重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点，则下列各点中在上的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 5. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ） A. 255 B. 127 C. 126 D. 63 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线交于点O，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过A作于点F．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为4048； ②当时，若，则x的取值范围是或； ③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能． 以上说法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则_____． 12. 若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是______． 13. 重庆因其魔幻建筑，被网友称为“8D魔幻城市”，小南与小开打算来重庆旅游，他们将分别在A、B、C、D四家旅行社中随机选择一家，小南与小开选择同一家旅行社的概率为_______． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 15. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为______． 17. 如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则______，点到的距离为________． 18. 如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在菱形中． （1）尺规作图：作的角平分线交于点E，并在线段上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：平分． 证明：∵菱形 ∴__________ ∴ 在和中 ∵，， ______ ∴ ∴__________ ∵平分 ∴ ∵ ∴__________ ∴平分． 23. 北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．） 七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 30 八年级 92 a 95 26.8 八年级选取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息回答下列问题： （1）______，_______，______． （2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由． （3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（）的学生共有多少人？ 24. 巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的． （1）请问大，小款单价各多少元？ （2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值． 25. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； （2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 27. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． （1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； （3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 数学（一） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】9 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】7 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】2 【17题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【18题答案】 【答案】 ①. 38 ②. 2488 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】, 【22题答案】 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：∵菱形 ∴ ∴ 在和中 ∵，， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴平分． 【23题答案】 【答案】（1），，40 （2）八年级学生的成绩更好； （3）估计成绩优秀（）的学生约有1200人． 【24题答案】 【答案】（1）大，小款单价各为元和元 （2）m的值为 【25题答案】 【答案】（1） （2） 图象如图所示： 由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）或 【26题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【27题答案】 【答案】（1）； （2） 如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $