专题4.4 数轴动点问题必考八大类型（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版2024）

专题4.4 数轴动点问题必考八大类型（46题） 【苏科版2024】 【类型1 数轴上点的平移问题】 1 【类型2 数轴上的中点问题】 2 【类型3 数轴上的行程问题】 4 【类型4 数轴上的和差倍分】 6 【类型5 数轴上的动点与定值】 8 【类型6 数轴上的动线段问题】 10 【类型7 数轴上点的往返运动】 12 【类型8 数轴中的新定义问题】 14 【类型1 数轴上点的平移问题】 1．（2023秋•西乡塘区校级月考）数轴上的点M表示有理数﹣2，将点M向右平移1个单位长度到达点N，点E到点N的距离为3，则点E表示的有理数为 　 　． 2．（2023秋•新吴区期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　 　个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　 ． 3．（2023秋•高港区校级月考）对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则AB＝　 　． 4．（2023秋•偃师市月考）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝22，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为8，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 　． 5．（2023秋•广安期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 　27　后该点到原点的距离不小于41． 6．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【类型2 数轴上的中点问题】 1．（2023秋•淮阳区期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是﹣9，﹣1，1，且点C为线段AB的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．若DE＝3，则BF＝（　　） A． B． C． D．或 2．（2023秋•监利市期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（　　） A．﹣9 B．﹣9.5 C．﹣10 D．﹣10.5 3．（2023秋•武汉期末）数轴上点A表示的数为﹣1，点B，C表示的数分别为3m﹣5，m+1，若点B为线段AC的中点，则m的值为 　 　． 4．（2023秋•靖江市期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为﹣5、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ的中点C（点C始终在线段PQ上），若线段PC的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 　 　． 5．（2023秋•广信区期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： （1）如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知AB＝8，BC＝2． ①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为 　 　，点C表示是数为 　 　； ②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为 　 　，点C表示是数为 　 　． （2）从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么AB＝　 　； （3）在数轴上，若点E、F表示的数分别为3﹣2m，﹣2﹣2m，那么EF＝　 　； （4）若数轴上MN＝5，点M表示的数是﹣2，求点N和线段MN的中点P所表示的数分别是多少？ 6．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【类型3 数轴上的行程问题】 1．（2023秋•蓬江区校级期中）已知|b﹣5|+（c+1）2＝0，且b、c分别是点B、C在数轴上对应的数． （1）b＝　 　；c＝　 　． （2）B、C两点间的距离＝　 　． （3）若动点P、Q同时从点B、C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度． 问：①运动几秒后，点Q可以追上点P？ ②运动几秒后，点P和点Q相距2？ 2．（2023秋•恩施市期中）已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ （3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•惠州校级月考）已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0．点B对应的数为﹣3． （1）a＝　 　，c＝　 　． （2）若在数轴上有两动点PQ分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度秒，当点P在点D追上了点Q，求点D对应的数为多少？ （3）若在数轴上找一个点M，使得点M到点A和点C的距离之和为17，请求出点M所对应的数？（要求写详细解答过程） 4．（2023秋•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 5．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 6．（2024春•道里区校级月考）如图所示，在数轴上点A在原点的左侧，所表示的数是x；点B在原点的右侧，所表示的数是y，并且满足与（y﹣20）2互为相反数． （1）点A表示的数为 　 　；点B表示的数为 　 　． （2）在（1）的条件下，如果点M从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点N从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么M、N两点同时出发，并且在点C处相遇，求点C所表示的数． （3）在（2）的条件下，若点M运动到达B点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点N继续按原速度原方向运动，从M、N在点C处相遇开始，当M、N两点的距离为15个单位长度时，求点M所表示的数． 7．（2023秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　 　秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【类型4 数轴上的和差倍分】 1．（2023秋•青秀区校级期中）已知点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a＝﹣2，b＝10，点A、B之间的距离记作AB． （1）线段AB的长为 　 　；（直接写出结果） （2）若动点P在数轴上对应的数为x， ①当点P是线段AB上一点，PA＝2PB，则点P表示的数为 　 　；此时PA+PB＝　 　；（直接写出结果） ②当PA+PB＝14时，求x的值． 2．（2023秋•江汉区期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，我们将A，B两点间的距离记为AB，那么AB＝|a﹣b|，若数轴上点C表示的数为x，已知a＝﹣7，b＝2，回答下列问题： （1）A，B两点间的距离AB＝　 　； （2）①若AC＝1，求x的值； ②若点C在点B的右边，且AC+BC＝12，求x的值； （3）已知点C到A，B两点间所有表示整数的点（不含A，B两点）的距离之和为40，则x的值为 　 　． 3．（2023秋•青山区期末）已知a、b满足：（a+8）2+|b﹣4|＝0，c＝a+2b．且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为 A、B、C． （1）则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点Q到达点A时，两点停止运动．求点P、Q在运动过程中，当t为何值时AP＝3CQ？ （3）点D是直线AB上一点，若|AD﹣BD|＝2CD，则AB：BD的值为 　 　． 4．（2023秋•晋安区校级期末）已知，如图所示，A、B、C是数轴上的三点，点C对的数是6，BC＝4，AB＝12． （1）写出A、B对应的数； （2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动，M是AP的中点，N在CQ上且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）． ①求点M、N对应的数（含t的式子）； ②t为何值时OM＝2BN． 5．（2023秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20． （1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数． （2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动． ①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数． ②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由． 【类型5 数轴上的动点与定值】 1．（2023秋•无锡期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝　 ． 2．（2023秋•九江期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若PA＝2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．（2023秋•仓山区期末）已知点A，B，C在数轴上，点C表示的数为5，点A，B均在点C的左边，且AC＝10，BC＝3． （1）求点A，B在数轴上表示的数． （2）点P在数轴上表示的数为m． ①若AP＝2BP，求m的值； ②若点P是线段BC上一点，是否存在有理数k，使得kPB﹣PC的值为定值，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 4．（2023秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　 　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 5．（2023春•雁峰区校级期末）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是 　 　，点C在数轴上表示的数是 　 　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？ （3）若线段AB、线段CD分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点P从﹣15出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜5时，2ACPD的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 6．（2023秋•分宜县校级月考）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为C点D对应的数为d，且有[c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【类型6 数轴上的动线段问题】 1．（2023秋•大田县期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 ． 2．（2023秋•黄陂区期末）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为6，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 　． 3．