重难点专题08 抽象函数的对称性、周期性（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

重难点专题08抽象函数的对称性、周期性 题型概览 重难点一平移法判断对称性 抽象函数的对称性 重难点二定义法（式子特点）判断对称性 象函数的对称性 重难点三赋值法证明对称性 重难点一由对称性得周期性 抽象函数的周期性 重难点二定义法（式子特点）得周期性 、周期 重难点三递推法、换元法证明周期性 函数对称性与周期性的综合应用 重难点比较大小、解不等式 00 重点强化 【抽象函数的对称性】 【重难点一平移法判断函数的对称性】 妹方法 平移法判断函数的对称性 f(mx+a)+b是偶函数一f(x)关于x=a对称， f(mx+a)+b是奇函数一f(x)关于(a,-b)对称 1.(多选)对于定义在R上的函数fx,下列说法正确的是() A.若fx是奇函数，则fx+1的图像关于点1,0对称 B.若函数fx-1的图象关于直线x=1对称，则fx为偶函数 C.若fx=2+a是奇函数，则fx的值拔为-0，-1U1,+o 2*-1 D.系激fW-X产2*1在区同-2024,2024止的装大值为M,技小值为m,则M+m=2 第1页 【练习】（多选）设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时， f(x)=aX2+b若f0)+f(3)=12下列叙述正确的是（） A.f(1)=0 B.fx)关于x=1对称 C.f(x)关于x=2对称 D.a=-4,b=4 2.(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，fx-2)为奇函数，f2x-1)为偶函数，则下列说法 一定正确的是() A.f(x为奇函数 B.fx)为关于x=1对称 C.f(x)关于点(-1,0)对称 D.f(-2)=0 【练习】若f2x-1为奇函数，则f引x关于对称，则f2x关于对称： 第2页 【重难点二定义法（式子特点）判断函数的对称性】 方法 由式子特点得对称 1.关键：一个函数的对称性，首先应满足自变量有对称关系，即“自变量和为常数有对称”，再满 足函数值的对称关系 2.判断方法：类比中点坐标理解 (1)轴对称：自变量互为相反数，函数值相等。 如a+)=a一x),则y=)的图象关于直线x=a对称. a+b a+)=他一x),则y=)的图象关于直线x=2 对称. (2)中心对称：自变量互为相反数，函数值互为相反数（和为定值）。 如f(x)+f(2a-x)=2b,则函数fx)关于点(a,b)对称， 3.已知函数y=fx的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数y=fx的图象的对称性： (四)fx+1=f3-x 2)fx+1=-f13-x 3fx+1=-f3-x+2 【变式】（多选）以下四个命题中图象关于直线x=1对称有() A.若f1+x=f1-x,则fx的图象 B.y=fx-2与y=f2-x的图象 C.若fx为偶函数，且fx+2=-fx,则fx的图象 D.若fx为奇函数，且fx=f-x-2,则fx的图象 第3页 4.(多选)定义在R上的函数f引x满足：fx=f2-x,f-x=-f4+x,当x∈0,1时， fx=e-1'则() A.fx的周期为4 B.fx为偶函数 C.fx在区间14,6上是增函数 D.函数y=fx-X的零点个数为2 【变式】（多选）定义在R上的连续奇函数fx,满足f1+x=f3-x且fx在0,2上单调递减， f2=-1,则() A.函数fx的图象关于直线x=2对称 B.函数fx的周期为4 c.f2024+f2026=-1 D.设gx=e-6<X<2,fX利gx的图象所有交点横坐标之和为-4 第4页 【重难点三赋值法一般推导判断函数的对称性】 方法赋值法进行一般推导，从而得到函数的对称性 1.原理：通过给题目中的式子进行赋值，变形后可得满足对称性的式子，从而确定对称性 2赋值的常用技巧 (1)第一层次赋值：取特殊值，常令字母取0,1,1等 (2)第二层次赋值：若题中有条件 f (xo)=t 则再令字母取X0。 (3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子的运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积或者差 与商的形式 5.(多选)设函数fx满足fx+y-fx-y=-2fx-1fy-1,x,y∈R,且f0≠0，则下 列结论正确的是() A.f-1=0 B.fx的图象关于0,0中心对称 C.x=2025是函数fx的图象的一条对称轴D.f1+f2+…+f2026=-1 6.(多选)定义在R上的函数fx满足：f1=1,fx+y=fxf1-y+f1-xfy,则() A.flo)=0 第5页 C.f(1-x)=f(1+x) D.f(x+2)=f(x) 7.(多选)已知函数fx满足：对任意实数x、y都有2fxfy=fx+y+fx-y,且f1=-1, f0≠0，则下列说法正确的有() A.f2- B.fx是偶函数 C.函数fx的图像关于直线x=对称 D.函数fx的图像关于点日，0对称 2 2’0 【变式】已知定义在R上的函数fx,gx不恒为0，且满足2fx·gy=fx+y+fx-y, f0=0:g1=0,则下列说法不正确的是() A.g0=1 B.fx为奇函数 C.