， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×1.5×5＋×1.5×2＝5.25. $$1　【方法技巧专题】构造斜边上的中线 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 构造技巧一　遇直角三角形斜边中点→连斜边中线 1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点，连接ME，MD，MN. 求证：MN⊥DE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 构造技巧二　延长法→构造斜边中线 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E是CD的中点．求证：AE＝BE. 证明：如图，延长AE 与BC的延长线交于点F， 易证△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF＝BE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， 点M是BC的中点． ∴ME＝MD＝BC． ∵点N是DE的中点， ∴MN⊥DE. 2．如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠DBC＝60°，点E是AB的中点，EM⊥CD于点M. (1)求证：DM＝CM. (2)求的值． 解：(1)如图，连接CE，DE，证DE＝AB，CE＝AB， ∴DE＝CE＝EB． ∵EM⊥CD， ∴DM＝CM. (2)证∠DEA＝2∠DBE，∠AEC＝2∠EBC， ∴∠DEC＝2∠DBC＝120°，∴∠DCE＝30°. 设EM＝1，则CE＝2，CM＝，∴CD＝2. 又∵AB＝2CE＝4，∴＝＝. 构造技巧三　遇直角→取斜边中点构造斜边中线 4．如图，点D为等边三角形ABC的边BC上的一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF. (1)求的值． (2)若AB＝2，求EF长的最小值． 解：(1)如图，取AD的中点G，连接GE，GF， 则GE＝GF＝AD， ∠EGF＝2∠BAC＝120°. 易证EF＝GE＝AD， ∴＝. (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵当AD的长最小时，EF的长最小， ∴当AD＝AH＝时，EF＝， 即EF长的最小值为. $$2　【方法技巧专题】矩形中的折叠问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、将矩形沿对角线折叠 1．如图，将矩形ABCD沿BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE. (1)求证：BF＝DF. (2)求证：AE∥BD． (3)若AB＝4，BC＝8，求S△BFD． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、折痕过矩形的一个顶点 2．如图，折叠矩形的一边AD，点D落在边BC的点F处，AB＝6，BC＝10，求EC的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC上，将矩形沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，求AE的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 三、折痕不经过矩形顶点 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合． (1)求证：AE＝AF. (2)求S△AEF. (3)求EF的长． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)证∠ADB＝∠CBD＝∠EBD即可． (2)证明：∵BE＝BC＝AD，BF＝DF， ∴AF＝EF， ∴∠AEB＝∠EAF＝∠DBE， ∴AE∥BD． (3)设DF＝BF＝x，则AF＝8－x. 在Rt△ABF中，42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5， ∴S△BFD＝×5×4＝10. 解：∵BC＝AD＝AF＝10，AB＝6，∴BF＝8， ∴CF＝2. 设DE＝EF＝x， 则CE＝6－x. 在Rt△CEF中，(6－x)2＋22＝x2， 解得x＝，∴CE＝6－＝. 解：∵AB＝AF＝6，BC＝8， ∴AC＝10，CF＝4. 设BE＝EF＝x， 则CE＝8－x. 在Rt△EFC中，x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3， ∴AE＝＝＝3. 解：(1)证∠AFE＝∠FEC＝∠AEF即可． (2)设BE＝x，则CE＝8－x＝AE. 在Rt△ABE中， 42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3， ∴AE＝5＝AF， ∴S△AEF＝×5×4＝10. (3)如图，过点F作FM⊥BC于点M， 则BM＝AF＝5，∴EM＝2. 在Rt△EFM中， EF＝＝＝2. $$3【方法技巧专题】四边形中的最值问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、利用垂线段最短求最值 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上移动(点E，F不与点B，C，D重合)．求△CEF面积的最大值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的一个动点，求PK＋QK的最小值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、利用两点之间线段最短求最值 3．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M为AC上的一个动点，求MD＋ME的最小值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边AD，CD上的动点，且AE＝DF，BE交AF于点H，AB＝2，连接DH. (1)求证：AF⊥BE. (2)求线段DH的最小值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝90°. 又∵AE＝DF， ∴△AEB≌△DFA(SAS)， ∴∠FAD＝∠EAD． 又∵∠FAD＋∠HAB＝∠ABH＋∠HAB＝90°， ∴AF⊥BE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：如图，连接AC．证△ABE≌△ACF(SAS)， S菱形ABCD＝8，S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝S△ABC－S△AEF＝4－S△AEF. 当S△AEF最小时，S△CEF最大， 而S△AEF＝AE2， 故当AE最小时，S△AEF最小， 此时AE⊥BC，AE＝2 ， ∴S△CEF的最大值为. 解：如图，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q交BD于点K′，连接PK′，P′K. 易证PK＋QK＝P′K＋QK≥P′Q. 要使PK＋QK最小，只需P′Q最小， 故此时P′Q⊥CQ，由勾股定理可求得 P′Q＝， 故PK＋QK的最小值为. 解：∵点B，D关于AC对称，故连接BE交AC于点M′，连接DM′，则MD＋ME的最小值为BE. 