专题06 函数的概念及其表示、函数的基本性质（考点清单+知识导图+ 19个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单06 函数的概念及其表示、函数的基本性质 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） （19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【清单02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【清单03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【清单05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性 【例1-1】（23-24高一上·河南·期中）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高三上·浙江温州·阶段练习）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 【解题方法】定义法 【例2-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【变式2-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【例2-2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 【考点题型三】求函数的单调区间 【解题方法】图象法 【例3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【变式3-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 【例3-2】（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】求复合函数的单调区间 【解题方法】同增异减；图象平移 【例4-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一上·黑龙江）函数的单调递增区间是（　　） A． B．， C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】根据函数单调性求参数 【解题方法】图象法 【例5-1】（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一上·河南·期中）函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高三上·全国·阶段练习）函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】判断函数的奇偶性 【解题方法】定义法，图象法 【例6-1】（多选）（23-24高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【变式6-2】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 【解题方法】奇偶性定义 【例7-1】（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式7-1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 【解题方法】奇偶性+单调性 【例8-1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24高一·河南安阳·阶段练习）已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【变式8-2】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【解题方法】公式法 【例9-1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式9-1】（23-24高一下·全国·课后作业）若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少有 个. 【例9-2】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 . 【变式9-2】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（    ） A．2 B． C．2024 D．2025 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【解题方法】图象法+公式+定义 【例10-1】（多选）（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（        ） A． B．在单调递增 C．的解集是 D．的最大值是 【变式10-1】（多选）（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的周期为4 【例10-2】（多选）（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ） A．可能是偶函数 B． C． D． 【变式10-2】（多选）（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【解题方法】奇偶性定义 【例11-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【变式11-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【例11-2】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，的解集为． (1)求a，b的值； (2)若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 【变式11-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【解题方法】图象法 【例12-1】（23-4高一上·河南郑州·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递减 【变式12-1】（23-24高一上·河北石家庄）f(x)=的单调增区间为 ． 【例12-2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【变式12-2】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【解题方法】图象法 【例13-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式13-1】（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例13-2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例13-3】（23-24高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-4】（23-24高二上·云南迪庆·期末）若函数，且对于，恒有，则实数的取值范围是 . 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 【解题方法】图象法 【例14-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【变式14-1】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域． 【例14-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【变式14-2】（23-24高一上·天津·期中）已知函数，，设函数.    (1)求的解析式； (2)画出的图象，并求出其值域： 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 【解题方法】配方法+图象法 【例15-1】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例15-2】（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式15-2】（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 【解题方法】图象法+分类讨论 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 【变式16-1】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 【例16-2】（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【变式16-2】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 【解题方法】判别法+变量分离法 【例17-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 【变式17-1】（2024高二上·新疆·学业考试）设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【例17-2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【变式17-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【变式18-1】（23-24高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例18-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. (1)求证为奇函数； (2)试判断在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【变式18-2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19-1】（24-25高一上·全国·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． (1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） (2)已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； (3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【例19-2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D． (1)记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件， 则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）： 在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）； 在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）； (2)若在满足性质B，求实数a的取值范围； (3)是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值． 提升训练 一、单选题 1．（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 2．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西宝鸡）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 5．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4050 B．4048 C．4044 D．4036 7．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 10．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 三、填空题 11．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是 ， ． 12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 四、解答题 13．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 14．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 函数的概念及其表示、函数的基本性质 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） （19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【清单02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【清单03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【清单05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性 【例1-1】（23-24高一上·河南·期中）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图像的识别、基本不等式求和的最小值 【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案. 【详解】当时，，为减函数，排除AD； 当时，， 当且仅当时，取得最小值2，故排除C. B选项的图象符合题意. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在上的单调性判断即可； 【详解】解：因为，所以定义域为，所以，当时，因为与在上单调递增，所以函数在定义域上单调递增，故排除A、C、D， 故选：B 【例1-2】（23-24高三上·浙江温州·阶段练习）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别 【解析】将原函数的解析式变形为，然后根据对勾函数的图象性质即可判断出答案. 【详解】原函数解析式可化为： 其图象可看作是将对勾函数右移个单位，上移个单位而得到，故A选项符合. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，较简单，将原函数解析式合理变形是关键. 【变式1-2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数图像的识别 【分析】由题可得可排除AB，然后根据时函数值的范围可排除C. 【详解】因为， 所以，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D. 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 【解题方法】定义法 【例2-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据题意，任取，令，利用作差法单调性的定义分析证明； （2）根据（1）中可知：在区间上单调递增，可证在区间上单调递减，根据单调性分析最值，进而可得值域. 【详解】（1）证明：任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知：在区间上单调递增， 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减， 因为，且， 可知函数的最大值为，最小值为2， 所以函数的值域为． 【变式2-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【知识点】已知f（g（x））求解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 【例2-2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可. （2）利用单调性法求解值域即可. 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】函数在上为严格减函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】当时，函数在区间上为严格减函数． 证明：设， 则． 因为，，所以，，，， 所以，所以． 所以当时，函数在上为严格减函数． 【考点题型三】求函数的单调区间 【解题方法】图象法 【例3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【知识点】求函数的单调区间 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 【变式3-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果. 【详解】 如图所示： 函数的单调递增区间是和． 故选：B. 【例3-2】（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【知识点】画出具体函数图象、求函数的单调区间 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据图像判断函数单调性、求函数的单调区间 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 【考点题型四】求复合函数的单调区间 【解题方法】同增异减；图象平移 【例4-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 【变式4-1】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复合函数的单调性 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性，即可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上为增函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故选：C. 