点2,0是函数fx图象的对称中心 D.fx为周期函数且周期为2 第6页 8.已知函数fx,gx定义域均为R,gx的图象关于点1,0对称，且满足f1+x+g-x=4, fx-3+gx=4,则下列说法错误的是() A.函数fx的图象关于x=-1对称 B.函数gx的图象关于x=2对称 C.y=gx-1是奇函数 D.g-1+g0+g1+g2=1 【练习】（多选）已知函数fx,gx的定义域均为R,且fx+g6-x=5,gx=fx+4+7. 若函数y=g2x+4为偶函数，且g2=4,则下列说法正确的是() A.函数y=gx的图象关于x=4对称 B.函数y=fx的图象关于x=2对称 c.艺f1-2026 第7页 D.老函数x=6+gX有m个等点，h1x的专点之别为m 重点强化 【抽象函数的周期性】 【重难点一由对称性得周期性】 煤方法 由对称性得周期性 两点：(a,0),(b,0)→周期T=2a-b 两轴：直线xa,直线x=b→周期T=2a-b 一点一轴：(a,0),直线xb→周期T=4a-b 【注】结合sinr的图象理解记忆 9.定义在R上的函数y=fx是奇函数，y=f2-x为偶函数，若f1=1,则f2025+f2027= () A.-2 B.0 C.2 D.3 第8页 【变式】己知函数fx的定义域为R,fx-1为偶函数，y=fx-1是奇函数，且f1=0,则 f0+f1+f2+f3+.+f2025=一 10.已知定义在R上的函数fx满足f-x=-fx,f1+x=f1-x,当x∈0,1时， fx=x2-3x则f12023=（） A.2 B.-2 C.-4 D.4 【练习】已知y=fx-1的图象关于点1,0对称，且对Vx∈R,都有fx-1=f3-x成立，当 0≤x≤1时·fx=x2:则f2027=（） A.-1 B.0 c.1 D.2 第9页 【重难点二定义法（式子特点）判断函数的周期性】 ©啸方法定义法判断函激的周期性 1根本：一个函数具有周期性，可以理解为左右平移之后与原来一致，所以首先应满足自变量是不 变的，即“自变量不变（差为常数）有周期”，但存在“错位关系” 2.常见结论： x)=fx+→周期T=a x+=x+b)→周期T=a-b fx+atx+b)=c→周期T=2a-b 1 fx+) ±fx一周期T=2lal (巧记)①y相等，周期为“差”；(y差为常数，有周期，周期为差值) ②y和为常数、互为倒数（负倒数），周期为两倍“差” ③y差/和/积，余下部分有x的一律无周期 山.已知定义域为R的函数fx满足fx+3=fx当x∈5,8时：fx=X-1则f1=（） A.0 B.24 C.35 D.48 第10页 【练习】定义在R上的函数fx是奇函数且fx=fx+,当x∈(？，时，fx=sinx,则 f 202Z元的值为(） 3 4.-3 3 2 2 c 12.已知fx是定义在R上的偶函数，且fx+4=fx-2当xe03时，fx=}测 f2026= 13.若函数f(x)对任意的x∈R都有fx+3)=-f(x),f(x+3)是偶函数，且当x∈[2,3]时， f(x=3x,则f(2026)=一· 第11页 【变式1】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足fx+fx+2=0,若 x∈6,7.5，fx=x2-ax+b'则a,b的值分别为 【变式2】己知函数fx,满足f引x+3+fx+1=f2026,且fx+1是偶函数，f1=1,则 学=《 A.2 B.0 C.-1 D.-2 14若何函藏fx对在忘xeR都有x+3=石且当x∈-3,2]时，fX=4x,则 f(2024)=一 第12页 道ET熊 5a04a1-以标品+U3深s07【长】 sZ0zJm‘T=H.X+L-=亿+XJs纪sT =920m子-0华是-=亿+J制送容G1停2【E多1 【重难点三递推法、换元法推导函数的周期性】 ©啸方法递推法、换元法推导函数的周期性 1原理：通过给题目中的式子进行整体换元或迭代替换，变形后可得满足周期性的式子，从而确定 对称性 2.换元法 (1)适用情况：题目中为f(x+a)与f(x)的关系式 (2)解题思路步骤： ①已知题中式子，类似f(x+a)=A ②将式子中的x都用x+a进行替换，得到f(x+2a)=B ③两个式子联立，消去f(x+a),凑出f(x+T)=f(x),从而得到周期性 3.递推法 (1)适用情况：题目中为f(x+a)与fx+b)的关系式或同时含f(x+a)、f(x+b、、f(x)的混 合式 (2)解题思路步骤： ①已知题中式子，类似f(x+a)=f(x+b)+f(x) ②将式子中的x都用x+a进行替换，得到新式子 ③两个式子联立，消去多余的f(…),消元一次得不到f(x+T)=f(x),就继续换元，不断替换消 元，直到得到f(x+T)=f(x),从而确定周期性 【注意点】 ①推出的T只是一个周期，不一定是最小正周期；题目没问最小正周期，写这个周期即可； ②递推时，每一次换元是式子中的x全部一起替换，不要只换一部分。 16.已知函数fx的定义域为R,对任意x∈R,满足fx+1+fx-1=V2fx,且f0=2, 第14页 f1=2则f2026=（） A.-V2 B.0 c.V2 D.2 【练习】己知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且f(1)=1,f(5)=5,则f4)= 2rx一 17.