连接AE，易证∠BAE＝90°. ∵DE＝2，AD＝4， ∴AE＝＝＝2， ∴BE＝＝＝2， ∴MD＋ME的最小值为2. (2)如图，取AB的中点O，连接OH，OD， ∴OH＝AB＝1，OD＝＝＝.在△OHD中，DH＞OD－OH，即DH＞－1， 故点O，H，D在同一条直线上时，线段DH最小，∴线段DH的最小值为－1. $$4　【方法技巧专题】巧用配方法解题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、运用配方法解一元二次方程 1．解方程： (1)x2－2x＝4. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)x2－2x＝2x＋1. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、运用配方法解多元二次方程 2．若实数a，b满足a2＋b2＋4a＋2b＋5＝0，求a，b的值． 解：∵a2＋b2＋4a＋2b＋5＝(a＋2)2＋(b＋1)2＝0， ∴(a＋2)2＝0，(b＋1)2＝0， ∴a＝－2，b＝－1. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 三、运用配方法判定三角形的形状 3．已知△ABC的三边为a，b，c，且c＝5，a2－6a＋b2－8b＋25＝0.求证：△ABC是直角三角形． 解：∵a2－6a＋b2－8b＋25＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＝0，a＝3，b＝4. ∵c＝5，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 四、运用配方法求最值 4．阅读理解并解答： (1)把一个多项式进行配方可以来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0， ∴(x＋1)2＋2≥2. 则代数式x2＋2x＋3的最小值是______，这时相应的x的值是________. (2)求代数式－x2＋14x＋10的最小(或最大)值，并写出相应的x的值． 2 －1 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)由题意，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，当x＝－1时取到最小值． 故最小值为2，相应的x＝－1. (2)－x2＋14x＋10＝－(x2－14x＋49－49)＋10 ＝－(x－7)2＋59≤59， 则代数式－x2－14x＋10的最大值是59，这时相应的x的值是7. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．已知a，b为实数，求代数式a2＋b2－a－2b＋3的最小值． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 五、运用配方法判断代数式的符号 6．求证：代数式4x2－4x＋3的值总是正数． 证明：∵4x2－4x＋3＝4x2－4x＋1＋2＝(2x－1)2＋2>0， ∴代数式4x2－4x＋3的值总是正数． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．已知多项式A＝x2＋2x＋n2，多项式B＝2x2＋4x＋3n2＋3.判断多项式A与B的大小关系，并说明理由． 解：B>A．理由如下： B－A＝2x2＋4x＋3n2＋3－(x2＋2x＋n2) ＝x2＋2x＋2n2＋3 ＝(x＋1)2＋2n2＋2. ∵(x＋1)2≥0,2n2≥0， ∴(x＋1)2＋2n2＋2>0， ∴B>A． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：∵x2－2x＋1＝4＋1， ∴(x－1)2＝5， ∴x＝1±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 解：∵x2－2x＝2x＋1， ∴x2－4x＝1， ∴x2－4x＋4＝1＋4， 即(x－2)2＝5， ∴x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. 解：∵原式＝2＋(b－1)2＋， ∴最小值为. $$5　【母题探究专题】根的判别式的应用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、根据方程根的情况，求待定系数的值或取值范围 1．若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是(　 　) A．k≥1　 B．k＞1　 C．k＜1　 D．k≤1 2．若关于x的方程x2－6x＋3k＝0有两个相等的实数根，则k的值是______. 3．若关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0有一个根为－1，则m的值是__________. D 3 0或2 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、根据判别式的值，确定方程根的情况 5．若点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　 　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一个根为0 B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，其中p为实数．求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：原方程化成一般形式为x2－5x＋4－p2＝0， 则Δ＝(－5)2－4(4－p2)＝9＋4p2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．已知关于x的一元二次方程x2＋2(a－3)x＋a2－7a－b＋12＝0有两个相等的实数根，且满足2a－b＝0. (1)求a，b的值． (2)已知k为实数，求证：关于x的一元二次方程(－a＋b)x2＋bkx＋2k－(a＋b)＝0有两个不相等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)∵Δ＝4(a－3)2－4(a2－7a－b＋12)＝0， ∴a＋b－3＝0. 又∵2a－b＝0，∴a＝1，b＝2. (2)证明：∵a＝1，b＝2， ∴原方程为x2＋2kx＋2k－3＝0. ∵Δ＝(2k)2－4(2k－3)＝4k2－8k＋12＝4(k－1)2＋8>0， ∴关于x的一元二次方程(－a＋b)x2＋bkx＋2k－(a＋b)＝0有两个不相等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)由题意，得 Δ＝32－4(m－2)×(－1)>0， 即4m＋1>0， 解得m>－. 又∵m－2≠0，即m≠2， ∴m的取值范围是m>－且m≠2. (2)∵方程的两个根都是有理数， ∴为有理数且不为0. 可取＝1，∴m＝0. 当m＝0时，原方程化为－2x2＋3x－1＝0， 解得x1＝1，x2＝. $$6【类比归纳专题】一元二次方程的解法 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 一、用直接开平方法解方程 1．(x＋1)2＝9. 解：x1＝2，x2＝－4. 2．3(x－2)2＝12. 解：x1＝4，x2＝0. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 二、用配方法解方程 3．x2＋2x－1＝0. 4．x2－6x－7＝0. 解：x1＝7，x2＝－1. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 三、用公式法解方程 5．