专题3.11 整式及其加减单元检测卷-拔尖卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

第三章 整式及其加减单元检测卷--拔尖卷（北师大版2024） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法错误的是（　　） A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．﹣x+1不是单项式 C．﹣xy2的系数是﹣1 D．﹣2ab2是二次单项式 2．一家商店将某种服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（　　） A．0.8a元 B．0.4a元 C．1.2a元 D．1.5a元 3．下列变形中，错误的是（　　） A．m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p B．m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n+q﹣p C．﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1 D．（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p 4．如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 5．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　） A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2 6．当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值等于﹣100，那么当x＝﹣2时，整式ax3+bx﹣1的值为（　　） A．100 B．﹣100 C．98 D．﹣98 7．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．若（k，﹣1）是“积差等数对”，则k的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．1 8．乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若阿虹离场时间介于当日的20：00～24：00间，则他此次停车的费用为多少元（　　） 停车时段 收费方式 08：00﹣20：00 20元/小时 该时段最多收100元 20：00～08：00 5元/小时 该时段最多收30元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．5x+30 B．5x+50 C．5x+150 D．5x+200 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，顺次连结各边中点得到菱形A1B1C1D1，再顺次连接菱形A1B1C1D1各边中点，得到矩形A2B2C2D2，再顺次连接矩形A2B2C2D2各边中点，得到菱形A3B3B3C3D3，…，如此下去，四边形A2024A2024B2024C2024D2024的面积等于（　　） A． B． C． D． 10．在整式（3a2﹣1），（﹣5a2+4a），（8a2﹣4a+19）前添加“+”或“﹣”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如：|﹣（3a2﹣1）﹣（﹣5a2+4a）﹣（8a2﹣4a+19）|＝|﹣6a2﹣18|＝|6a2+18|＝6a2+18，则M＝6a2+18，当a＝1时，M的化简求值结果为：M＝6×12+18＝24．下列说法正确的个数为（　　） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式与﹣3x2y6是同类项．则a﹣b＝　 　． 12．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a+2|﹣|2a|﹣|b﹣1|+|a+b|＝　 　． 13．已知x2+xy＝4，xy﹣y2＝5，则x2+3xy﹣2y2＝　 　． 14．如图所示九宫格幻方有如下规律，处于同一横向、同一竖列、同斜对角线上的三个数的和都相等（图1）．则图2九宫格幻方中x＝　 　（a的式子表示）． 15．若（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c﹣d的值为 　 　． 16．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 5 6 7 8 9 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 　 　． 三．解答题（共6小题，第17~20题各8分，第21~22题每小题10分，共52分） 17．先化简，再求值： （1）3m+4n﹣[2m+（5m﹣2n）﹣3n]，其中m＝＝2； （2）（x2﹣5xy+y2）﹣[﹣3xy+2（x2﹣xy）+y2]，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0． 18．如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间满足两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． （1）小芳推测B+C＝A，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； （2）根据三个整式的关系，求出被墨水污染的部分． 