已知函数fx的定义域为R,fx-fx-1+fx-2=0,且f10>f20,f20<f30,则 下列结论中一定正确的是() A.f100>0 B.f100<0 c.f101>0 D.f101<0 第15页 18.(多选)己知函数fx满足对任意的x,y∈R,都有fx+y+fx-y=fxfy,且 f1=-1,则() A.f0=2 B.fx是偶函数 C.fx是奇函数 D.fx)=f(x+3 【变式】（多造）已知题fx)满足vx,y∈Rfx+y=fx刘f行-y+f}×fy且 f3r则() A. B.直线x=号为f(x的图象的一条对称轴 3 C.f(x)为偶函数 D. 咒)0 第16页 19.(多选)已知函数fx的定义减为R,且fx+yfx-y=fx-fy小f2x+为偶函数， 则( A.f0=0 B.fx为偶函数 c.f(3+x)=-f(3-x) D.f1+f2+f3+f4+f5+f6)=0 20.（多选)已知函数fx是定义域为R的奇函数，gx=x-2fx,若g4-x=gx, f-1=-2,f2=0,则() A.g5=-6 B.fx的图象关于点2,0对称 C.fx是周期为4的周期函数 D. 2025 f=2 第17页 蛋点强化 【函数对称性、周期性的综合应用】 【重难点函数对称性、周期性的综合应用：比较大小、解不等式】 ©啸方法 综合利用对称性、周期性、单调性比较大小、解不等式 1核心思想：对称性用来“转移自变量”，周期性用来“平移自变量”，最终把所有自变量全部 化到同一个单调区间内，再利用单调性比大小、脱∫解不等式。 2.比较大小 解题步骤： ①设要比较的几个自变量：X1,X2,X3 ②利用周期性：f(x)=f(X±KT),加减整数倍周期，把自变量拉到“基准区间”； ③利用对称性：f(x)=f(2a-x)(轴对称)或fx)=-f(2a-x)中心对称)，继续转化，直至 把几个自变量全部转化到题目中所给的同一个单调区间里面 ④根据单调性，比较转化后的自变量大小，从而得到函数值大小； ⑤还原写出原来f(x),f(x2),f(x3)的大小关系。 3. 解抽象不等式f(M)f(N) 第18页 解题步骤： ①变形为标准形式f(M)<f(N),如f(M)上k(k为常数)，需先通过赋值法等把k进行转化，写成 k=f(t) ②利用周期性、对称性将f(M)<f(N)都转化到同一个单调区间内，f(M)=fM'),f(N)=f(N') ,M'、N'∈单调区间 ③在单调区间内脱掉，写出M'、N'的大小关系： 轴对称x=a→转化为M'、N'到对称轴的距离比较，即M'-a<N'-a 中心对称→直接根据单调比较，即M'<N ④联立：定义域约束+③中的不等式，解出x,最后取交集。 21.已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f2-x且yX,x,∈-0,2Xx小都有 x-xfx小-fx0则fo,f31,fm的大小关系是（) A.fo<f3<fπ B.f3<fπ<fo c.f0<fπ<f3 D.f(]<f(3<f0) 22.已知函数fx满足：①定义域为R,②fx+1为偶函数，③fx+2为奇函数，④对任意的x1, 飞e0,卫x*xff≥0则f-引f卧f9m大小关系是（) X1-X2 Af-3 -名f c.rirn f 第19页 【变武】（多选）已知酒数fx对任意的xeR都有fx+3引-fx刘=2f引若y=fx-2的象 关于省我-2扬且时狂黄的x后0引且中容心：则下结正 X2-X1 确的是() A·fx是偶函数 =0 C.f2026>0 D.Fx -3 上单调递增 2 23.已知函数f(x)定义域为R,满足f(x)=f2-x且对任意1≤X,<X,均有。X二义： >0 f(x)-f(x2) 则不等式f(2x-1)-f3-x)≥0解集为， 第20页 【变式1已知fx+1起得题数，且fx年1，+m上是特同数右f&+2f3-x在xe侣H 恒成立，则实数k的取值范围是() A.-2,0 B.-2,1 c.-3,0 D.-3,1 24.已知函数fx的定义域为R:对yx为2∈1，+o满足x1-xfx小-fx>0:且 fx+1为奇函数，f3=1'那么f2x+1川<1的解集是(） A.-1,0 B.-1,1 C.-0,-1U1,+0o D.-0,-1U0,+∞ 第21页 25.已知函数y=fx+2是定义在R上的偶函数，且f引x在-oo,2上单调递增，f3=0,则 fxfx+2>0的解集为() A.-1,0U2,3 B.-1,0U3,+o C.-∞，-1U3,+∞ D.1,3 【变式】己知fx是定义在实数集R上的函数，在0，+∞内单调递增，f2=0,且函数fx-1关 于点1,0对称，则不等式x·f1-x<0的解集是() A.-o,-2U-1,0U2,+∞ B.-∞，-2U2,+o0 C.-∞，-1U0,1U3,+∞ D.-0,-1U3,+00 第22页 第23页 重难点专题08 抽象函数的对称性、周期性 【抽象函数的对称性】 【重难点一 平移法判断函数的对称性】 平移法判断函数的对称性 是偶函数关于对称， 是奇函数关于对称 1．（多选）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则的图像关于点对称 B．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 C．