精品解析：湖南省衡阳市华新实验中学2024-2025学年八年级上学期入学考试数学试题

华新实验中学2024年下期入学数学学情作业展示 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共100个小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 对方程去分母，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（　　） 小聪：设共有人，根据题意得：； 小明：设共有人，根据题意得：； 小玲：设共有车辆，根据题意得：； 小丽：设共有车辆，根据题意得：． A. 小聪、小丽 B. 小明、小玲 C. 小聪、小玲 D. 小明、小丽 6. 如图，将沿射线方向移动，使点移动到点，得到，连接，若的面积为2，则的面积为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 16 7. 下列说法正确的是（ ） A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个正方形是全等图形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形 D. 两个全等图形的面积一定相等 8. 正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　） A. 正方形 B. 正八边形 C. 正十二边形 D. 正四边形和正十二边形 9. 已知不等式组的解集为，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 大于3的任何数 10. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则______． 12. 若方程是关于的一元一次方程，则______. 13. 一个多边形的内角和与外角和的差是，则它的边数为______． 14. 已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为__________． 15. 如图，在正五边形中，连接交于点F，则的度数为_________． 16. 如图，将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到，则四边形的周长为______． 17. 若关于x不等式组，恰好有三个整数解，则m的取值范围是_____． 18. 如图，在中，，、、分别平分外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分） 19. 解方程组 20. 解不等式，并在数轴上表示出该不等式的解集. 21. 关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 22. 如图，在边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，点，，都是格点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）画出关于点成中心对称的. 23. 如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． （1）求长． （2）求的面积． 24. 阅读探索． 知识累积：解方程组， 解：设，，原方程组可变为 解方程组，得：，即，解得．此种解方程组的方法叫换元法． （1）举一反三：运用上述方法解下列方程组：； （2）能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是_________； （3）拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是_________． 25. 某小区积极响应全民健身运动，决定在小区内安装健身器材．经调查：甲种健身器材的单价是乙种健身器材的单价的2倍，购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元． （1）求甲、乙种健身器材的单价各是多少元？ （2）如果购买甲、乙种健身器材共60个，且费用不超过4800元．又知该小区至少需要安放19个甲种健身器材，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 26. 如图1，在中，． （1）、的平分线交于点O，则的度数为_______； （2）的外角、的平分线交于点，则的度数为_______； （3）与的数量关系是_______； （4）【问题深入】如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： （5）如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q，当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华新实验中学2024年下期入学数学学情作业展示 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共100个小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴选项A正确，选项B、D错误， 当，时，满足，但， ∴选项C错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键． 2. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程，得， 解得． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 4. 对方程去分母，正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据去分母的方法，方程两边同时乘12即可． 【详解】解：方程去分母，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 5. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（　　） 小聪：设共有人，根据题意得：； 小明：设共有人，根据题意得：； 小玲：设共有车辆，根据题意得：； 小丽：设共有车辆，根据题意得：． A. 小聪、小丽 B. 小明、小玲 C. 小聪、小玲 D. 小明、小丽 【答案】B 【解析】 【分析】设共有人，根据题意得：，设共有车辆，根据题意得：，据此即可求解． 【详解】解：设共有人，根据题意得：，小明的正确， 设共有车辆，根据题意得：，小玲的正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 6. 如图，将沿射线方向移动，使点移动到点，得到，连接，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质有：，问题随之得解． 【详解】解：∵将沿射线方向移动，使点B移动到点C，得到， ∴， ∵和底边和高都相等， ∴的面积等于的面积， 又∵的面积为2， ∴的面积为2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质以及三角形的面积的知识，掌握等底同高的两个三角形面积相等，是解答本题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个正方形是全等图形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形 D. 两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可． 【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意； B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意； C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意； D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键． 8. 正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　） A. 正方形 B. 正八边形 C. 正十二边形 D. 正四边形和正十二边形 【答案】D 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意； B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意； C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意； D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 9. 已知不等式组的解集为，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 大于3的任何数 【答案】A 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于m的方程，求出方程的解集即可． 【详解】 解①得，， 解②得，， 不等式组的解集为或， 当不等式组的解集为时， 此时，即， ∵不等式组的解集为， ∴，解得，不符合题意，应舍去； 当不等式组的解集为时， 此时，即， ∵不等式组的解集为， ∴，解得，符合题意； 综上所述，m的值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于m的方程． 10. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用外角的性质和外角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点O， 则， ∴， 又∵四边形中，， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把x看作已知数，利用等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 12. 