19．某住房户型平面图如下（单位：米），其中，主卧和次卧的面积一共是35m2.现准备铺设地面，主卧次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）用含x，y的整式表示住房的总面积，直接写出化简后的结果； （2）若房子右边的宽AB是11m，住房的总面积是多少平方米？ （3）按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为400元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 3000元 B 9折 9折 免收 若主卧和次卧的面积之比为4：3． ①直接写出x，y的值； ②选择哪种活动方案，设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 20．（1）x．y均为整数，若5|（x+9y），求证：5|（8x+7y）． （2）x．y，z均为整数，若11|（7x+2y﹣5z），求证：11|（3x﹣7y+12z）． 21．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，F（412）＝41﹣2＝39． （1）请写出最小的“偶发数”m，并求出F（m）的值； （2）若一个“偶发数”m，使F（m）恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 22．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 　 　个正方形． （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 　 　个正方形． （3）能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． （4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果． （直接写出答案即可） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 整式及其加减单元检测卷--拔尖卷（北师大版2024） 考卷信息：本试卷共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，现时60分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法错误的是（　　） A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．﹣x+1不是单项式 C．﹣xy2的系数是﹣1 D．﹣2ab2是二次单项式 【解答】解：A、2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，正确，不合题意； B、﹣x+1不是单项式，正确，不合题意； C、﹣xy2的系数是﹣1，正确，不合题意； D、﹣2ab2是三次单项式，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 2．一家商店将某种服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（　　） A．0.8a元 B．0.4a元 C．1.2a元 D．1.5a元 【解答】解：根据题意得：a（1+50%）×80%＝1.2a． 故选：C． 3．下列变形中，错误的是（　　） A．m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p B．m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n+q﹣p C．﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1 D．（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p 【解答】解：A、m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p，原式变形正确，不符合题意； B、m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n﹣q+p，原式变形错误，符合题意； C、﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1，原式变形正确，不符合题意； D、（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p，原式变形正确，不符合题意； 故选：B． 4．如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【解答】解：第一次输出结果：把x＝15代入得：x+3＝15+3＝18， 第二次输出结果：把x＝18代入得：， 第三次输出结果：把x＝9代入得：x+3＝9+3＝12， 第四次输出结果：把x＝12代入得：， 第五次输出结果：把x＝6代入得：， 第六次输出结果：把x＝3代入得：x+3＝3+3＝6， 第七次输出结果：把x＝6代入得：， ……， ∴从第四次开始，每两次输出为一个循环， ∵（2024﹣3）÷2＝1010…1， ∴第2024次输出的结果为6， 故选：C． 