若是奇函数，则的值域为 D．函数在区间上的最大值为，最小值为，则 【答案】BCD 【分析】对于A,B，利用奇偶函数的图象对称性和图象平移的规律即可判断；对于C，首先求出参数的值，再分离常数法求出函数的值域；对于D，取，利用该函数的奇偶性可得，结合函数的最值推理即得. 【详解】对于A，因是奇函数，其图象关于点对称， 而的图象可由的图象向左平移个单位得到， 故的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由的图象关于直线对称， 因的图象可由的图象向右平移个单位得到， 故的图象关于直线即轴对称，故为偶函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，又是奇函数， 所以，即，即，即，解得， 所以，则， 因为，所以且， 当时，，所以，则； 当时，，所以，则； 综上可得的值域为，故C正确； 对于D，不妨设，则， 因，易得，故是奇函数， 又的最大值为，最小值为， 故， 又，则有，故D正确. 故选：BCD. 【练习】（多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（    ） A． B．关于对称 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误； 因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，， 由令得，， 所以，所以， 又因为，则，所以，故D正确， 故选：ACD. 2．（多选）已知是定义域为R的函数，为奇函数，为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为关于对称 C．关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性与对称性的定义判断. 【详解】是奇函数，即的图象向右平移2个单位后关于原点对称， 则的图象关于点对称，，故D正确； 是偶函数，设，由得， 所以的图象关于直线对称，即，故C错误； 所以 ， 所以是奇函数，故A正确； 由及是奇函数得， 即，因此的图象关于直线对称，故B正确. 故选：ABD． 【练习】若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【分析】根据奇函数的对称性通过图象变换得到①和②即可. 【详解】因为为奇函数，关于对称， 将向左平移个单位得到，则关于对称； 将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，则关于对称. 因为，所以关于对称. 【重难点二 定义法（式子特点）判断函数的对称性】 由式子特点得对称 1. 关键：一个函数的对称性，首先应满足自变量有对称关系，即“自变量和为常数有对称”，再满足函数值的对称关系 2. 判断方法：类比中点坐标理解 （1） 轴对称：自变量互为相反数，函数值相等。 如f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． （2） 中心对称：自变量互为相反数，函数值互为相反数（和为定值）。 如，则函数关于点对称． 3．已知函数的定义域满足对称性前提，写出满足下列等式的函数的图象的对称性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)关于轴对称； (2)关于中心对称； (3)关于中心对称． 【分析】（1）利用轴对称的性质求出对称轴，进而得出结论； （2）利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论； （3）对函数变形，再利用中心对称的性质求出对称中心，进而得出结论． 【详解】（1）函数关于直线对称， 故函数图象关于对称． （2）函数对称中心横坐标为，纵坐标为0， 故函数图象关于点中心对称． （3）函数变形为， 对称中心横坐标为，纵坐标为， 故函数图象关于点中心对称． 【变式】（多选）以下四个命题中图象关于直线对称有（　　） A．若，则的图象 B．与的图象 C．若为偶函数，且，则的图象 D．若为奇函数，且，则的图象 【答案】AD 【分析】根据条件结合函数的对称性的概念逐项分析即得. 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 因为函数的图象是函数的图象向右平移2个单位得到，函数的图象是函数的图象向右平移2个单位得到， 又函数与函数关于轴对称， 所以与的图象关于直线对称，故B错误； 因为为偶函数，且，所以， 所以函数关于直线对称，故C错误； 因为为奇函数，且，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）定义在上的函数满足：，当时，，则（    ） A．的周期为4 B．为偶函数 C．在区间上是增函数 D．函数的零点个数为2 【答案】AD 【分析】根据题意可得函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为4的奇函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案. 