（2023秋•东西湖区期末）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　 　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 4．（2023秋•永兴县期中）如图，在数轴上有两条线段AB，CD，其中线段AB的长为2个单位长度，线段CD的长为1个单位长度，且点B表示的数是﹣10，点D表示的数是15． （1）在数轴上，点A表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　，线段AD的长为 　 　个单位长度； （2）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动．当点B与点C重合时，点B与点C表示的数是多少？ （3）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左做匀速运动．设运动时间为t秒，M为线段AC的中点，当点C在点B的右侧时，则点M表示的数为多少？ 5．（2023秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是﹣4和12，线段CE在数轴上运动（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点． （1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1． ①直接写出AB＝　 　； ②求点C对应的数及线段BE的长； （2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关系． 6．（2023秋•郧阳区期中）如图线段AB和线段CD都在数轴上，已知AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数b． （1）若|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，求此时点A与点C之间相距多少单位长度？ （2）在（1）条件下线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．从开始算起，运动时间用t表示（单位：秒）． ①数轴上A表示的数是 　 　；C表示的数是 　 　．（用含t的代数式表示），若点A与点C相距8个单位长度，求t的值； ②已知点Q是BC的中点，点P是AD的中点，在运动过程中，线段PQ长是不变化的，请说明理由，并指出PQ的运动方向和速度． 【类型7 数轴上点的往返运动】 1．已知点A，B是数轴上两点，且A，B之间的距离是12，点A表示的数是﹣5．一列点P在数轴上做有规律的运动，动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度在此位置第三次向左运动3个单位长度，再第四次向右运动4个单位长度，…，按照如此规律不断地左右运动． （1）求点B表示的数； （2）当运动到第2023次时，求点P所对应的数． 2．（2023秋•衢江区校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a． （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数． （2）数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． （3）若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动； ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 3．（2023秋•郧西县期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子|a+30|+|b+10|+|c﹣14|＝0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． （1）求a，b，c的值； （2）当t＝　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数； （3）记线段MN的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 4．（2023秋•金水区校级期中）如图，数轴上两点A、B表示的数分别是﹣4和12． （1）若点C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数（画出图形，写出过程）； （2）P从A点出发以1.5个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2.5个单位/秒在数轴上向左运动．求： ①P、Q相遇时点P在数轴上对应的数； ②P、Q运动的同时点M以3.5个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时点M所经过的总路程是多少？ 5．（2023秋•灞桥区校级月考）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，﹣12，c，8，且|a+14|+|c﹣6|＝0． （1）则a＝　 　，c＝　 　；若点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，点C的运动速度为每秒 　 　个单位长度； （2）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD＝2AC，求t的值； （3）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动到点A起始位置时马上停止运动，当点C停止运动时，点A也停止运动，在此运动过程中，A，C两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【类型8 数轴中的新定义问题】 1．（2023秋•西城区校级月考）定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足PM＝2PN，则称点P是点M和点N的“双倍点”． 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： （1）当a＝﹣1，b＝5时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：　 　； （2）当b＝a+6且a＜0时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则a＝　 　； （3）若a＝3，b＝6，点C、D在数轴上表示的数分别为﹣4、﹣2，线段CD和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段CD的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒（t＞0），当线段CD上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 2．（2023秋•零陵区月考）23．对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MPNP成立，则称点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”． （1）如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则 　 　是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）； （2）如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数﹣2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数； （3）如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发．在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM＝　 　． 3．（2023秋•大冶市期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　； （2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 4．（2023秋•中山市期末）对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若AC+CB＝m，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于AC+BC＝5，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于AC+AB＝8，则点A为点B，C的“距离和8点”． （1）若点N表示的数为﹣2，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值； （2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数； （3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数． 5．（2023秋•青山湖区校级月考）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2． （1）如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①P[B，A]＝　 　； ②若点C在数轴上且C[A，B]＝1，则点C表示的数为 　 　； ③若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D所表示的数． （2）数轴上，点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，点M、N为线段EF上的两点，且M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，求MN的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 数轴动点问题必考八大类型（46题） 【苏科版2024】 【类型1 数轴上点的平移问题】 1 【类型2 数轴上的中点问题】 5 【类型3 数轴上的行程问题】 10 【类型4 数轴上的和差倍分】 19 【类型5 数轴上的动点与定值】 25 【类型6 数轴上的动线段问题】 33 【类型7 数轴上点的往返运动】 40 【类型8 数轴中的新定义问题】 45 【类型1 数轴上点的平移问题】 1．（2023秋•西乡塘区校级月考）数轴上的点M表示有理数﹣2，将点M向右平移1个单位长度到达点N，点E到点N的距离为3，则点E表示的有理数为 　 　． 【分析】根据题意，可以得出点N表示的有理数为﹣1，再根据两点间的距离，即点E到点N的距离为3，求出答案． 【解答】解：∵数轴上的点M表示有理数﹣2，将点M向右平移1个单位长度到达点N， ∴点N表示的有理数为﹣2+1＝﹣1， 设点E表示的有理数为 x，由题意得： |﹣1﹣x|＝3， 解得：x＝﹣4或x＝2， 故答案为：﹣4或2． 2．（2023秋•新吴区期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　 　个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　 ． 【分析】根据题意可知，MN的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4），分别将NA和BM的长度用含a的代数式的绝对值表示出来，根据NA和BM的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：由题意可知，MN＝3AB． ∵MN＝m﹣n＝10﹣（﹣2）＝12， ∴ABMN＝4． 故答案为：4． 设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4）， ∴NA＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，BM＝|a+4﹣10|＝|a﹣6|， ∴|a+2|：|a﹣6|＝3：1，即|a+2|＝3|a﹣6|． 当a＜﹣2时，﹣（a+2）＝﹣3（a﹣6），解得a＝10（不符合题意，舍去）； 当﹣2≤a＜6时，a+2＝﹣3（a﹣6），解得a＝4； 当a≥6时，a+2＝3（a﹣6），解得a＝10． 