【例4-2】（23-24高一上·黑龙江）函数的单调递增区间是（　　） A． B．， C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性原则“同增异减”，可得答案． 【详解】由，可知函数开口向上，对称轴，且． 因为函数在区间，上单调递减， 所以原函数的单调递增区间，． 故选:B． 【变式4-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题 【解析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数有意义满足，解得或， 令， 由二次函数的性质，可得函数在上单调递减，在单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间单调递减， 即函数的单调递减区间为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【考点题型五】根据函数单调性求参数 【解题方法】图象法 【例5-1】（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 【例5-2】（23-24高一上·河南·期中）函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数 由于在区间上单调递增，所以， 故，平方可得，解得， 当时，函数，图象开口向下，图象关于对称， 由于，所以在上单调递减； 当时，函数，图象开口向上，关于对称， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若在区间上单调递增，则有解得． 故选：B． 【变式5-2】（23-24高三上·全国·阶段练习）函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据绝对值函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数在区间上不单调， 则有，即， 故选：B 【考点题型六】判断函数的奇偶性 【解题方法】定义法，图象法 【例6-1】（多选）（23-24高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】直接利用函数的奇偶性的定义判断. 【详解】A.因为的定义域为， 且，A正确； B.因为的定义域为R， 且 ，B正确 C.因为的定义域为， 设，则，所以，则， 同理当时，，所以函数是奇函数，C正确； D.由，即，解得 , 所以函数的定义域是 ，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：ABC 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 【例6-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)非奇非偶函数，理由见解析 (3)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域 【分析】（1）（2）（3）（4）利用定义域是否对称和与的关系式来判断奇偶性. 【详解】（1）由得定义域为，关于原点对称， ∴，此时， ∴函数为奇函数． （2）由，得定义域为，关于原点不对称， ∴为非奇非偶函数． （3）由，得，即该函数的图象由点，构成， 这两个点既关于原点对称，也关于轴对称， ∴既是奇函数又是偶函数． （4）当时，，，∴． 当时，，，∴． 当时，，，∴． 综上可知，对于定义域内的每一个都有，∴为偶函数． 【变式6-2】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 【解题方法】奇偶性定义 【例7-1】（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 【变式7-1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 【变式7-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 【解题方法】奇偶性+单调性 【例8-1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 【详解】由函数的图象经过点，得， 则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数解析式可判断出是定义在上的单调递减函数，且为奇函数，将不等式变形即可求得实数的取值范围. 【详解】易知函数的定义域为，且满足，可知为奇函数， 当时，，此时单调递减， 根据奇函数的对称性可知，是定义在上的单调递减函数， 由可得， 所以，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【例8-2】（23-24高一·河南安阳·阶段练习）已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数性质以及函数单调性限定出不等式取值范围可得结论. 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【解题方法】公式法 【例9-1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先由函数图象平移的性质得到为偶函数，再利用函数周期性的判定得到为周期函数，进而利用赋值法即可得解. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到， 所以的图象关于直线对称，故为偶函数， 因为4，所以， 所以是以8为一个周期的偶函数， 所以， 由，得，则. 故选：C. 【变式9-1】（23-24高一下·全国·课后作业）若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少有 个. 【答案】7 【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1， 所以， 所以 ， 因为为奇函数，所以， 所以，故， 所以，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故答案为：7． 【例9-2】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、指数函数的判定与求值、由函数的周期性求函数值 【分析】推导出函数是周期为4的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】由题意得，，令，则， 所以函数图象关于直线对称，即， 设，又关于对称， 所以，即， 所以，所以函数是奇函数， 所以函数图象关于原点中心对称， 所以，所以， 故函数是周期函数，周期为4. 又当时，，且，故可以得出. 进而. 那么 . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于成中心对称； （2）若，则函数关于成中心对称. 【变式9-2】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（    ） A．2 B． C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，求得，得到的周期为3，进而求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 可得，所以，所以函数的周期为3， 又因为函数的图象关于 轴对称，且， 可得， 所以， 则. 故选：A. 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【解题方法】图象法+公式+定义 【例10-1】（多选）（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（        ） A． B．在单调递增 C．的解集是 D．的最大值是 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值、函数基本性质的综合应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的性质可得，可判断A选项；利用函数单调性和奇偶性可判断B选项；由可得，解该不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为数是定义在上的偶函数，当时，. 对于A选项，，A对； 对于B选项，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在上不单调，B错； 对于C选项，由可得，可得， 解得或， 所以不等式的解集为，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，要求函数的最大值，只需求该函数在上的最大值， 由二次函数的基本性质可知，当时，，D对. 故选：AD. 【变式10-1】（多选）（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的周期为4 【答案】BCD 【知识点】函数对称性的应用、函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用已知先求的对称轴和对称中心，然后可得周期可判断D；利用对称性分析可判断BD，取特例验证可判断A. 