【详解】根据题意， ， 所以的周期为4，A正确； 由，为奇函数，B错误； 根据，则， 所以函数关于直线对称， 当时，，则在区间上是增函数， 在区间上是减函数， 根据周期性可知在区间上是增函数，在区间上是减函数，C错误； 画出函数和的图象，可得两函数图象有两个公共点， 则函数的零点个数为2，D正确. 故选：AD 【变式】（多选）定义在上的连续奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】ACD 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的一个周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的一个周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示：    由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 【重难点三 赋值法一般推导判断函数的对称性】 赋值法进行一般推导，从而得到函数的对称性 1.原理：通过给题目中的式子进行赋值，变形后可得满足对称性的式子，从而确定对称性 2.赋值的常用技巧 （1）第一层次赋值：取特殊值，常令字母取0，-1,1等 （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。. （3）第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子的运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积或者差与商的形式 5．（多选）设函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 【答案】AD 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】令，得到，解得，故选项A正确； 令，得到，所以， 可得函数是一个偶函数，故选项B错误； 令，可得， 即， 令，则，可得是函数的一个周期， 当，可得， 即  ① 令时，可得   ② 由①+②得到， 因为，所以， 代入②得到，解得， 令，得到 即，即 又因为； 即，所以函数关于点 中心对称； 因为是函数的一个周期，所以也是函数的对称中心，故选项C错误； 由前面分析得到，所以， 所以， 因为是函数的一个周期且 所以 ，故选项D正确. 故选：AD. 6．（多选）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 7．（多选）已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数的图像关于点对称 【答案】ABD 【分析】令，结合，令，可求出的值判断选项A；令，进而可得，可判断B选项；令可判断CD选项. 【详解】对于A:令，得，又，则， 令，得，故，故A正确； 对于B:令，得，即，即， 且函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C:令，得， 令，则该式可写为，即，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式】已知定义在R上的函数，不恒为，且满足，，，则下列说法不正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．点是函数图象的对称中心 D．为周期函数且周期为2 【答案】D 【分析】令可判断A，令可判断B，令可得，即可推出的周期，从而判断D，结合及分析得到判断C. 【详解】对于A：因为， 令可得，又不恒为， 所以存在使得，且，所以，故A正确； 对于B：因为， 令，则，又，所以， 即，所以为奇函数，故B正确； 对于D：因为， 令可得，又， 所以，即， 所以，则， 所以为周期函数且周期为，故D错误； 对于C：因为且， 所以，所以， 即，所以点是函数图象的对称中心，故C正确. 故选：D 8．已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【答案】D 【分析】对A、B，由已知条件通过变量代换判断对错；对C，分析的周期，利用周期性及中心对称赋值化简判断；对D，利用周期性和对称性求解判断. 【详解】对于A：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，A正确； 对于B：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，B正确； 对于C： 因为关于点对称，所以， 因为关于对称，所以， 所以，所以，所以， 即周期为， 又由关于点对称可得 即，所以是奇函数，C正确； 对于D：因为关于对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，D错误； 故选：D. 【练习】（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若函数为偶函数，且，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C． D．