综上，点A所表示的数为4或10． 故答案为：4或10． 3．（2023秋•高港区校级月考）对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则AB＝　 　． 【分析】利用数轴上两点间的距离|a﹣b|即可求解． 【解答】解：设点A表示的数为a，点B表示的数为b， 则A′表示的数为3a+1，点B′表示的数为3b+1， ∵A′B′＝2022， ∴|3a+1﹣（3b+1）|＝2022， 解得|a﹣b|＝674． 故AB＝|a﹣b|＝674， 故答案为：674． 4．（2023秋•偃师市月考）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝22，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为8，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 　． 【分析】设AB的中点为C，则AC＝BC＝11，求得AP＝14，当点Q移动到线段AB的中点C时，BQ＝AQ＝11，根据两点间的距离的求法即可得到结论． 【解答】解：设AB的中点为C， ∵AB＝22， ∴AC＝BC＝11， ∵当点Q移动到点B时，点P所对应的数为8， 当点Q移动到线段AB的中点C时，即木棒向左移动了一个BC的长度， 如图： ∴点P所对应的数为8﹣11＝﹣3， 故答案为：﹣3． 5．（2023秋•广安期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 　27　后该点到原点的距离不小于41． 【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答． 【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8； 第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为﹣8+18＝10； ⋯； 则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A15表示的数为﹣20﹣3＝﹣23，A17表示的数为﹣23﹣3＝﹣26，A19表示的数为﹣26﹣3＝﹣29，A21表示的数为﹣29﹣3＝﹣32，A23表示的数为﹣32﹣3＝﹣35，A25表示的数为﹣35﹣3＝﹣38，A27表示的数为﹣38﹣3＝﹣41， 所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41． 故答案为：27． 6．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为5cm； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣35，小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55，可知爷爷的年龄． 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm）， 则此木棒长为5cm． （2）图中点A所表示的数是 10，点B所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为﹣35． 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为130． ∴可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55， 可知爷爷的年龄为130﹣55＝75． 【类型2 数轴上的中点问题】 1．（2023秋•淮阳区期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是﹣9，﹣1，1，且点C为线段AB的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．若DE＝3，则BF＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】根据点F为线段DE的中点和DE＝3，可知DFDE，F点可能在D的左边或右边，对此分别讨论即可． 【解答】解：∵点F为线段DE的中点，DE＝3， ∴DFDE， ∵D点表示1 ∴1，1，即F点可能为或者， ∴BF（﹣1）或者BF（﹣1）， 故答案为：D． 2．（2023秋•监利市期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（　　） A．﹣9 B．﹣9.5 C．﹣10 D．﹣10.5 【分析】由已知得AB＝22，设BD＝x，则BC＝6x，CD＝5x，再根据点C为线段AD的中点，得AD＝2CD＝10x，AB＝11x＝22，解得x＝2，所以AC＝5x＝10，即可得点C所表示的数是﹣19+10＝﹣9． 【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣19和3， ∴AB＝3+19＝22， 设BD＝x， ∵BC＝6BD， ∴BC＝6x， ∴CD＝5x， ∵点C为线段AD的中点， ∴AD＝2CD＝10x， ∴AB＝11x＝22， ∴x＝2， ∴AC＝5x＝10， ∴点C所表示的数是﹣19+10＝﹣9． 故选：A． 3．（2023秋•武汉期末）数轴上点A表示的数为﹣1，点B，C表示的数分别为3m﹣5，m+1，若点B为线段AC的中点，则m的值为 　 　． 【分析】分两种情况：当点B在点A的右边时；当点B在点A的左边时；分别计算即可． 【解答】解：当点B在点A的右边时， 即3m﹣5＞﹣1， 解得， ∴3m﹣5﹣（﹣1）＝m+1﹣（3m﹣5）， 解得m＝2， 当点B在点A的左边时， 即3m﹣5＜﹣1， 解得， ∴（3m﹣5）﹣（m+1）＝﹣1﹣（3m﹣5）， 解得m＝2（舍去）， 故m的值为2， 故答案为：2． 4．（2023秋•靖江市期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为﹣5、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ的中点C（点C始终在线段PQ上），若线段PC的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 　 　． 【分析】根据动点列出PQ长度，根据定值即与参数无关即可得到答案 【解答】解：设运动t秒时， AQ＝3﹣（﹣5）+nt＝8+nt，AP＝mt， ∵点C是AQ的中点， ∴， ∴， ∵PC的长度总为一个固定的值，即与t无关， ∴，即n＝2m， 故答案为：n＝2m． 5．（2023秋•广信区期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： （1）如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知AB＝8，BC＝2． ①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为 　 　，点C表示是数为 　 　； ②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为 　 　，点C表示是数为 　 　． （2）从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么AB＝　 　； （3）在数轴上，若点E、F表示的数分别为3﹣2m，﹣2﹣2m，那么EF＝　 　； （4）若数轴上MN＝5，点M表示的数是﹣2，求点N和线段MN的中点P所表示的数分别是多少？ 【分析】（1）结合数轴便可填出①，总结规律得出②； （2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案； （3）两点之间的距离＝两点的差的绝对值，即可得到答案； （4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案． 【解答】解：（1）①数轴上点A表示的数为：2﹣8＝﹣6，点C表示的数为：2+2＝4； ②数轴上点A表示的数为：n﹣8，点C表示的数为：n+2； 故答案为﹣6，4，n﹣8，n+2； （2）∵AB＝|a﹣b|＝b﹣a， 又∵点A在点B的左侧， ∴a﹣b＜0， ∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为b﹣a； （3）EF＝|（3﹣2m）﹣（﹣2﹣2m）|＝|3﹣2m+2+2m|＝|5|＝5， 故答案为5； （4）当N在M的右侧时， 点N表示的数为：﹣2+5＝3；点P表示的数为：； 当N在M的左侧时， 点N表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7；点P表示的数为：． 综上分析，点N表示的数为3时，点P表示的数为；点N表示的数为﹣7时，点P表示的数为． 6．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB， ∴|﹣10+7t|＝10， 解得：t＝0或t． ∴当t为秒时，． （2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴线段MN的中点C表示的数为， 由题意得：3， ∴t＝12． ∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由： ∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为， ∴EF＝||＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5． 【类型3 数轴上的行程问题】 1．（2023秋•蓬江区校级期中）已知|b﹣5|+（c+1）2＝0，且b、c分别是点B、C在数轴上对应的数． （1）b＝　 　；c＝　 　． （2）B、C两点间的距离＝　 　． （3）若动点P、Q同时从点B、C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度． 问：①运动几秒后，点Q可以追上点P？ ②运动几秒后，点P和点Q相距2？ 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性即可解答； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得答案； （3）①利用路程＝速度×时间，根据追击问题列方程计算可得答案； ②分两种情况进行讨论：点P在点Q的左边和点P在点Q的右边． 【解答】解：（1）∵|b﹣5|+（c+1）2＝0，|b﹣5|≥0，（c+1）2≥0， ∴b﹣5＝0，c+1＝0， ∴b＝5，c＝﹣1； 故答案为：5，﹣1； （2）B、C两点间的距离为5﹣（﹣1）＝6， 故答案为：6； （3）设运动时间为t秒，则点P、点Q运动的路程分别为t和3t个单位长度， ①点Q追上点P时，3t＝t+6， 解得：t＝3， 答：运动3秒后，点Q可以追上点P； ②点P在点Q的右边时， 3t+2＝6+t， 解得：t＝2； 点P在点Q的左边时， t+6+2＝3t， 解得：t＝4， 答：运动2秒或4秒后，点P和点Q相距2． 2．（2023秋•恩施市期中）已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ （3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）理解与整数、相反数、绝对值有关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点； （2）根据数轴上两点间的距离的求法进行求解； （3）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值． 【解答】解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1； b是﹣5的相反数，即b＝5， c＝﹣|﹣2|＝﹣2， 所以点A、B、C在数轴上位置如图所示： （2）设运动t秒后，点P可以追上点Q， 则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t， 依题意得：﹣1+3t＝5+t， 解得：t＝3． 答：运动3秒后，点P可以追上点Q； （3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12， 当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3； 当M在AB之间，则M对应的数是4． 故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3或4． 