【详解】由函数的图象关于直线对称，得， 即，将换为可得， 所以的图象关于直线对称. 由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于点对称，即. 所以的对称轴关于的对称直线也是的对称轴，C正确； 所以的对称中心关于的对称点也是的对称点，B正确； 又，所以，的周期为4，D正确； 根据以上性质，不妨作出满足函数性质的一种图象情况，如图，    由图可知，此时可以不成立，故A错误. 故选：BCD． 【例10-2】（多选）（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ） A．可能是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、函数基本性质的综合应用 【分析】对选项逐一判断，取常数函数即可判断A选项，根据题设有、，进而可得，由周期性、奇偶性求即可判断B选项，最后结合在上单调递增，即可判断C、D选项． 【详解】对于选项A，当时，符合题意，所以A正确； 对于选项B，由是奇函数，则， 所以①， 是偶函数，同理易知：②， 由②得，联立①式得③， 所以④， 由③④得，即， 所以，选项B错； 对于选项C，由知，当得， 由知，当得， 所以， 所以， 由已知在上单调递增，且，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D，由及 得， 所以， 因为，即，所以选项D正确， 故选：ACD． 【变式10-2】（多选）（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数对称性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】根据函数的对称性，由对称轴和对称中心分别判断各个选项即可. 【详解】函数的定义域为R，， 函数关于对称，即， ， 的图象关于点对称. 对于AB：的图象关于点对称，，但无法判断，故B正确，A错误； 对于D：的图象关于直线对称，且，，故D正确； 对于C：的图象关于直线对称，的图象关于点对称，，即，，令，则，故C正确. 故选：BCD. 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【解题方法】奇偶性定义 【例11-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)，． (2)在上为减函数,证明见解析. (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式. （2）根据单调性的定义可得在上为增函数； （3）根据（2）中的单调性可求不等式的解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：， ∴，而，解得， ∴，． （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意，且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数． （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得,所以该不等式的解集为． 【变式11-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据图象关于原点对称得图象过点和，再用待定系数即可求解； （2）将化为，再用分离参数法求解即可. 【详解】（1）依题意，函数的图象过点和. 所以，故， （2）不等式可化为. 即对一切的恒成立. 因为， 由对勾函数的性质可得函数在上单调递增， 所以，. 所以实数的取值范围为. 【例11-2】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，的解集为． (1)求a，b的值； (2)若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解； （2）（ⅰ）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （ⅱ）结合导数分析时，的单调性，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性，进而转化为，利用单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且， 所以，解得，. （2）（ⅰ）由（1）知，， 当时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， ， 故， 所以. （ⅱ）当时，， ，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，， 所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. 由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为. 【变式11-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）设，得到，再利用函数是定义在上的奇函数求解； （2）易得，再利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设，则， 因为当时，， 所以， 又函数是定义在上的奇函数， 所以； （2）函数， 其对称轴方程为， 当时，，解得，成立； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，不成立； 故a的值为. 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【解题方法】图象法 【例12-1】（23-4高一上·河南郑州·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【知识点】分段函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先判断的奇偶性，然后将表示为分段函数的形式，画出的图象，由此确定正确答案. 【详解】的定义域为，，所以是偶函数， 当时，， 当时，， 所以， 画出的图象如下图所示， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 【变式12-1】（23-24高一上·河北石家庄）f(x)=的单调增区间为 ． 【答案】/ 【知识点】分段函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】画出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数f(x)=的图象如图所示： 由函数的图象知：f(x)的单调增区间是， 故答案为： 【例12-2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【答案】C 【知识点】分段函数的单调性、根据图像判断函数单调性 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间. 【详解】， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和， 故选：C 【变式12-2】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)5 (2)作图见解析 (3)减区间为，增区间为；值域为 【知识点】求分段函数值、分段函数的单调性、分段函数的值域或最值、画出具体函数图象 【分析】（1）先求，再求可得答案； （2）分段作出图象即可； （3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域． 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）草图如下： （3）由图可知，减区间为，增区间为； 当时，； 当时，为减函数，所以； 当时，为增函数，所以； 所以的值域为． 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【解题方法】图象法 【例13-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【变式13-1】（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题意可得：， 故实数的取值范围是. 故选：A. 【例13-2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递减， 根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得， 实数的取值范围为. 故选：B. 【变式13-2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 【例13-3】（23-24高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式13-4】（23-24高二上·云南迪庆·期末）若函数，且对于，恒有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用分段函数的单调性来求参数的取值范围，即可. 