若函数有m个零点，则的零点之和为m 【答案】ABD 【分析】利用函数的性质分析已知抽象函数，求出的对称轴，判断选项A、B，分析得出函数的周期，利用函数周期性计算，判断选项C，利用函数对称性分析选项D． 【详解】函数为偶函数，， 把替换为，则，关于对称，故A正确； ，把替换为得， ，把替换为得， ，故， 函数的图象关于对称，故B正确； ，把替换为得， 代入，可得， 关于点对称，也即， ，，把替换为得， ， 周期， ，关于对称，， ，则，解得， 令，则， ，令，则， ，解得， 令，则，解得， ， ， ， ，故C错误； ，把替换为得， ，， 函数的图象关于点对称， 图象也关于点对称， 设有m个零点，共有对关于对称， 的零点之和为，故D正确． 故选：ABD． 【抽象函数的周期性】 【重难点一 由对称性得周期性】 由对称性得周期性 两点：（a,0）,（b,0）→ 周期T= 两轴：直线x=a,直线x=b → 周期T= 一点一轴：（a,0）,直线x=b → 周期T= 【注】结合sinx的图象理解记忆 9．定义在上的函数是奇函数，为偶函数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性确定函数的周期，再由周期性求出函数值. 【详解】由函数是上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，， 因此函数是周期为8的周期函数，且， 所以. 【变式】已知函数的定义域为，为偶函数，是奇函数，且，则_________. 【答案】 【分析】由为偶函数推出函数关于对称，由为奇函数推出函数关于对称，且，再结合两种对称性推出函数是以4为最小正周期的周期函数.最后算出答案即可. 【详解】 为偶函数， 函数关于对称， 为奇函数 函数关于对称，且. 由 . 函数是以4为最小正周期的周期函数. 、、、 . 所以， . . . 【点睛】方法总结：本题主要是利用对称性的性质去推周期性，再结合周期性的性质来求值. 易错归纳：一是复合函数的对称性学生容易出错，二是容易漏掉导致结果出错. 10．已知定义在上的函数满足，，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】先由函数的奇偶性和对称性推导周期，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值计算． 【详解】由，得是定义域为的奇函数， 由，得的图像关于直线对称， 将替换为，可得， 结合奇函数性质，得， 再将替换为，得， 因此是周期为4的周期函数， 又，故， 由奇函数性质得， 因为时，，则， 所以，即． 【练习】已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图象平移的对称性推出是奇函数，再推导得到函数周期为，最后将转化为已知区间的函数值计算即可。 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立， 所以，所以， 所以函数的周期为，因为当时，， 所以. 【重难点二 定义法（式子特点）判断函数的周期性】 定义法判断函数的周期性 1.根本：一个函数具有周期性，可以理解为左右平移之后与原来一致，所以首先应满足自变量是不变的，即“自变量不变（差为常数）有周期”，但存在“错位关系” 2.常见结论： f(x)＝f(x+a) → 周期T= f(x+a)＝f(x+b) → 周期T= f(x+a)+f(x+b)=c → 周期T= f(x+a)= → 周期T= （巧记）①y相等，周期为“差”；（y差为常数，有周期，周期为差值） ②y和为常数、互为倒数（负倒数），周期为两倍“差” ③y差/和/积，余下部分有x的一律无周期 11．已知定义域为的函数满足，当时，，则（   ） A．0 B．24 C．35 D．48 【答案】D 【分析】由 知 是周期为 3 的周期函数，把 沿周期平移到给定解析式的区间 内，再代入求值. 【详解】反复应用 ：，，所以 . 因为 ，此时 ，所以 . 【练习】定义在上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数的周期为． 因为函数是奇函数，当时，， 所以. 12．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【详解】由，得，即6为函数的一个周期， 又因是定义在上的偶函数，得， 故. 13．若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 【答案】6 【分析】根据题干信息可以得到函数周期为，，再根据对称性得到，代入即可求出答案. 【详解】，， 即函数是周期为， 是偶函数， ， 令，则， ． 【变式1】已知函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则的值分别为（    ） A．14，  -48 B．-14，  48 C．14，  48 D．-14，  -48 【答案】C 【分析】利用奇函数性质、给定的函数关系式推导函数的周期性与对称性，结合区间上的二次函数形式，列方程求解、的值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，且. 