3．（2023秋•惠州校级月考）已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0．点B对应的数为﹣3． （1）a＝　 　，c＝　 　． （2）若在数轴上有两动点PQ分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度秒，当点P在点D追上了点Q，求点D对应的数为多少？ （3）若在数轴上找一个点M，使得点M到点A和点C的距离之和为17，请求出点M所对应的数？（要求写详细解答过程） 【分析】（1）根据非负数的性质求解； （2）根据“点P在点D追上了点Q”列方程求解； （3）根据a的取值范围，分类讨论求解． 【解答】解：（1）由题意得：a＝﹣7，c＝2， 故答案为：﹣7，2； （2）设P经过x秒追上Q， 则：2x﹣x＝7﹣3， 解得：x＝4， ﹣3+x＝1， 答：点D对应的数为1； （3）设M对应的数为a， 则：|﹣7﹣a|+|2﹣a|＝17， 当a＜﹣7时，﹣7﹣a+2﹣a＝17， 解得：a＝﹣11， 当﹣7≤a≤2时，|﹣7﹣a|+|2﹣a|＝9，不合题意， 当a＞2时，a+7+a﹣2＝17， 解得：a＝6， ∴点M所对应的数为﹣11或6． 4．（2023秋•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式计算； （2）①设出点C所表示的数，表示出AC、BC，再根据两只蚂蚁的运动时间相等，列方程求解即可；②分两种情况进行解答，即：Ⅰ）相遇前相距15个单位长度，Ⅱ）相遇后相距15个单位长度，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为30 （2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x， 由题意得，， 解得，x＝40， 答：点C在数轴上所表示的数为40； ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒 Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度， 则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15， 解得，t＝17（秒）， Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度 则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15， 解得，t＝23（秒） 答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 5．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； 故答案为：4；﹣4． （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 6．（2024春•道里区校级月考）如图所示，在数轴上点A在原点的左侧，所表示的数是x；点B在原点的右侧，所表示的数是y，并且满足与（y﹣20）2互为相反数． （1）点A表示的数为 　 　；点B表示的数为 　 　． （2）在（1）的条件下，如果点M从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点N从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么M、N两点同时出发，并且在点C处相遇，求点C所表示的数． （3）在（2）的条件下，若点M运动到达B点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点N继续按原速度原方向运动，从M、N在点C处相遇开始，当M、N两点的距离为15个单位长度时，求点M所表示的数． 【分析】（1）依据两个非负数相加为零，各个数为零； （2）点A到点C的距离加点C到点B的距离等于点A与点B之间的距离； （3）根据题意分三种情况讨论：①M、N在C点相遇后，M向B运动路上，②M点从B点返回，且未追上N时，③M点从B点返回，追上了N． 【解答】解：（1）∵与（y﹣20）2互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴x＝﹣100，y＝20， 故答案为：﹣100，20． （2）由（1）得点A与点B的距离为：20﹣（﹣100）＝120， 设M，N两点相遇时间为t（s）得： 3t+2t＝120， 解得t＝24（s）， 点M移动的距离为：24×3＝72， 故M点表示的数：﹣100+72＝﹣28， ∴C点所表示的数为﹣28． （3）①M、N在C点相遇后，M向B运动路上，|MN|＝15时，假设用了t1时间，则： 3t1+2t1＝15， ∴t1＝3（s）， ∴此时M点所示的数：﹣28+3×3＝﹣19； ②M点从B点返回，且未追上N时，|MN|＝15， M点从C处运动到B处：， 此时N从C处出发运动的路程为16×2＝32，则N点表示的数为：﹣28﹣32＝﹣60， M点后来的速度：， 假设M点从B处出发，未追上N，但满足|MN|＝15时，运动时间为t3，则： 20﹣（﹣60）+2t3＝4t3+15， ∴， ∴此时M从B出发运动的路程为， ∴M点表示的数为：20﹣130＝﹣110； ③M点从B点返回，追上了N，且满足|MN|＝15，假设从B点到达这个位置用时t4，则： 2t4+20﹣（﹣60）+15＝4t4， ∴， 此时M从B出发运动的路程为， ∴M点表示的数为：20﹣190＝﹣170， 综上所述，M所表示的数为﹣19或﹣110或﹣170． 7．（2023秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒，动点Q从点C运动至点A需要 　 　秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷2+10÷1＝23（s）； （2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），则t﹣5＝10﹣2（t﹣8），求出t的值，再求M点表示的数即可； （3）分7种情况讨论：①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意． 【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18， ∴OA＝10，BO＝10，BC＝8， ∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s）， 动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷210÷1＝23（s）， 故答案为：19，23； （2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇， P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8）， ∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8）， 解得t， ∴M点表示的数是5； （3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下： ∵点A表示﹣10，点B表示10， ∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20， ①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上， 此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t， 由题意可得，28﹣3t＝20， 解得t； ②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t， 由题意可得，23﹣2t＝20， 解得t（舍）； ③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10， ∴此情况不符合题意； ④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5﹣13+t＝20；t＝19（舍）； ⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为2t﹣20﹣13+t＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t； ⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上， 此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为（2t﹣20）﹣（13﹣t）＝3t﹣33， 由题意可得，3t﹣33＝20， 解得t（舍）； ⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意； 综上所述：t的值为或． 【类型4 数轴上的和差倍分】 1．（2023秋•青秀区校级期中）已知点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a＝﹣2，b＝10，点A、B之间的距离记作AB． （1）线段AB的长为 　 　；（直接写出结果） （2）若动点P在数轴上对应的数为x， ①当点P是线段AB上一点，PA＝2PB，则点P表示的数为 　 　；此时PA+PB＝　 　；（直接写出结果） ②当PA+PB＝14时，求x的值． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）①分别将PA和PB表示出来，根据题意列方程并求解即可；根据线段关系直接作答即可； ②分两种情况进行计算：当点P位于点A的左侧时和当点P位于点B的右侧时； 【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12． 故答案为：12． （2）①∵点P是线段AB上一点， ∴PA＝x﹣（﹣2），PB＝10﹣x． ∴x﹣（﹣2）＝2（10﹣x），解得x＝6． ∴PA+PB＝AB＝12． 故答案为：6，12． ②当点P位于点A的左侧时： ∵PA+PB＝2PA+AB＝14，即2PA+12＝14， ∴PA＝1＝﹣2﹣x，解得x＝﹣3． 当点P位于点B的右侧时： ∵PA+PB＝2PB+AB＝14，即2PB+12＝14， ∴PB＝1＝x﹣10，解得x＝11． 综上，当PA+PB＝14时，x的值为﹣3或11． 2．（2023秋•江汉区期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，我们将A，B两点间的距离记为AB，那么AB＝|a﹣b|，若数轴上点C表示的数为x，已知a＝﹣7，b＝2，回答下列问题： （1）A，B两点间的距离AB＝　 　； （2）①若AC＝1，求x的值； ②若点C在点B的右边，且AC+BC＝12，求x的值； （3）已知点C到A，B两点间所有表示整数的点（不含A，B两点）的距离之和为40，则x的值为 　 　． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据AC＝1可得|﹣7﹣x|＝1，解方程即可求解； ②先分别表示出AC和BC，再列方程即可求解； （3）分情况讨论列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）A，B两点间的距离AB＝|﹣7﹣2|＝9， 故答案为：9； （2）①若AC＝1， 则|﹣7﹣x|＝1， 解得x＝﹣6或﹣8； ②若点C在点B的右边， 则AC＝x+7，BC＝x﹣2， ∴x+7+x﹣2＝12， 解得x＝3.5； （3）当C在B的右侧时， 则（x﹣1）+x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝40， 解得x＝2.5； 当C在A的左侧时， 则（﹣6﹣x）+（﹣5﹣x）+（﹣4﹣x）+（﹣3﹣x）+（﹣2﹣x）+（﹣1﹣x）+（﹣x）+（1﹣x）＝40， 解得x＝﹣7.5； 当C在A、B之间时，不存在和等于40的情况． 综上，x的值为2.5或﹣7.5． 3．（2023秋•青山区期末）已知a、b满足：（a+8）2+|b﹣4|＝0，c＝a+2b．且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为 A、B、C． （1）则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点Q到达点A时，两点停止运动．求点P、Q在运动过程中，当t为何值时AP＝3CQ？ （3）点D是直线AB上一点，若|AD﹣BD|＝2CD，则AB：BD的值为 　 　． 【分析】（1）利用非负数的意义求得a，b的值，进而利用已知条件求得c值； （2）设P表示的数是﹣t，Q表示的数是4﹣2t，利用已知条件列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）利用分类讨论的方法分三种情况列出方程，解方程即可得出点D对应的数值，利用点对应的数字表示出线段AB，BD的长度，则即可可求． 【解答】解：（1）∵（a+8）2+|b﹣4|＝0，（a+8）2≥0，|b﹣4|≥0， ∵a+8＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣8，b＝4， ∵c＝a+2b， ∴c＝﹣8+2×4＝0， 故答案为：﹣8，4，0； （2）设P表示的数是﹣t，Q表示的数是4﹣2t， ∵AP＝3CQ， ∴﹣t﹣（﹣8）＝3|4﹣2t|， 解得t或t， ∴当t为或时，AP＝3CQ； （3）设D表示的数是x， ①当x≤﹣8时， ∵|AD﹣BD|＝2CD， ∴（4﹣x）﹣（﹣8﹣x）＝2（﹣x）， 解得：x＝﹣6（不符合题意，舍去）； ②当﹣8＜x＜4时， ∵|AD﹣BD|＝2CD， ∴|x﹣（﹣8）﹣（4﹣x）|＝2|x|， 解得x＝﹣1， ∴AB＝12，BD＝5， ∴AB：BD＝12：5； ③当x＞4时， ∵|AD﹣BD|＝2CD， ∴|x+8﹣（x﹣4）|＝2x． ∴2x＝12， ∴x＝6． ∴AB＝12，BD＝2， ∴AB：BD＝6． 综上，AB：BD的值为或6． 故答案为：或6． 4．（2023秋•晋安区校级期末）已知，如图所示，A、B、C是数轴上的三点，点C对的数是6，BC＝4，AB＝12． （1）写出A、B对应的数； （2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动，M是AP的中点，N在CQ上且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）． ①求点M、N对应的数（含t的式子）； ②t为何值时OM＝2BN． 【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出AP＝6t，CQ＝3t，再根据线段的中点定义可得AM＝3t，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CNCQ可得CN＝t，根据线段的和差关系可得到点N表示的数； ②根据OM＝2BN列出关于x的方程，再分两种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵C表示的数为6，BC＝4， ∴OB＝6﹣4＝2， ∴B点表示2． ∵AB＝12， ∴AO＝12﹣2＝10， ∴A点表示﹣10． 故点A对应的数是﹣10，点B对应的数是2； （2）①AP＝6t，CQ＝3t，如图1所示： ∵M为AP的中点，N在CQ上，且CNCQ， ∴AMAP＝3t，CNCQ＝t， ∵点A表示的数是﹣10，点C表示的数是6， ∴点M表示的数是﹣10+3t，点N表示的数是6+t； ②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN， ∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t， ∴﹣10+3t＝±（8+2t）， 当﹣10+3t＝8+2t时，t＝18； 当﹣10+3t＝﹣（8+2t）时，t． ∴当t＝18或t时，OM＝2BN． 5．（2023秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20． （1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数． （2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动． ①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数． ②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可； （2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程求得答案即可； ②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立方程求得答案即可． 【解答】解：（1）P点表示的数是8； （2）①如图， 设t秒后点M到点A、点B的距离相等， AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t， 则2t+4＝20﹣6t， 解得t＝2， M表示2×4＝8． A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24． ②如图①， AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t， ∵3MA＝2MB， ∴3（2t+4）＝2（20﹣6t）， ∴t， ∴点M表示4； 如图②， AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20， ∵3MA＝2MB， ∴3（2t+4）＝2（6t﹣20）， ∴t， ∴点M表示4． 【类型5 数轴上的动点与定值】 1．（2023秋•无锡期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝　 ． 【分析】先求出OA、BO的长度，再分别用含有t的代数式写出AP、OP、BP的长度，得出2AP+3OP﹣mBP，根据2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，即可求解． 【解答】解：∵AB＝15，OA＝2OB， ∴OAAB＝10，BOAB＝5， ∵A点对应的数为﹣10，B点对应的数是5， 设经过t秒，则AP＝|5t﹣4t﹣15|＝|15﹣t|， OP＝5+4t，BP＝4t﹣t＝3t， 若t≤15时， 2AP+3OP﹣mBP ＝2（15﹣t）+3（5+4t）﹣m×3t ＝（10﹣3m）t+45， ∴当10﹣3m＝0，即m时，2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 若t＞15时， 2AP+3OP﹣mBP ＝2（t﹣15）+3（5+4t）﹣m×3t ＝（14﹣3m）t﹣15， ∴当14﹣3m＝0，即m时，2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当m或时2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化． 故答案为：或． 2．（2023秋•九江期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若PA＝2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据OB＝3OA，且AB＝4，求出OA和OB即可解答； （2）分三种情况分析，当P点在A点左侧时，当P点位于A、B两点之间时，当P点位于B点右侧时，依次令PA＝2PB，即可解答； （3）表示出t秒后的各点，再计算3PB﹣PA，得出固定结果，即可说明． 【解答】（1）∵OB＝3OA，且AB＝4， ∴OA＝1，OB＝3， ∴a＝﹣1，b＝3， 故答案为：﹣1，3； （2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去． ②当P点位于A、B两点之间时， 因为PA＝2PB， 所以 x+1＝2（3﹣x）， 所以 ． ③当P点位于B点右侧时， 因为 PA＝2PB， 所以 x+1＝2（x﹣3）， 所以 x＝7． 故x的值为 或7． （3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为 2t，B点的值为（3+3t）， 所以3PB﹣PA ＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）] ＝9+3t﹣（2t+1+t） ＝9+3t﹣3t﹣1 ＝8． 所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化． 3．（2023秋•仓山区期末）已知点A，B，C在数轴上，点C表示的数为5，点A，B均在点C的左边，且AC＝10，BC＝3． （1）求点A，B在数轴上表示的数． （2）点P在数轴上表示的数为m． ①若AP＝2BP，求m的值； ②若点P是线段BC上一点，是否存在有理数k，使得kPB﹣PC的值为定值，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）①根据AP＝2BP以及点A、B的位置判断出点P在点A的右边，再分当点P在点B的左边时和当点P在点B的右边时，分别计算即可； ②先求出PB、PC，再计算kPB﹣PC，整理成（k+1）m﹣2k﹣5，令m的系数为0，即可求出k的值． 【解答】解：（1）设点A，B在数轴上表示的数分别为a，b， ∵点C表示的数为5，AC＝10，BC＝3，点A，B均在点C的左边， ∴5﹣a＝10，5﹣b＝3， 解得a＝﹣5，b＝2， ∴点A在数轴上表示的数为﹣5，点B在数轴上表示的数为2； （2）①由（1）可知，点A在数轴上表示的数为﹣5，点B在数轴上表示的数为2， ∵AP＝2BP， ∴点P在点A的右边， ∴AP＝m﹣（﹣5）＝m+5， 当点P在点B的左边时， ∵点P在数轴上表示的数为m， ∴BP＝2﹣m， ∵AP＝2BP， ∴m+5＝2（2﹣m）， 解得m； 当点P在点B的右边时， ∵点P在数轴上表示的数为m， ∴BP＝m﹣2， ∵AP＝2BP， ∴m+5＝2（m﹣2）， 解得m＝9； 综上所述，m的值为9或； ②答：存在k，使得kPB﹣PC的值为定值． 理由：∵点P是线段BC上一点， ∴PB＝m﹣2，PC＝5﹣m， ∴kPB﹣PC ＝k（m﹣2）﹣（5﹣m） ＝km﹣2k+m﹣5 ＝（k+1）m﹣2k﹣5， ∴当 k+1＝0即k＝﹣1时，kPB﹣PC＝﹣2×（﹣1）﹣5＝﹣3为定值， ∴当k＝﹣1时，kPB﹣PC的值为定值，值为﹣3． 4．（2023秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3． （1）填空：线段AB的长度AB＝　 　； （2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？ （3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）利用A、B两点对应的数字求得OA，OB的值，则AB＝OA+OB； （2）利用线段中点的定义求得点C对应的数字，设P点对应的数为x，利用分类讨论的思想方法分别用P，A，B对应的数字表示出PA，PB的长度，通过计算PA+PB即可得出结论； （3）分别用含t的代数式表示出线段EF，OP，MN，通过计算即可得出结论． 【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AB＝OA+OB＝4． 故答案为：4； （2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由： A、B两点对应的数分别为﹣1、3， ∴OA＝1，OB＝3， ∵点A是BC的中点， ∴AC＝AB＝4． ∴OC＝AC+OA＝5， ∴C点对应的数为﹣5． 又∵OD＝AC，点D在点A的右侧， ∴D点对应的数为4． 设P点对应的数为x， ①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化； ②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x， ∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4， ∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化； ③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3， ∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2， ∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化． 综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化， ∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化； （3）在运动过程中，的值不发生变化．