5．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（　　） A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2 【解答】解：长方形的面积为： （a+4）2﹣（a+1）2 ＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1） ＝3（2a+5） ＝6a+15（cm2）． 答：矩形的面积是（6a+15）cm2． 故选：D． 6．当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值等于﹣100，那么当x＝﹣2时，整式ax3+bx﹣1的值为（　　） A．100 B．﹣100 C．98 D．﹣98 【解答】解：∵当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值为﹣100， ∴8a+2b﹣1＝﹣100，即8a+2b＝﹣99， 则当x＝﹣2时，原式＝﹣8a﹣2b﹣1＝99﹣1＝98． 故选：C． 7．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．若（k，﹣1）是“积差等数对”，则k的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．1 【解答】解：∵（k，﹣1）是“积差等数对”， ∴k﹣（﹣1）＝k×（﹣1）， 解得k＝﹣， 故选：C． 8．乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若阿虹离场时间介于当日的20：00～24：00间，则他此次停车的费用为多少元（　　） 停车时段 收费方式 08：00﹣20：00 20元/小时 该时段最多收100元 20：00～08：00 5元/小时 该时段最多收30元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．5x+30 B．5x+50 C．5x+150 D．5x+200 【解答】解：∵阿虹离场时间介于当日的20：00～24：00间， ∴阿虹的停车费为：100+5（x﹣10）＝（5x+50）元． 故选：B． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，顺次连结各边中点得到菱形A1B1C1D1，再顺次连接菱形A1B1C1D1各边中点，得到矩形A2B2C2D2，再顺次连接矩形A2B2C2D2各边中点，得到菱形A3B3B3C3D3，…，如此下去，四边形A2024A2024B2024C2024D2024的面积等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据中点四边形的性质可知，A1B1C1D1、A3B3C3D3⋯是菱形，A2B2C2D2、A4B4C4D4⋯是矩形， ∵四边形A1B1C1D1的面积＝， 四边形A2B2C2D2的面积＝四边形A1B1C1D1的面积＝， 四边形A3B3C3D3的面积＝， ⋯⋯， ∴四边形AnBn∁nDn的面积＝， ∴四边形A2024A2024B2024C2024D2024的面积为：＝． 故选：C． 10．在整式（3a2﹣1），（﹣5a2+4a），（8a2﹣4a+19）前添加“+”或“﹣”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如：|﹣（3a2﹣1）﹣（﹣5a2+4a）﹣（8a2﹣4a+19）|＝|﹣6a2﹣18|＝|6a2+18|＝6a2+18，则M＝6a2+18，当a＝1时，M的化简求值结果为：M＝6×12+18＝24．下列说法正确的个数为（　　） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意，∵使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 又|﹣（3a2﹣1）+（﹣5a2+4a）+（8a2﹣4a+19）|＝|1+19|＝20， ∴①正确． 由题意，|﹣（3a2﹣1）+（﹣5a2+4a）+（8a2﹣4a+19）|＝|1+19|＝20，|（3a2﹣1）﹣（﹣5a2+4a）﹣（8a2﹣4a+19）|＝|﹣1﹣19|＝20． 当|﹣（3a2﹣1）﹣（﹣5a2+4a）﹣（8a2﹣4a+19）＝|﹣6a2﹣18|＝|6a2+18|＝6a2+18时， ∵6a2+18≥18， ∴6a2+18不可能等于17． 当|﹣（3a2﹣1）+（﹣5a2+4a）﹣（8a2﹣4a+19）|＝|﹣16a2+8a﹣18| ＝|﹣16（a﹣）2﹣17| ＝|16（a﹣）2+17| ＝16（a﹣）2+17． 当16（a﹣）2+17＝17时，16（a﹣）2＝0， ∴a＝． 当|﹣（3a2﹣1）﹣（﹣5a2+4a）+（8a2﹣4a+19）|＝|10a2﹣8a+20| ＝|10（a﹣）2+18| ＝10（a﹣）2+18． ∵10（a﹣）2+18≥18， ∴10（a﹣）2+18不可能等于17． ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误． ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时a＝，故③错误． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式与﹣3x2y6是同类项．则a﹣b＝　﹣2　． 【解答】解：根据同类项的定义可得： 2a+b＝2，3b﹣2a＝6， 解得a＝0，b＝2． 所以a﹣b＝0﹣2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a+2|﹣|2a|﹣|b﹣1|+|a+b|＝　﹣3　． 【解答】解：由数轴知，a＜﹣2，b＜1， ∴a+2＜0，b﹣1＜0，a+b＜0， ∴原式＝﹣a﹣2+2a+b﹣1﹣a﹣b＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．已知x2+xy＝4，xy﹣y2＝5，则x2+3xy﹣2y2＝　14　． 【解答】解：∵x2+xy＝4，xy﹣y2＝5， ∴x2+3xy﹣2y2 ＝x2+xy+2（xy﹣y2） ＝4+2×5 ＝4+10 ＝14． 故答案为：14． 14．如图所示九宫格幻方有如下规律，处于同一横向、同一竖列、同斜对角线上的三个数的和都相等（图1）．则图2九宫格幻方中x＝　a+1　（a的式子表示）． 【解答】解：由题意得：中间空格为：x+a+3﹣（a+4）＝x+a+3﹣a﹣4＝x﹣1， 则：x+x﹣1＝a+3+a﹣2， x＝a+1， 故答案为：a+1． 15．若（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c﹣d的值为 　8　． 【解答】解：∵（x﹣1）3 ＝（x﹣1）（x﹣1）2 ＝（x﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x3﹣3x2+3x﹣1，而（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1， ∴a﹣b+c﹣d＝1+3+3+1＝8， 故答案为：8． 16．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 5 6 7 8 9 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 　（10，18）　． 【解答】解：第1行的第一个数字：1＝1+（1﹣1）2； 第2行的第一个数字：2＝1+（2﹣1）2； 第3行的第一个数字：5＝1+（3﹣1）2； 第4行的第一个数字：10＝1+（4﹣1）2； ⋯⋯， 第n行的第一个数字：1+（n﹣1）2； 第n+1行的第一个数字：1＝1+n2； 设第n行，从左到右第m个数为y， 当y＝99时， 1+（n﹣1）2≤99≤1+n2， ∴（n﹣1）2≤98≤n2， ∵n为正整数， ∴n＝10， ∴1+（10﹣1）2＝82， ∴m＝99﹣82+1＝18， 表示99的有序数对是 （10，18）， 故答案为：（10，18）． 三．解答题（共6小题，第17~20题各8分，第21~22题每小题10分，共52分） 17．先化简，再求值： （1）3m+4n﹣[2m+（5m﹣2n）﹣3n]，其中m＝＝2； （2）（x2﹣5xy+y2）﹣[﹣3xy+2（x2﹣xy）+y2]，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0． 【解答】解：（1）3m+4n﹣[2m+（5m﹣2n）﹣3n] ＝3m+4n﹣（2m+5m﹣2n﹣3n） ＝3m+4n﹣2m﹣5m+2n+3n ＝3m﹣2m﹣5m+4n+2n+3n ＝﹣4m+9n． 当m＝＝2，即m＝2，n＝时， 原式＝﹣4m+9n＝﹣4×2+9×＝﹣． （2）（x2﹣5xy+y2）﹣[﹣3xy+2（x2﹣xy）+y2] ＝x2﹣5xy+y2﹣（﹣3xy+x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣5xy+y2+3xy﹣x2+2xy﹣y2 ＝x2﹣x2﹣5xy+3xy+2xy﹣y2+y2 ＝x2+y2． 因为|x﹣1|+（y+2）2＝0， 所以x﹣1＝0且y+2＝0， 所以x＝1，y＝﹣2． 所以原式＝x2+y2＝12+×（﹣2）2＝． 18．如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间满足两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． （1）小芳推测B+C＝A，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； （2）根据三个整式的关系，求出被墨水污染的部分． 【解答】解：（1）小芳的推测正确， 理由：∵B+C＝A， ∴B+4x（2y﹣x）＝（2x+3y）（2x﹣3y）， 解得B＝8x2﹣8xy﹣9y2， 即被墨水污染的部分是8x2﹣8xy时，B+C＝A； （2）当B+C＝A时，由（1）知被墨水污染的部分是8x2﹣8xy； 当B+A＝C时， B＝C﹣A ＝4x（2y﹣x）﹣（2x+3y）（2x﹣3y）， ＝8xy﹣4x2﹣4x2+9y2 ＝﹣8x2+8xy+9y2， 而题干中B中后面的项是﹣9y2，故此种情况不存在； 当A+C＝B时， B＝（2x+3y）（2x﹣3y）+4x（2y﹣x） ＝4x2﹣9y2+8xy﹣4x2 ＝8xy﹣9y2， ∴被墨水污染的部分是8xy； 由上可得，被墨水污染的部分是8x2﹣8xy或8xy． 19．某住房户型平面图如下（单位：米），其中，主卧和次卧的面积一共是35m2.现准备铺设地面，主卧次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）用含x，y的整式表示住房的总面积，直接写出化简后的结果； （2）若房子右边的宽AB是11m，住房的总面积是多少平方米？ （3）按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为400元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 3000元 B 9折 9折 免收 若主卧和次卧的面积之比为4：3． ①直接写出x，y的值； ②选择哪种活动方案，设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【解答】解：（1）如图，延长BC，HG交于点I，延长DE交HI于点J， ∵住房的总面积S＝S长方形ABIH﹣S长方形GFEJ﹣S长方形JDCI， ∵主卧和次卧的面积一共是35m2． ∴5（2x+y）＝35， ∴2x+y＝7， ∴AH＝7+5＝12， ∴IC＝BI﹣BC＝AH﹣BC＝12﹣6＝6， ∴JE＝JD﹣DE＝IC﹣DE＝6﹣5＝1， ∵JI＝AB﹣HG﹣EF＝y+x+2y﹣5﹣（x+y）＝2y﹣5， ∴住房的总面积S＝S长方形ABIH﹣S长方形GFEJ﹣S长方形JDCI ＝12（y+x+2y）﹣1×（x+y）﹣6（2y﹣5） ＝11x+23y+30； （2）由题意，得 y+x+2y＝11， ∴x+3y＝11， 由（1）知：2x+y＝7， ∴， 解方程得， 将x＝2，y＝3代入验证，为此方程的解，并符合题意， ∴住房的总面积S＝11x+23y+30＝11×2+23×3+30＝121（平方米）， 答：住房的总面积是121平方米； （3）①由题意，得＝， 解得2y＝3x，得y＝，代入（1）的2x+y＝7， 得2x+＝7， 解得x＝2，y＝3， 代入原方程符合题意， 答：x，y的值为2，3； ②根据题意，得 铺设主卧次卧和书房需要木地板：35+5y＝35+15＝50（m2）， 铺设其他区域需要地砖：121﹣50＝71（m2）， ∴A种活动方案所需的费用：50×500×0.8+71×400×0.85+3000＝47140（元）， B种活动方案所需的费用：50×500×0.9+71×400×0.9＝48060（元）， ∵47140＜48060， 故小方家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 20．（1）x．y均为整数，若5|（x+9y），求证：5|（8x+7y）． （2）x．y，z均为整数，若11|（7x+2y﹣5z），求证：11|（3x﹣7y+12z）． 【解答】证明：（1）∵5|（x+9y），x、y均为整数， ∴5|8（x+9y）， 又∵5|65y，y为整数， ∴5|8（x+9y）﹣65y， 而8x+7y＝8x+72y﹣65y＝8（x+9y）﹣65y， 故5|（8x十7y）； （2）∵11|7x+2y﹣5z，x、y、z均为整数， ∴11|（7x+2y﹣5z）×2， ∵（7x+2y﹣5z）×2＝14x+4y﹣10z， ∵x、y、z均为整数， ∴x+y﹣2z为整数， ∴11|11×（x+y﹣2z）， ∵11×（x+y﹣2z）＝11x+11y﹣22z， ∴（7x+2y﹣5z）×2﹣11×（x+y﹣2z）＝3x﹣7y+12z， ∴11|3x﹣7y+12z． 21．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，F（412）＝41﹣2＝39． （1）请写出最小的“偶发数”m，并求出F（m）的值； （2）若一个“偶发数”m，使F（m）恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 【解答】解：（1）∵“偶发数”各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2， ∴最小的“偶发数”m＝311， ∴F（m）＝31﹣1＝30． （2）设， ∴a﹣c＝2，则a＝c+2， ∴， ∵F（m）恰为7的倍数， ∴2c+b+6能被7整除， ∵0＜c≤7，0＜b≤9， ∴6＜2c+b+6≤29， ∴2c+b+4＝7，14，21，28， ①当2c+b+6＝7时，没有符合条件的b、c， ②当2c+b+6＝14时，c＝1，b＝6或c＝2，b＝4或c＝3，b＝2， 符合条件的m有361，442，523， ③当2c+b+6＝21时，c＝7，b＝1或c＝6，b＝3或c＝5，b＝5或c＝4，b＝7或c＝3，b＝9， 符合条件的m有917，836，755，674，593， ④当2c+b+6＝28时，c＝7，b＝8， 符合条件的m有987， 综上：满足题意的最大“偶发数”为987，最小的“偶发数”为361， 差值为987﹣361＝626． 22．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 　21　个正方形． （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 　（4n+1）　个正方形． （3）能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． （4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果． （直接写出答案即可） 【解答】解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形， ∴第n次可得（4n+1）个正方形， ∴第5次可得4×5+1＝21， 故答案为：21； （2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形， 故答案为：（4n+1）； （3）不能，理由：由4n+1＝2022，解得n＝505.25，n不是整数， 所以不能将正方形ABCD划分成2022个正方形的图形． （4）由题意． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$