由，变形得，因此，故是周期为4的周期函数. 结合奇函数性质，可得，令，代入得，即的图像关于直线对称； 结合周期为4，可推得的对称轴为，当时，得区间内的对称轴为. 当时，为二次函数，其对称轴为，结合的对称轴为，得，解得. 由周期性得，令中，得，故. 代入，计算得，解得. 综上，. 【变式2】已知函数，满足，且是偶函数，，则（    ） A．2 B．0 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】由题意可得函数是以周期为的周期函数，利用赋值法结合对称性求得一个周期内的函数值之和，进而计算求解. 【详解】由，①， 替换，，②， ①②得，周期， 是偶函数 ，关于直线对称， ，记， 原式变为， 令：， 令：， 由对称性得，周期性得， ， 已知，令：， 一个周期和为：， ， . 14．若偶函数对任意都有，且当时，，则______. 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 【变式】已知函数对于任意实数满足条件，若，则________. 【答案】 【分析】利用可计算出的周期，利用周期性计算即可得. 【详解】由，则， 故是以为周期的周期函数，则， 由，可得. 15．已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件求出函数的周期，利用周期性对所求函数值进行化简，最后求值即可. 【详解】已知，则， ，显然函数的一个周期为6， 故有． 【练习】已知函数满足，当时，的值为________． 【答案】/ 【分析】先由求出函数的周期，利用周期性即可求解. 【详解】根据题意， 所以，因此函数的周期为． 因为，， 因此， 令,则有，解得， 故而有. 【重难点三 递推法、换元法推导函数的周期性】 递推法、换元法推导函数的周期性 1.原理：通过给题目中的式子进行整体换元或迭代替换，变形后可得满足周期性的式子，从而确定对称性 2.换元法 （1）适用情况：题目中为与的关系式 （2）解题思路步骤： ①已知题中式子，类似= ②将式子中的x都用x+a进行替换，得到=B ③两个式子联立，消去，凑出=，从而得到周期性 3.递推法 （1）适用情况：题目中为与的关系式或同时含、、的混合式 （2）解题思路步骤： ①已知题中式子，类似=+ ②将式子中的x都用x+a进行替换，得到新式子 ③两个式子联立，消去多余的，消元一次得不到=，就继续换元，不断替换消元，直到得到=，从而确定周期性 【注意点】 ①推出的T只是一个周期，不一定是最小正周期；题目没问最小正周期，写这个周期即可； ②递推时，每一次换元是式子中的x全部一起替换，不要只换一部分。 16．已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】由题可得，，再迭代可得，进而得到函数的周期为，然后利用周期性结合赋值法求值即可． 【详解】由题可得，， 则， ， 则， ，即，， ，则函数的周期为， ， 由条件，令，得，即， 解得，故． 【练习】已知函数满足，且，则______；______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可求；分析可知函数的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则， 且，即， 则， 可得， 所以. 故答案为：；. 17．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 18．（多选）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】本题考查抽象函数及其性质，根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】对于A,令，得， 因为，所以故A正确； 对于BC，令，得，所以， 则是偶函数，B正确，C错误； 对于D，令，得， 所以， 所以， 即 D正确． 【变式】（多选）已知函数满足：，，且，则（    ） A． B．直线为的图象的一条对称轴 C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，先求得，再令即可求得；对于B，令即可得判断；对于C，令得，进而得判断；对于D，先求得为的一个周期，再结合周期性求解即可. 【详解】对于A，令，则，结合，解得； 令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，则 ，即， 由题意知不恒为零，所以，即，故为奇函数，且不恒为0，故C错误； 对于D，由，得，即， 所以，所以为的一个周期，所以4也是的一个周期， 所以，， 所以，故D正确. 19．（多选）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据赋值法，抽象函数的奇偶性，对称性和周期性，逐一对各选项判断即可． 【详解】对于A，对于，取，可得，则，故A正确； 对于B，对于，取，可得， 因不恒为0，则，即为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以，可得，故， 由B项得，所以，则，两式相减，得， 即6是的一个周期，故，再将替换为可得，故C正确； 对于D，由，可得，则，故D正确. 20．