理由： 设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3， ∴EF＝OE+OF＝25t+4， ∵M、N分别是PE、OF的中点， ∴EM＝PMPE（OP+OE）＝3t，ONOF＝10t， ∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t）＝2t， ∴MN＝OM+ON＝12t+2， ∴． ∴在运动过程中，的值不发生变化． 5．（2023春•雁峰区校级期末）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是 　 　，点C在数轴上表示的数是 　 　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？ （3）若线段AB、线段CD分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点P从﹣15出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜5时，2ACPD的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【分析】（1）由已知直接可得答案； （2）求出B运动后表示的数是﹣10﹣t，C运动后表示的14﹣2t，根据点B与点C之间的距离为1个单位长度列方程可解得答案； （3）求出A运动后表示的数是﹣12﹣t，C运动后表示的数是14﹣2t，D运动后表示的数是15﹣2t，P运动后表示的数是﹣15+4t，从而可表示出AC，PD，代入2ACPD计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵﹣12+2＝﹣10，15﹣1＝14， ∴点B在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是14， 故答案为：﹣10，14； （2）根据题意，B运动后表示的数是﹣10﹣t，C运动后表示的14﹣2t， ∴|﹣10﹣t﹣（14﹣2t）|＝1， 解得t＝25或t＝23， ∴当t为25或23时，点B与点C之间的距离为1个单位长度； （3）2ACPD的值不发生变化，理由如下： 根据题意，A运动后表示的数是﹣12﹣t，C运动后表示的数是14﹣2t，D运动后表示的数是15﹣2t，P运动后表示的数是﹣15+4t， ∵0＜t＜5， ∴AC＝14﹣2t﹣（﹣12﹣t）＝﹣t+26，PD＝15﹣2t﹣（﹣15+4t）＝﹣6t+30， ∴2ACPD＝2（﹣t+26）（﹣6t+30）＝﹣2t+52+2t﹣10＝42， ∴2ACPD为定值，这个定值是42． 6．（2023秋•分宜县校级月考）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为C点D对应的数为d，且有[c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【分析】（1）先由非负数的性质求出c＝5，d＝﹣2，进而可得CD的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，然后根据PQ的中点所对应的数为10，得，由此解出/即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出 ，从而得．然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|c﹣3+d|+（d+2）＝0， ∴d+2＝0，c﹣3+d＝0， ∴c＝5，d＝﹣2， ∵点N是CD的中点， ∴CD的中点N所对应的数为：， 故答案为：1.5； （2）由题意可得，点P表示的数为5﹣t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∴， 解得t＝17， 当t＝17时，PQ的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； 故答案为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，，不是定值， 当t≤10时，，是定值， 当t＞10时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 【类型6 数轴上的动线段问题】 1．（2023秋•大田县期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 ． 【分析】设PQ＝x，然后分类计算即可：①当点Q与点A重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5；②当点Q与点B重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5． 【解答】解：设PQ＝x， ①当点Q与点A重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5， ∵AB＝12， ∴当Q移动到线段AB的中点时，点Q对应的数为x+5+6＝x+11， ∴点Q所对应的数为x+11﹣x＝11； ②当点Q与点B重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5， ∵AB＝12， ∴当Q移动到线段AB的中点时，点Q对应的数为x+5﹣6＝x﹣1， ∴点P所对应的数为x﹣1﹣x＝﹣1； 故答案为：11或﹣1． 2．（2023秋•黄陂区期末）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为6，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　 　． 【分析】设AB的中点为C，则AC＝BC＝8，求得AP＝10，当点Q移动到线段AB的中点C时，BQ＝AQ＝8，根据两点间的距离的求法即可得到结论． 【解答】解：设AB的中点为C， 则AC＝BC＝8， 当点Q移动到点B时，BQ＝AQ＝8， 即当点Q移动到线段AB的中点C时，木棒向左平移了一个BC的长度， ∴木棒向左移动的距离为8； ∵点P所对应的数为6，当点Q移动到线段AB的中点C时，点P表示的数为x， ∴|6﹣x|＝8， ∵x＜6， ∴6﹣x＝8， 解得x＝﹣2， ∴点P所对应的数为6﹣8＝﹣2， 故答案为：﹣2． 3．（2023秋•东西湖区期末）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2． （1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点． ①则点D表示的数为 　 　． ②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值； （2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长． 【分析】（1）①利用数轴上的点对应 的数字和线段中点的定义解答即可； ②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用MN＝1列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到AD，BD的值，利用已知条件列出关于n﹣m的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2， ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵AC﹣AB＝2， ∴AC＝12， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是AC的中点， ∴CDAC＝6， 设点D表示的数为x， ∴4﹣x＝6， ∴x＝﹣2． ∴点D表示的数为﹣2． 故答案为：﹣2； ②设EF运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a， ∵点M是EC的中点，N是BF的中点， ∴点M对应的数字为，点N对应的数字为， ∵MN＝1， ∴||＝1． 解得：a＝0或a＝4， ∵a＞0， ∴a＝4； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2， ∴c＝n+2，AB＝n﹣m． ∵点D是AC的中点， ∴d， ∴ADm，BD＝n， ∵AD+3BD＝4， ∴4， 解得：n﹣m＝3． ∴AB＝3． 4．（2023秋•永兴县期中）如图，在数轴上有两条线段AB，CD，其中线段AB的长为2个单位长度，线段CD的长为1个单位长度，且点B表示的数是﹣10，点D表示的数是15． （1）在数轴上，点A表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　，线段AD的长为 　 　个单位长度； （2）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动．当点B与点C重合时，点B与点C表示的数是多少？ （3）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左做匀速运动．设运动时间为t秒，M为线段AC的中点，当点C在点B的右侧时，则点M表示的数为多少？ 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）设当点B与点C重合时，运动时间为x秒，此时点B表示的数是（﹣10+x），点C表示的数是（14﹣2x），根据点B与点C重合，列方程求解，即可获得答案； （3）首先求得点C在点B的右侧时t的取值范围，然后根据中点的定义求出点M在数轴上表示的数即可． 【解答】解：（1）∵AB＝2，点B表示的数是﹣10， ∴点A表示的数是﹣10， ∵CD＝1，点D表示的数是15， ∴点C表示的数是14， ∴AD＝15﹣（﹣12）＝27． 故答案为：﹣12，14，27； （2）设当点B与点C重合时，运动时间为x秒， 此时点B表示的数是（﹣10+x），点C表示的数是（14﹣2x）， ∵点B与点C重合， ∴﹣10+x＝14﹣2x， 解得x＝8秒， ∴此时点B表示的数是﹣10+8＝﹣2， 即当点B与点C重合时，点B与点C表示的数是﹣2； （3）根据题意，运动时间为t秒时，点A表示的数是﹣12﹣t，点B表示的数是﹣10﹣t，点C表示的数是14﹣2t， 当点B与点C重合时，可有﹣10﹣t＝14﹣2t， 解得 t＝24秒， ∴当t＜24秒时，点C在点B的右侧， ∵M为线段AC的中点， ∴点M表示的数是， ∴当点C在点B的右侧时，则点M表示的数为． 5．（2023秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是﹣4和12，线段CE在数轴上运动（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点． （1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1． ①直接写出AB＝　 　； ②求点C对应的数及线段BE的长； （2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关系． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）设点C所表示的数为x，得到点E所表示的数为x+8，根据中点的定义可求出点M所表示的数，进而用含有x的代数式表示BE、CM，根据结果得出BE与CM的数量关系即可． 【解答】解：（1）①12﹣（﹣4）＝16， 故答案为：16； ②∵CM＝1，CE＝8， ∴ME＝CE﹣CM＝7， ∵M是AE的中点， ∴AM＝ME＝7， ∵点A所表示的数为﹣4， ∴点C所表示的数为﹣4+7﹣1＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝16﹣14＝2， 答：点C所表示的数为2，BE＝2； （2）BE＝2CM，理由如下： 如图，设点C所表示的数为x，则点E所表示的数为x+8， ∵点M是AE的中点，而点A所表示的数为﹣4， ∴点M所表示的数为， ∴BE＝12﹣（x+8）＝4﹣x，CMx（4﹣x）， ∴BE＝2CM． 6．（2023秋•郧阳区期中）如图线段AB和线段CD都在数轴上，已知AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数b． （1）若|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，求此时点A与点C之间相距多少单位长度？ （2）在（1）条件下线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．