【详解】假设，由得：， 所以可得是单调减函数； 由在上单调递减，可得：，即； 由于是单调减函数，还需要满足，即； 综上可得：实数的取值范围是； 故答案为：. 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 【解题方法】图象法 【例14-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为2，最小值为 【知识点】分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】作出图象，数形结合即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 【变式14-1】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)11 (2) 【知识点】分段函数的值域或最值、求分段函数值 【分析】（1）根据分段函数解析式运算求解即可； （2）分、和三种情况，结合分段函数解析运算求解即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 若，则； 若，则； 若，则； 综上所述：的值域为. 【例14-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)，函数图象见详解； (2) (3) 【知识点】画出具体函数图象、分段函数的值域或最值、二次函数的图象分析与判断、函数图象的变换 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图象； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【详解】（1）函数的解析式为， 函数图象如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图象可知，函数的值域为； （3）的图象是保留函数横轴及横轴上方的图象，下方图像象沿轴向上对称翻折， 如图，由的图象可知，当时，直线与函数的图象的交点个数为2， 的取值范围为. 【变式14-2】（23-24高一上·天津·期中）已知函数，，设函数.    (1)求的解析式； (2)画出的图象，并求出其值域： 【答案】(1) (2)图象见解析，值域为 【知识点】画出具体函数图象、分段函数的值域或最值、求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由题意分别求出当、时的解析式，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质画出对应的图象，结合图形即可得出函数的值域. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时， 所以， 所以. （2）如图所示：    由图象可知函数的最小值为，最大值为， 故函数的值域为. 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 【解题方法】配方法+图象法 【例15-1】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故选：C. 【变式15-1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 【例15-2】（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)， 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】（1）由二次函数开口和对称轴可直接判断； （2）由定区间的图像特征直接求解即可. 【详解】（1）由，函数对称轴为，又因函数开口向上， 故在上函数单调递减，在上函数单调递增； （2）因为，时单减，时单增， ，. 【变式15-2】（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 【解题方法】图象法+分类讨论 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】（1）分别在、和的情况下，根据二次函数单调性确定最大值，由此可得； （2）根据（1）中结论可得，由二次函数性质可得结果. 【详解】（1）； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，； 当时，在上单调递减， ； 综上所述：. （2）由（1）知：当时，； 当时，； 综上所述：当时，的最大值为. 【变式16-1】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）结合二次函数的对称轴及端点值，即可求解参数范围. （2）根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解最小值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为，， 所以在上的值域为时，； （2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上， ①当时，在上单调递增， 故； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故； ③当时，在上单调递减， 故． 综上所述，． 【例16-2】（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）若存在使成立， 则， 解得或， 所以k的取值范围是； （2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时， ； 当即时， ； 当即时， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【变式16-2】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 【答案】(1) (2)或． 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）把的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解， （2）讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出最小值，令其为3，解出来的值，进而可以求解． 【详解】（1）若，则，对称轴为， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，； 所以的值域为 （2），对称轴为， ①当，即时，函数在,上是增函数． ， 由，得． ，． ②当，即时，． 由，得，舍去． ③当，即时，函数在,上是减函数， ． 由，得． ，， 综上所述，或． 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 【解题方法】判别法+变量分离法 【例17-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）分及进行讨论，结合根的判别式计算即可得； （2）参变分离后借助换元法计算即可得； （3）令，则可结合一次函数的性质计算即可得. 【详解】（1）当时， ，此时，不符合要求， 当时，， 若不等式对任意恒成立，则有， 即，该不等式组无解， 故不存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）由题意可得：当时，恒成立， 令，则，则， 由在上单调递增，故， 则，故； （3）设， 由题意可得在上恒成立， 故有，即， 由①得或， 由②得， 即可得. 【变式17-1】（2024高二上·新疆·学业考试）设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可； （2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可. 【详解】（1）当时，即为， 解得或， 则该不等式解集为. （2）对恒成立， 即对恒成立， 分离参数得对恒成立， 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 则. 【例17-2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式； （2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围. 【详解】（1）因为的解集是， 则的两根是和， 由根于系数关系可得， 解得， 所以； （2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得， 则，， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取到最大值，， 所以， 故的取值范围是； 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 【变式17-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】（1）分类讨论解析一元二次不等式. （2）把代入，并等价变形不等式，再分段分离参数，借助对勾函数单调性求出最值即得. 