若方程是关于的一元一次方程，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可得解． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 则有：且， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 13. 一个多边形的内角和与外角和的差是，则它的边数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和及外角和．根据边形的内角和公式及外角和为，结合题意列式计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为，由题意得 ， 解得：， 故答案为：7． 14. 已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】解：∵a，b满足， ∴，， 解得， ∵，， ∴， ∵的周长为偶数，即是偶数， ∴是偶数， ∴为奇数， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 15. 如图，在正五边形中，连接交于点F，则的度数为_________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到，则四边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平移的性质，等边三角形的性质计算即可． 【详解】将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到， ，，， 四边形的周长 故答案： 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 17. 若关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，正确理解恰有3个整数解得意义是解题的关键．先解不等式组，写出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解，可求出m的范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， 不等式组的解集是：． 不等式组恰好有3个整数解，则整数解是， ． ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案是：①③④． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分） 19. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解： 得，， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 20. 解不等式，并在数轴上表示出该不等式的解集. 【答案】.；见解析 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，再移项及合并同类项，最后将系数化为1即可得到答案． 【详解】解：去分母，得：， 去括号得，， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成 1，得：. 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 【点睛】本题考查解不等式，解题的关键是掌握解不等式的解法． 21. 关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程程组，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： ①+②，得， ∴③， ③代入②，解得：， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据题意建立不等式组是解题的关键． 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都是格点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）画出关于点成中心对称的. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质，找到关于的对称点，顺次连接即可求解． 【小问1详解】 解：解：如图所示，为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作； 【点睛】本题考查了画旋转图形，画中心对称图形，熟练掌握旋转的性质与中心对称的性质是解题的关键． 23. 如图所示，已知，分别是高和中线，，，，． （1）求的长． （2）求的面积． 【答案】（1）的长度为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形面积公式和三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式即可计算出的长； （2）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出的面积． 【小问1详解】 解：，是边上的高， ， ， 答：的长度为； 【小问2详解】 解： 是直角三角形，， ， 又是边的中线， ． 答：． 24. 阅读探索． 知识累积：解方程组， 解：设，，原方程组可变为 解方程组，得：，即，解得．此种解方程组的方法叫换元法． （1）举一反三：运用上述方法解下列方程组：； （2）能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是_________； （3）拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是_________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照例题解方程组即可求解； （2）根据二元一次方程组的解的定义可得关于，的方程组的解为，加减消元法解二元一次方程即可求解； （3）方程组的解是，则，根据二元一次方程组的解的定义即可求解． 【小问1详解】 解：设，，原方程组可变为 解方程组，得：，即，解得． 【小问2详解】 解：关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解为 解得： 【小问3详解】 解：∵方程组的解是，则 ∴的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 25. 某小区积极响应全民健身运动，决定在小区内安装健身器材．经调查：甲种健身器材的单价是乙种健身器材的单价的2倍，购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元． （1）求甲、乙种健身器材的单价各是多少元？ （2）如果购买甲、乙种健身器材共60个，且费用不超过4800元．又知该小区至少需要安放19个甲种健身器材，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 【答案】（1）甲种健身器材的单价是120元， 乙种健身器材的单价是60元； （2）当购买甲健身器材19台，乙健身器材41台，所需资金最小． 【解析】 【分析】（1）设乙种健身器材的单价是x元，则甲种健身器材的单价是元，根据“购买2个甲种健身器材和3个乙种健身器材共需420元”列一元一次方程，解方程即可求解； （2）设购买甲健身器材y个，则购买乙健身器材个，根据“购买总资金不超过4800元，并且至少需要安放19个甲种健身器材”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为整数即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设乙种健身器材的单价是x元，则甲种健身器材的单价是元， 根据题意得， 解得，， 答：甲种健身器材的单价是120元，乙种健身器材的单价是60元； 【小问2详解】 解：设购买甲种健身器材y个，则购买乙种健身器材个， 根据题意得， 解得， ∵y为整数， ∴y可以为19，20， ∴一共有2种购买方案， 方案1：购买甲健身器材19台，乙健身器材41台； 需要资金，元； 方案2：购买甲健身器材20台，乙健身器材40台； 需要资金，元； ∵， ∴当购买甲健身器材19台，乙健身器材41台，所需资金最小，最小值为4740元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 26. 如图1，在中，． （1）、的平分线交于点O，则的度数为_______； （2）的外角、的平分线交于点，则的度数为_______； （3）与的数量关系是_______； （4）【问题深入】如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： （5）如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q，当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，，再根据角平分线的定义，推出，即可求出的度数； （2）根据三角形外角的定义，推出，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案； （4）由折叠的性质可知，，，得到，，再根据三角形内角和定理，推出，由（1）同理可证，据此即可得到答案； （5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）和（2）可知，，， ， 故答案为： 【小问4详解】 解：，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， 由（1）同理可证，， ， ； 【小问5详解】 解：四边形的内角和为， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$