从开始算起，运动时间用t表示（单位：秒）． ①数轴上A表示的数是 　 　；C表示的数是 　 　．（用含t的代数式表示），若点A与点C相距8个单位长度，求t的值； ②已知点Q是BC的中点，点P是AD的中点，在运动过程中，线段PQ长是不变化的，请说明理由，并指出PQ的运动方向和速度． 【分析】（1）由非负数的性质求出a＝﹣8，b＝16，则可得出答案； （2）①设时间为t秒，A，C两点表示的数分别为﹣8+6t，16﹣2t．由AC的长为8可得出|24﹣8t|＝8，解方程可求出t的值； ②设运动时间为t 秒时，A点对应数为﹣8+6t．B点对应数为﹣10+6t，C点对应数为16﹣2t．D点对应数为20﹣2t．求出PQ＝3，则可得出结论． 【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2 互为相反数． ∴|a+8|+（b﹣16）2＝0， ∴a+8＝0，b﹣16＝0， 解得a＝﹣8，b＝16． ∴此时A与C之间相距16﹣（﹣8）＝24（单位长度）； 答：A、C相距为24单位长度； （2）①设时间为t秒，A，C两点表示的数分别为﹣8+6t，16﹣2t． 故答案为：﹣8+6t，16﹣2t． ∴AC＝|（16﹣2t）﹣（﹣8+6t）|＝|24﹣8t|， ∵AC＝8， ∴|24﹣8t|＝8， ∴24﹣8t＝8或24﹣8t＝﹣8， ∴t＝2或4． 答：行驶2秒或4秒，A、C相距8个单位长度； ②线段PQ长是3，理由如下： 设运动时间为t秒时，A点对应数为﹣8+6t．B点对应数为﹣10+6t，C点对应数为16﹣2t．D点对应数为20﹣2t． ∵QB＝QC，PA＝PD， ∴Q点对应数：3+2t．P点对应数：6+2t． ∴PQ＝|（6+2t）﹣（3+2t）|＝3， 此时PQ以每秒2个单位速度向右运动． 【类型7 数轴上点的往返运动】 1．已知点A，B是数轴上两点，且A，B之间的距离是12，点A表示的数是﹣5．一列点P在数轴上做有规律的运动，动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度在此位置第三次向左运动3个单位长度，再第四次向右运动4个单位长度，…，按照如此规律不断地左右运动． （1）求点B表示的数； （2）当运动到第2023次时，求点P所对应的数． 【分析】（1）根据题意可求B点坐标为7或﹣17； （2）通过计算发现，当n是奇数时，P点对应的数为﹣6，﹣7，﹣8，…，再求第2023次时P点对应的数即可． 【解答】解：（1）∵A，B之间的距离是12，点A表示的数是﹣5， ∴B点坐标为7或﹣17； （2）第一次运动后P点表示的数为﹣6， 第二次运动后P点表示的数为﹣4， 第三次运动后P点表示的数为﹣7， 第四次运动后P点表示的数为﹣3， …… ∴当n是奇数时，P点对应的数为﹣6，﹣7，﹣8，…， ∴第2023次时，P点对应的数是﹣1012﹣5＝﹣1017． 2．（2023秋•衢江区校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为a． （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数． （2）数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． （3）若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动； ①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ ②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？ 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）分P点在A的左边；P点在B的右边；漏字情况进行讨论即可求解； （3）①设x分钟后P点到点A、点B的距离相等，求出点B第一次追上点A时的时间即为所求； ②由①得到点B追上点A的时间，即为从点P开始运动到点A与点B重合的时间，再乘以点P的速度，即可得到点P所运动的总路程． 【解答】解：（1）点P对应的数为（﹣1+3）÷2＝1． （2）{8﹣[3﹣（﹣1）]}÷2＝2， P点在A的左边，a的值为﹣1﹣2＝﹣3； P点在B的右边，a的值为3+2＝5． 故a的值为﹣3或5． （3）①设x分钟后P点到点A、点B的距离相等，依题意有： （6﹣2）x＝3﹣（﹣1）， 解得x＝1． 故1分钟后P点到点A、点B的距离相等； ②1×8＝8（个单位长度）． 答：点A与点B重合时，点P所运动的总路程是8个单位长度． 3．（2023秋•郧西县期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子|a+30|+|b+10|+|c﹣14|＝0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． （1）求a，b，c的值； （2）当t＝　22　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数； （3）记线段MN的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出结论即可； （2）根据A点和C点表示的数得出AC的长，然后计算出相遇的时间，进而求出N点表示的数即可； （3）分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵|a+30|+|b+10|+|c﹣14|＝0， ∴|a+30|≥0，|b+10|≥0，|c﹣14|≥0， ∴|a+30|＝0，|b+10|＝0，|c﹣14|＝0， ∴a＝﹣30，b＝﹣10，c＝14； （2）当t＝22秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为﹣30，C所表示数为14， ∴AC＝14﹣（﹣30）＝44， ∴点P从A运动到点C所用时间为：44÷2＝22（秒）， 故答案为：22； 线段MN的运动时间为22﹣5＝17（秒）， 线段MN从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：﹣4， ∴线段MN运动17秒后，点N所表示数为：﹣4+3×（17﹣6﹣6）＝11； （3）点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：﹣30+2t， ①当t＜11 时，点Q所表示数为：﹣7+3（t﹣5）＝3t﹣22， 即PQ＝|3t﹣22﹣（﹣30+2t）|＝1， 解得t＝﹣7（舍去）或t＝﹣9（舍去）， ②当11≤t≤17时，点Q所表示数为：11﹣3（t﹣11）＝﹣3t+44， 即：PQ＝|﹣3t+44﹣（﹣30+2t）|＝1， 解得t或t＝15； ③当17＜t≤23时，点Q所表示数为：﹣7+3（t﹣17）＝3t﹣58， 即：PQ＝|3t﹣58﹣（﹣30+2t）|＝1， 解得t＝27（舍去）或t＝29（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 4．（2023秋•金水区校级期中）如图，数轴上两点A、B表示的数分别是﹣4和12． （1）若点C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数（画出图形，写出过程）； （2）P从A点出发以1.5个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2.5个单位/秒在数轴上向左运动．求： ①P、Q相遇时点P在数轴上对应的数； ②P、Q运动的同时点M以3.5个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时点M所经过的总路程是多少？ 【分析】（1）设C对应的数为x，根据题意画出图形，当C在A左侧时，﹣4﹣x+12﹣x＝20，当C'在B右侧时，x+4+x﹣12＝20，分别解方程可得答案； （2）①设运动时间为x秒，则P表示的数为﹣4+1.5t，Q表示的数为12﹣2.5t，可得﹣4+1.5t＝12﹣2.5t，解出t的值即可得P、Q相遇时，点P在数轴上对应的数为2； ②用时间乘以速度可得M所经过的总路程． 【解答】解：（1）设C对应的数为x， 如图： 当C在A左侧时，AC＝﹣4﹣x，BC＝12﹣x， ∴﹣4﹣x+12﹣x＝20， 解得x＝﹣6； 当C'在B右侧时，AC＝x﹣（﹣4）＝x+4，BC＝x﹣12， ∴x+4+x﹣12＝20， 解得x＝14； ∴C对应的数为﹣6或14； （2）①设运动时间为x秒，则P表示的数为﹣4+1.5t，Q表示的数为12﹣2.5t， ∵P、Q相遇时，P，Q表示同一个数， ∴﹣4+1.5t＝12﹣2.5t， 解得t＝4， ∴﹣4+1.5t＝﹣4+1.5×4＝2， ∴P、Q相遇时点P在数轴上对应的数为2； ②由①知，P、Q经过4秒相遇， ∵3.5×4＝14（个单位长度）． ∴点M所经过的总路程是14个单位长度． 5．（2023秋•灞桥区校级月考）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，﹣12，c，8，且|a+14|+|c﹣6|＝0． （1）则a＝　 　，c＝　 　；若点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，点C的运动速度为每秒 　 　个单位长度； （2）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD＝2AC，求t的值； （3）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动到点A起始位置时马上停止运动，当点C停止运动时，点A也停止运动，在此运动过程中，A，C两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可求得a、c的值，进而可求得点C的运动速度； （2）根据题意分别表示出AC，BD，再进行分类讨论计算即可； （3）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可． 【解答】解：（1）∵|a+14|+|c﹣6|＝0， ∴a+14＝0，c﹣6＝0， ∴a＝﹣14，c＝6； 6﹣（﹣14）＝20， （个单位长度）， ∴C的运动速度为6﹣4＝2（个单位长度）， 故答案为：﹣14，6，2； （2）t秒时，点A数为﹣14+4t，点B数为﹣12，点C数为6+2t，点D数为8+t， ∴AC＝|6+2t﹣（﹣14+4t）|＝|20﹣2t|，BD＝|8+t﹣（﹣12）|＝20+t， ∵BD＝2AC， ∴①20﹣2t≥0时，20+t＝2（20﹣2t），解得：t＝4； ②20﹣2t＜0时，即t＞10，20+t＝2（2t﹣20），解得：t＝20； ∴t＝4或20． （3）C点运动到A点所需时间为6﹣（﹣14）÷2＝10s，所以A，C相遇时间t≤10，由（2）得t时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得8×（t﹣7.5）+2t＝6﹣（﹣14），解得t＝8＜10，此时相遇点为6﹣8×2＝﹣10； ∴A，C相遇时对应的数为：，，﹣10． 【类型8 数轴中的新定义问题】 1．（2023秋•西城区校级月考）定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足PM＝2PN，则称点P是点M和点N的“双倍点”． 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： （1）当a＝﹣1，b＝5时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：　 　； （2）当b＝a+6且a＜0时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则a＝　 　； （3）若a＝3，b＝6，点C、D在数轴上表示的数分别为﹣4、﹣2，线段CD和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段CD的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒（t＞0），当线段CD上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【分析】（1）设线段AB的“双倍点”为P，P表示的数为x，分两种情况讨论：①点P在A、B之间；②点P在B的右边，根据PA＝2PB列方程求解即可； （2）首先由b＝a+6得出AB＝6，再分三种情况讨论：①点O为线段AB的“双倍点”；②点A为线段OB的“双倍点”；③点B为线段AO的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可． （3）运动t秒后，点B表示的数为3t+6，点C表示的数为8t﹣4，点D表示的数为8t﹣2，求出点A和点B的“双倍点”E1为2t+5，E2为6t+9，然后分别求出四种临界情况：当点D到达E1时；当点C到达E1时；当点D到达E2时；当点C到达E2时；即可得到t的取值范围． 