x2－3x－1＝0. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．5x2－8x＝－2. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 四、用因式分解法解方程 7．(x＋1)(2x－5)＝x＋1. 解：(x＋1)(2x－5)－(x＋1)＝0， (x＋1)(2x－5－1)＝0， ∴x＋1＝0或2x－6＝0， ∴x1＝－1，x2＝3. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．2x2－4x－30＝0. 解：x2－2x－15＝0， (x－5)(x＋3)＝0， ∴x－5＝0或x＋3＝0， ∴x1＝5，x2＝－3. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 五、用适当的方法解方程 9．3(x－1)2－27＝0. 解：(x－1)2＝9， x－1＝±3， ∴x1＝4，x2＝－2. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．x2－4x＝12. 解：x2－4x－12＝0， (x－6)(x＋2)＝0， ∴x－6＝0或x＋2＝0， ∴x1＝6，x2＝－2. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．3x(x－1)＝2x－2. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．3x2＋5x－2＝0. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：x1＝－1＋，x2＝－1－. 解：可知a＝1，b＝－3，c＝－1. ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13. ∴x＝， 即x1＝，x2＝. 解：将方程化为一般形式，得5x2－8x＋2＝0. 可知a＝5，b＝－8，c＝2. ∴Δ＝82－4×5×2＝24， ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝. 解：3x(x－1)－2(x－1)＝0， (3x－2)(x－1)＝0， ∴3x－2＝0或x－1＝0， ∴x1＝，x2＝1. 解：(3x－1)(x＋2)＝0， ∴3x－1＝0或x＋2＝0， ∴x1＝，x2＝－2. $$7　【类比归纳专题】一元二次方程 的实际应用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 类型一　图形面积问题 1．如图，要设计一幅长30 cm、宽20 cm的图案，其中有一横一竖的矩形彩条，横、竖彩条的宽度之比为2∶3.若要彩条所占面积是图案面积的19%，则横、竖彩条的宽分别是多少厘米？ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：设横、竖彩条的宽分别是2x cm,3x cm， 则(20－2x)(30－3x)＝81%×600， 解得x1＝1，x2＝19. 当x＝19时，2x＞20(不合题意，舍去)． ∴x＝1. 答：横、竖彩条的宽分别是2 cm,3 cm. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长12 m的住房墙，另外三边用长25 m的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽1 m的门．问当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2? 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边的长为x m， 则平行于墙的一边的长为(25－2x＋1)m. 由题意，得x(25－2x＋1)＝80， 整理，得x2－13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8. 当x＝5时，26－2x＝16＞12(不合题意，舍去)； 当x＝8时，26－2x＝10＜12. 答：当所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为80 m2. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型二　平均变化率问题 4．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元．若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． 解：设下降的百分率为x. 由题意，得100(1－x)2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：每次下降的百分率为10%. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元．由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份的利润增加4.8万元．假设该产品的利润每月的增长率相同，求这个产品的月增长率． 解：设这个产品的月增长率为x. 由题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)． 答：这个产品的月增长率是20%. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型三　营销问题 6．某商品现售价为每件60元，每周可卖出300件．经调查发现，售价每下降1元，每周可多卖出20件．已知该商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6 080元的利润，应将销售单价定价为多少元？ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：设每件降价x元，则每件销售单价为(60－x)元，每周销量为(300＋20x)件． 由题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080， 解得x1＝1，x2＝4. ∵在顾客得实惠的前提下进行降价， ∴取x＝4， ∴定价为60－4＝56(元)． 答：应将销售单价定价为56元． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝6 cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，1 s后点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．求点Q从点B开始出发经过多少秒后， △PBQ的面积为6 cm2. 解：设点Q从点B开始出发经过x s后，△PBQ的面积等于6 cm2. 由题意，得AC2＝AB2＋BC2， ∴BC＝＝＝12(cm)． 又∵S△PBQ＝6，BP＝6－(x＋1)＝5－x，BQ＝2x， ∴·2x·(5－x)＝6，解得x1＝2，x2＝3. 故点Q从点B开始出发经过2 s或3 s后，△PBQ的面积为6 cm2. $$8　【类比归纳专题】概率中的放 回与不放回问题 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 类型一　显性放回问题 1．一个不透明的口袋里有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球． (1)两次摸到的小球标号相同的概率是_______. (2)两次摸到的小球标号的和等于4的概率是_________. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．一个布袋里装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．从布袋里随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再 摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是_________. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．一个不透明的口袋里有3个小球，上面分别标有数字1,3,4，每个小球除所标数字外都相同．甲先从口袋里随机取出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋里随机取出一个小球记下数字．利用画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之积为偶数的概率． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 类型二　隐性不放回问题 4．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀．从这堆图片中随机抽出两张，则这两张图片恰好能组成一张完整风 景图片的概率是_________. 5．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档．若甲、乙两 人各抽取了一张，则两人恰好成为游戏搭档的概率是______. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率． (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：画树状图如图所示： 总共有9种等可能的结果，其中数字之积为偶数的结果有5种，所以取出的小球上的数字之积为偶数的概率为. $$9　【热点题型专题】概率的综合应用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．某学校为了了解九年级学生每天作业完成时间的情况，对九年级部分同学进行了调查统计，整理并绘制成如下图表，其中扇形统计图中“C”的圆心角为90°. 组别 作业完成时间/h 频数 A 1.5≤x<2 a B 2≤x<2.5 12 C 2.5≤x<3 b D 3≤x<3.5 8 E 3.5≤x<4 6 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (1)本次共抽取了________名同学进行调查，表中的a＝______，b＝________. (2)若该学校九年级有600名学生，据此估计该学校学生每天作业完成时间不少于2.5 h的人数． 40 4 10 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (3)在抽取调查的学生中，D组有已知姓名的两男两女，E组有已知姓名的两女一男．现要从已知姓名的D，E两组学生中各抽取一名同学，了解其每天晚上作业完成时间的具体情况，则抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是多少？ 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．环保兴趣小组的李亮同学想了解本小区1 200户家庭的用水情况，他随机调查了50户家庭的月平均用水量(单位：t)，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数直方图. 月均用水量/t 频数 百分比 2≤x<3 2 4% 3≤x<4 12 24% 4≤x<5 ________ __________ 5≤x<6 10 20% 6≤x<7 ______ 12% 7≤x<8 3 6% 8≤x<9 2 4% 15　 30%　 6 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (1)补充完整频数分布表和频数直方图． (2)若每户平均用水量“大于或等于4 t且小于7 t”为中等用水量家庭，请你估计李亮所在的小区属于中等用水量的家庭大约有多少户？ (3)从月平均用水量在2≤x＜3和8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2户，请利用画树状图或列表的方法求抽取出的2户家庭来自不同范围的概率． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)补充完整频数分布表和频数直方图如图所示． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．某中学开展普通话演讲比赛．九(1)、九(2)两个班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，10名选手的复赛成绩如图所示． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (1)根据统计图补充完整下面的成绩统计分析表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 九(1) 班 85 _______ 85 _______ _______ 60% 九(2) 班 85 80 _______ 160 100% _______ 85 70 100% 100 40% 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)九(1)班学生说他们的复赛成绩好于九(2)班，结合图表，请你给出三条支持九(1)班学生观点的理由． 解：(2)理由①：九(1)班选手成绩的中位数比九(2)班高； 理由②：九(1)班选手的成绩的方差小，成绩稳定； 理由③：九(1)班的优秀率大于九(2)班． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (3)若从复赛成绩为100分的3名选手中任选2人参加学校决赛，求选中的两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的概率． (3)将九(1)班的1名选手记为甲，九(2)班2名选手分别记为乙、丙，画树状图如图所示： 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(2)在抽取的40名同学中，每天作业完成时间不小于2.5 h的人数为10＋8＋6＝24， 估计该学校九年级有600×＝360(人)每天作业完成时间不少于2.5 h. (3)列表如下： 男1 男2 女1 女2 男 男1男 男2男 女1男 女2男 女1 男1女1 男2女1 女1女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 女2女2 总共有12种等可能的结果，其中“一男一女”的结果有6种，所以，P(抽取到的两名学生刚好是一男一女)＝＝. (2)中等用水量的家庭大约有1 200×(30%＋20%＋12%)＝744(户)． (3)用水量在2≤x＜3范围的两户用a，b表示，用水量在8≤x＜9范围内的两户用1,2表示． 画树状图如图所示： 则抽取出的2户家庭来自不同范围的概率为＝. ∴总共有6种等可能的结果，其中两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的有4种情况， ∴两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的概率为＝. $$