【详解】（1）函数，不等式， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，若，则； 若，则或；若，则或， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）当时，函数，不等式， 依题意，，不等式，当时，成立，， 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则， 所以实数的取值范围是. 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 【变式18-1】（23-24高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）令,得到与的关系,可判断函数奇偶性. （2）先判断函数单调性.再利用函数奇偶性和单调性解不等式,再把恒成立问题转化为求最值问题.即可求解. 【详解】（1）令可得：       （2）先证明：在R上为减函数 证明：设任意，且，则 又当时，， 即在R上为减函数. ， 可得恒成立 当时，2>0恒成立 当时，，综上实数的取值范围是 【例18-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. (1)求证为奇函数； (2)试判断在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）令结合奇函数的定义证明； （2）利用单调性的定义证明； （3）利用函数的单调性解抽象不等式. 【详解】（1）证明：取，得；再取，得 ， 即，∴为上的奇函数； （2）为上的增函数.证明如下： 证明：任意取，且， 则， ∴， ∵，∴， 由已知时，得，∴，即， ∴为上的增函数. （3），∵为上的增函数， ∴，即. 当时，解集为空集； 当时，； 当时，， 综上所述：当时，解集为空集； 当时，解集为：； 当时，， 【变式18-2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19-1】（24-25高一上·全国·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． (1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） (2)已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； (3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】(1)① (2)①或；②或 (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【详解】（1）对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； （3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 【例19-2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D． (1)记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件， 则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）： 在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）； 在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）； (2)若在满足性质B，求实数a的取值范围； (3)是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、充要条件的证明、必要条件的判定及性质 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案； （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围； （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值． 【详解】（1）由于，所以， 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件； 故答案为：①； 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件, 故答案为：②； 对于性质D，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在单调递增是在上具有性质的充要条件； 故答案为：③． （2）对于任意的，，且， 有，， 由于在，满足性质， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由于任意的，，且， 所以，所以， 所以实数的取值范围是； （3）实数的最小值为，理由如下： 因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个， 所以对任意，且， 若满足性质，， 若满足性质，则， 若满足性质、，则， 性质、、同时满足，所以仅满足性质， 此时， 有恒成立． 因为的定义域为， 所以， 当时，， 所以， 从而，不合题意； 当时，， 所以， 从而， 要使恒成立，只需使， 即恒成立， 若，则，，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为． 【点睛】本题属于新概念题，利用对充要条件、充分不必要、必要不充分条件的理解来进行判断，利用不等式的性质，参变分离解决不等式恒成立问题，同时需要利用分类讨论的思想进行不重不漏的讨论． 提升训练 一、单选题 1．（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用偶函数的定义及性质判定即可. 【详解】∵函数的定义域为R且， ∴是定义在R上的偶函数， ∴，， 又∵在上单调递增，且， ∴，即． 故选：A 3．（23-24高一上·陕西宝鸡）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值是8 B．函数的最小值是8 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得的最小值判断BD；由对勾函数的单调性可知无最大值判断AC. 【详解】函数，又， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为8，故B正确，D错误； 由，知时，，所以， 故无最大值，故AC错误. 故选：B. 5．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的最值求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4050 B．4048 C．4044 D．4036 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，则，即， 即，所以函数关于对称， 所以，即，可得， 所以，所以函数为周期为4的函数， 由，所以，则， 所以，且，即， 又，所以， 所以， 所以. 故选：A. 7．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 8．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对称性研究单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断D，则可得出结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以，B正确，A错误． 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确． 若在上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是 ， ． 【答案】 1（不唯一）； 0 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质及定义求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得， 当时，，满足，为奇函数. 故答案为：1（不唯一）； 0 12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数的性质求解解析式即可； （2）判断出为增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 14．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）把当时，解方程即得. （2）通过讨论a的取值，确定函数在区间的最小值为． 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或，则或， 所以方程的解集为. （2）当时，， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当时，函数，其图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当，即时，函数在上单调递增， 则，即； 当，即时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即， 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$