【解答】解：（1）设线段AB的“双倍点”为P，P表示的数为x， ①当点P在A、B之间时， ∵PA＝2PB， ∴x﹣（﹣1）＝2（5﹣x）， 解得x＝3； ②当点P在B的右边时， ∵PA＝2PB， ∴x﹣（﹣1）＝2（x﹣5）， 解得x＝11， 故答案为：3或11； （2）∵b＝a+6， ∴b﹣a＝6，即AB＝6， 分三种情况： ①如果点O为线段AB的“双倍点”，那么AO＝2OB， 根据题意可得：0﹣a＝2（b﹣0）或0﹣a＝2（0﹣b）， ∴a＝﹣2b或a＝2b， ∵b＝a+6， ∴a＝﹣4，b＝2或a＝﹣12，b＝﹣6； ②如果点A为线段OB的“双倍点”，那么AO＝2AB， ∵a＜0， ∴此情况不存在； ③如果点B为线段AO的“双倍点”，那么AB＝2OB， 根据题意可得：6＝2（0﹣b）或6＝2（b﹣0）， 解得：b＝﹣3或b＝3， ∵b＝a+6， ∴a＝﹣9或a＝﹣3； 综上可得：a的值是﹣3或﹣4或﹣9或﹣12， 故答案为：﹣3或﹣4或﹣9或﹣12； （3）运动t秒后，点B表示的数为3t+6，点C表示的数为8t﹣4，点D表示的数为8t﹣2， ∵a＝3， ∴点A和点B的“双倍点”为：或（3t+6）+（3t+6﹣3）＝6t+9， 设点A和点B的“双倍点”E1的位置是2t+5，E2的位置是6t+9， 当点D到达E1时，可得8t﹣2＝2t+5， 解得：； 当点C到达E1时，可得8t﹣4＝2t+5， 解得：； 当点D到达E2时，可得8t﹣2＝6t+9， 解得：； 当点C到达E2时，可得8t﹣4＝6t+9， 解得：； ∴t的取值范围为：或． 2．（2023秋•零陵区月考）23．对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MPNP成立，则称点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”． （1）如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则 　 　是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）； （2）如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数﹣2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数； （3）如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发．在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM＝　 　． 【分析】（1）由三等分点可知ACCB，再由“和谐点”定义判断即可； （2）设点G表示的数为x，由题意可得EFFG，即|﹣2﹣1||1﹣x|，求出x的值即可求解； （3）设运动时间为t秒，分两种情况讨论：当点M是点N、点P的“和谐点”时，|7t﹣5||﹣3t﹣5|，求得OM或；当点M是点P、点N的“和谐点”时，|﹣3t﹣5||7t﹣5|，求得OM＝45． 【解答】解：（1）∵点C、D是线段AB的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴ACCB， ∴点C是点A、B的“和谐点”， 故答案为：点C； （2）∵点F是点E、G的“和谐点”， ∴EFFG， 设点G表示的数为x， ∵点E表示数﹣2，点F表示数1， ∴|﹣2﹣1||1﹣x|， 解得x＝7或x＝﹣5， ∴点G表示的数是7或﹣5； （3）设运动时间为t秒， ∵点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动， ∴M点表示的数是﹣3t， ∵点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动， ∴N点表示的数是5﹣10t， 当点M是点N、点P的“和谐点”时，MNMP， ∴|7t﹣5||﹣3t﹣5|， 解得t或t， ∴M点表示的数是或， ∴OM或； 当点M是点P、点N的“和谐点”时，MPMN， ∴|﹣3t﹣5||7t﹣5|， 解得t＝15， ∴M点表示的数是﹣45， ∴OM＝45； 综上所述：OM的值为或或45， 故答案为：或或45． 3．（2023秋•大冶市期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　； （2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点： ①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数． 【分析】（1）根据两点间的距离易得AC1，BC1，AC2，BC2，AC3，BC3，AC4，BC4，AC5，BC5的长，根据定义，进行判断即可求解． （2）这两个小题运用分类讨论，再由方程即可求得． 【解答】解：（1）∵AC1（﹣1），BC1＝2﹣（）， ∴2AC1≠BC1， ∴C1不是A，B的“联盟点”． ∵AC2＝0﹣（﹣1）＝1，BC2＝2﹣0＝2， ∴2AC2＝BC2， ∴C2是A，B的“联盟点”． ∵AC3＝1﹣（﹣1）＝2，BC3＝2﹣1＝1， ∴AC3＝2BC3， ∴C3是A，B的“联盟点”． ∵AC4＝4﹣（﹣1）＝5，BC4＝4﹣2＝2， ∴AC4≠BC4， ∴C4不是A，B的“联盟点”． ∵AC5＝5﹣（﹣1）＝6，BC5＝5﹣2＝3， ∴AC5＝2BC5， ∴C5是A，B的“联盟点”． 综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5． （2）解；设点P表示的数为x， ①∵P在线段AB上， ∴AP＝x+1，BP＝3﹣x， 当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x， 当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x， 综上所述，点P 表示的数为，． ②由题意得，AB＝4， ∵P在A的左侧， ∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x， 当点A为B，P的“联盟点”时， 若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3， 若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9， 当点B为A，P的“联盟点”时， 2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5， 当点P为A，B的“联盟点”时， BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5， 综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5． 4．（2023秋•中山市期末）对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若AC+CB＝m，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于AC+BC＝5，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于AC+AB＝8，则点A为点B，C的“距离和8点”． （1）若点N表示的数为﹣2，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值； （2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数； （3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数． 【分析】（1）根据若AC+CB＝m，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”的定义，列式计算得m的值； （2）依题意，结合点D是点A，B的“距离和7点”，设D点表示的数为x，进行分类讨论，然后列式计算，即可作答； （3）点E是点A，B的“距离和6点”时，设E点表示的数为y，列式计算；或点A是点B，E的“距离和6点”时，或点B是点A，E的“距离和6点”时，列式计算，即可作答． 【解答】（1）解：∵点N为点A，B的“m和距离点“，且点N在数轴上表示的数为﹣2， ∴AN＝1，BN＝4， ∴m＝AN+BN＝5． （2）解：D点表示的数为x， 当D点在线段AB上时，AD+BD＝AB＝5，不符合题意； 当D点在A点左侧时，﹣x﹣3+（﹣x+2）＝7， 解得：x＝﹣4； 当D点在B点右侧时，x+3+x﹣2＝7， 解得：x＝3； ∴点D表示的数为：3或﹣4． （3）解：①点E是点A，B的“距离和6点”时，设E点表示的数为y， 当E点在线段AB上时，AE+BE＝AB＝5，不符合题意； 当E点在A点左侧时，﹣y﹣3+（﹣y+2）＝6， 解得：y＝﹣3.5； 当E点在B点右侧时，y+3+y﹣2＝6， 解得：y＝2.5； ∴点E表示的数为：﹣3.5或2.5； ②点A是点B，E的“距离和6点”时 ∵AE+AB＝AE+5＝6， ∴AE＝1， ∴点E表示的数为：﹣4或﹣2； ③点B是点A，E的“距离和6点”时， ∵BE+AB＝BE+5＝6， ∴BE＝1， ∴点E表示的数为：1或3． ∴点E表示的数为﹣4或﹣3.5或﹣2或1或2.5或3． 5．（2023秋•青山湖区校级月考）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2． （1）如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①P[B，A]＝　 　； ②若点C在数轴上且C[A，B]＝1，则点C表示的数为 　 　； ③若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D所表示的数． （2）数轴上，点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，点M、N为线段EF上的两点，且M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，求MN的长度． 【分析】（1）①根据新定义，求得PA、PB即可求解； ②根据新定义得到点C为AB的中点，进而求解即可； ③根据新定义分两种情况：点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上，分别求解即可； （2）根据新定义得到ME＝3MN，NF＝2MN，设MN＝x，分点M在N的左边和右边两种情况，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）①由数轴知，PA＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PB＝5﹣（﹣3）＝8， ∴PB＝4PA，则P[B，A]＝4， 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且C[A，B]＝1， ∴CA＝CB，则点C为AB的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：2； ③∵点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2， ∴DA＝2DB， ∵点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5， ∴AB＝5﹣（﹣1）＝6， 当点D在线段AB上时，点D表示的数为， 点D在线段AB的延长线上，点D表示的数为﹣1+2×6＝11， 故点D表示的数为3或11； （2）∵点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50， ∴EF＝50﹣（﹣10）＝60， ∵M[E，N]＝3，N[F，M]＝2， ∴ME＝3MN，NF＝2MN， 设MN＝x，则ME＝3x，NF＝2x， ∵点M、N为线段EF上的两点， ∴分两种情况， 当点M在N的左边时，如图， ∴3x+x+2x＝60，解得x＝10， 当点M在N的右边时，如图， ∴3x﹣x+2x＝60，解得x＝15， 综上，MN的长为10或15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$