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 【函数对称性、周期性的综合应用】 【重难点 函数对称性、周期性的综合应用：比较大小、解不等式】 综合利用对称性、周期性、单调性比较大小、解不等式 1.核心思想：对称性用来 “转移自变量”，周期性用来 “平移自变量”，最终把所有自变量全部化到同一个单调区间内，再利用单调性比大小、脱f解不等式。 2.比较大小 解题步骤： ①设要比较的几个自变量：，，... ②利用周期性：，加减整数倍周期，把自变量拉到“基准区间”； ③利用对称性：（轴对称）或 中心对称），继续转化，直至把几个自变量全部转化到题目中所给的同一个单调区间里面 ④根据单调性，比较转化后的自变量大小，从而得到函数值大小； ⑤还原写出原来 ，，的大小关系。 3. 解抽象不等式< 解题步骤： ①变形为标准形式<，如<k（k为常数），需先通过赋值法等把k进行转化，写成k= ②利用周期性、对称性将<都转化到同一个单调区间内，=，=，、 ③在单调区间内脱掉f，写出、的大小关系； 轴对称x=a →转化为、到对称轴的距离比较，即 中心对称 →直接根据单调比较，即 ④联立：定义域约束 + ③中的不等式，解出 x，最后取交集。 21．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 22．已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由②得关于对称，由③得关于对称，由④得在上单增，根据得出的信息得的周期并画出的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果． 【详解】∵在R上为偶函数， ∴，∴关于对称. ∵在R上为奇函数，∴， ∴关于对称，且， ∵，∴（将上式中的x换成）①， 又∵，∴②， ∴由①②得：③， ∴由③得：④（将③中的x换成）， ∴由③④得：， ∴的一个周期为，且，关于对称， 又∵对任意的，且，都有， ∴在上单调递增， ∴在一个周期内的草图为： ∴， ， ∴如图所示：， 即：， 故选：C． 【变式】（多选）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】A根据图象平移可判断；B令，结合奇偶性可得；C利用周期性和在上的单调性可判断；D利用周期性、对称性、单调性可判断. 【详解】因的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 故是偶函数，A正确； 令，则，即， 因是偶函数，则，则，故B正确； 因，则，故是的一个周期， 故， 因对任意的，且，都有， 则在上单调递减，故， 故，C正确； 根据对称性可知在上单调递增， 由周期性可知在上单调递减，在上单调递增，D错误. 故选：ABC 23．已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______． 【答案】 【分析】先求出函数关于直线对称，函数在上单调递增．在上单调递减，再解不等式即得解. 【详解】因为函数满足， 所以函数关于直线对称， 因为对任意，均有成立， 所以函数在上单调递增． 由对称性可知在上单调递减． 因为，即， 所以，即， 解得或． 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题. 【变式】已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果. 【详解】为偶函数，，关于直线对称， 又在上是增函数，在上是减函数， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当，即时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性、对称性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，对称性和单调性的作用如下： （1）对称性：统一不等式两侧符号，同时根据对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 24．已知函数的定义域为，对、，满足，且为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出函数在上为增函数，且求得，由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集. 【详解】、，满足， 不妨设，可得，即， 故函数在上为增函数， 因为函数为奇函数，即对任意的，， 即，故函数的图象关于点对称， 作出函数的草图如下图所示： 因为函数在上为增函数，所以函数在为增函数，故函数在上为增函数， 因为，即，故， 由可得，即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 故选：B. 25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 【变式】已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $