专题02 第二章 一元二次函数、方程和不等式（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期中考点大串讲 串讲02 第二章 一元二次函数、方程和不等式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 题型剖析 知识回顾1：作差法比较大小 知识回顾2：不等式的性质 知识回顾3：重要不等式 知识回顾4：基本不等式链 知识回顾5：四个二次的关系 知识回顾6：一元二次不等式的解法 知识回顾7：分式不等式的解法 考点一：比较两个代数式的大小 考点一：比较两个代数式的大小 考点二：基本不等式（和为定值求积的最值） 【答案】C 考点三：基本不等式（积为定值求和的最值） 【答案】1 考点四：基本不等式（凑项（系数）） 【答案】     21     11 考点五：基本不等式（常数代换法） 【答案】D 考点五：基本不等式（常数代换法） 考点六：基本不等式（消元法） 【答案】A 考点六：基本不等式（消元法） 考点七：基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 考点七：基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 考点八：在实际问题中判断使用基本不等式求最值 考点八：在实际问题中判断使用基本不等式求最值 考点九：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 考点九：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 考点十：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 考点十：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 考点十一：一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 考点十一：一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 考点十二：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【答案】ACD 考点十二：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 考点十三：解分式不等式 考点十四：一元二次不等式在上恒（能）成立 考点十四：一元二次不等式在上恒（能）成立 考点十五：不等式在区间上恒（能）成立 【答案】6 考点十五：不等式在区间上恒（能）成立 考点十六：一元二次不等式的实际问题 考点十六：一元二次不等式的实际问题 考点十六：一元二次不等式的实际问题 考点十六：一元二次不等式的实际问题 考点十七：一元二次不等式中的新定义问题 考点十七：一元二次不等式中的新定义问题 【答案】C 【答案】B 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【例1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，， 因为，所以， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为 ，此时等于 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（23-24高一上·河北保定）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，，且，可得， 所以(当且仅当时，等号成立)； 所以的最小值为； 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（23-24高一·江苏·课后作业）（1）若，且，求的最小值； （2）若，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，得， ，当且仅当时取等号故当，取最小值18. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若，则 当且仅当时取等号 . 即若，的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵， ∴， 当且仅当即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令， 将代入得： ， ∵， ∴， 当且仅当， 即， 即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，． (1)解关于的不等式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）不等式即为， ∴， 方程的两根分别为2和， 当时，解不等式可得， 当时，不等式无解， 当时，解不等式可得， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)解关于x的不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）当时，因为， 方程的两相等根为，不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （5）当时，因为， 方程无实根，所以不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，由，不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当，有两解，，且， 此时的解集为或， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，因为，所以图象开口向下， 又， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，无解，图象恒在轴下方，此时的解集为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，恰有一解，图象与轴有一个交点，此时的解集为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13-1】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）不等式，解得，所以原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为二次函数的图象恒在直线的上方， 所以， 即在R上恒成立， 所以，即， 解得：. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，， 令， 则，所以，即实数的最小值为6. 故答案为：6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式16-1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（23-24高一上·江苏扬州）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”. （1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系； （2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由函数是点的“界函数”，且函数为增函数， 当时，值域为， 因为， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）在函数的图象上， ， ，，都有， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①，即时，在，上单调递增， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②，即时， 由，可得或， 且， ，解得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③，即时，在，上单调递减， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意正实数x，y，满足等式， 化简得，即，当且仅当时等号成立. 设，则恒成立，即在时恒成立， 函数在时是递增的，故，即. 故.故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为 ②当时，，因为， 所以不等式的解集为 ③当时，．又， 所以不等式的解集为, 综上：，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题对任意，不等式恒成立． 即，因为时，恒成立． 可得，设，则，所以， 可得 因为，当且仅当是取等号． 所以，当且仅当是取等号． 故得m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$