专题3.9 整式及其加减-数论【填空及解答各15题】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题3.8 整式的加减--数论【30题】 （北师大版2024） 1．对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：n1＝452，∵4+5﹣2＝7，∴452是“七巧数”；n2＝724，∵7+2﹣4＝5≠7，∴724不是“七巧数”．若“七巧数”m满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则m的最大值是 　 　． 2．对于一个各个数位上的数字均不为0的三位自然数N，将N的各个数位上数字之和记为m，若N能被m整除，则称N是m的“整和数”，最小的“整和数”为 　 　；若三位数A是15的“整和数”，a、b、c分别是数A中某个数位上的数字，在a、b、c任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，则满足条件的数A的最大值为 　 　． 3．一个三位正整数，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的3倍，则称这个三位数为“3倍特征数”．例如：125满足1+5＝3×2，所以125是“3倍特征数”．对于某些“3倍特征数”，可进行如下操作：取相邻数位上的两个数的平均数放入这两个数之间，并去掉未取数位上的数字，得到两个新的三位数．并规定，且F（m）能被3整除，则满足题意的“3倍特征数”m的值为 　 　． 4．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵23+69＝92，∴3296是“乘风破浪数”．则1341 　 　（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去2c能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 　 　． 5．对于一个三位正整数M，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字等于十位数字与个位数字的3倍之和，我们就称这个三位数M为“趣数”．若一个“趣数”为，则这个数为 　 　；若交换“趣数”M的百位数字和个位数字得到一个新三位数M′，且M′﹣1是7的倍数，则满足条件的M′的最大值是 　 　． 6．对于一个两位数，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），记F（m）＝a+b，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为m'的十位数字和个位数字，新形成的两位数m'叫做m的伴生和差数，把m放置于m'十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 　 　，若M能被7整除，则的最小值为 　 　． 7．如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足+＝100，那么称这个四位数为“完美数”．例如：四位数2764，∵24+76＝100，∴2764是“完美数”，则最大的“完美数”为 　 　；对于“完美数”M＝，记P（M）＝a+++，Q（M）＝，当P（M）能被13整除时，Q（M）的最小值为 　 　． 8．若一个正整数M＝mn﹣m﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的个位数字相加等于9，十位数字相同，则称M为“积差数”．例如：因为179＝13×16﹣13﹣16，13与16的十位数字都是1，个位数字3+6＝9，所以179是“积差数”，则最小的“积差数”是 　 　；若M＝mn﹣m﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数N，若N被7除余2，则满足条件的N的最大值为 　 　． 9．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，且百位上的数字小于千位上的数字，则称该数为凹对称数．如：四位数3223是凹对称数，四位数5323，2442均不是凹对称数．根据以上信息可知，最小的凹对称数是 　 　；将凹对称数m的千位和个位上的数字分别与百位和十位上的数字对调得到的数m'称为m的凸对称数．已知凹对称数n＝1000x+100y+10y+x的凸对称数为n'．设，，若F（M）被5除余2，且F（N）﹣F（M）+18x＝36，则凹对称数n的值是 　 　． 10．一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为不小于1，且不大于9的整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”，例如，对于4675，∵4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；对于3526，∵3+5＝﹣2×（2﹣6），则称3526为“﹣2型数”；若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数数n，n也是“3型数”，则满足条件的所有四位数m为 　 　． 11．一个四位数n＝，且n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将n的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数m，记F（n）＝，若F（n）为整数，我们称n为“善雅数”．例如：n＝3412．∵F（n）＝＝47，∴n为“善雅数”．求F（6472）＝　 　；若n是“善雅数”，当F（n）最大时，m＝　 　． 12．对于各位数字均不为零的三位自然数m＝，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如m＝327，∵3+2+7＝12，12÷2＝6，∴327是“对偶数”；又如n＝136，∴1+3+6＝10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得m1＝，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2＝．记．已知一个“对偶数”n＝100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18F（n）+2（a﹣4）能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为 　 　． 13．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“巧合数”．例如：四位数5611，因为5+6＝11，所以5611是“巧合数”：又如：四位数7816，因为7+8≠16，所以7816不是“巧合数”．则最大的“巧合数”是 　 　；若“巧合数”能被3整除，设，则F（M）的最大值为 　 　． 14．对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数N为“首尾数”．例如：数142，因为4﹣（1+2）＝1，所以142是“首尾数”，数264，因为6﹣（2+4）≠1，所以264不是“首尾数”，则最小的“首尾数”为 　 　；若“首尾数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，若为一个整数的平方，则满足条件的N的最大值为 　 　． 15．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，∵41﹣29＝12，∴4129是“差中数”；又如：四位数5324，∵53﹣24＝29≠32，∴5324不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 　 　；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 　 　． 二．解答题（共15小题） 16．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 　 　； （2）如果“相异数”b满足f（b）＝3直接写出所有“相异数”b的值 　 　； （3）如果m，n都是“相异数”，且m﹣n＝98﹣2（n﹣1），请判断f（m）+f（n）﹣10值是否为常数，并说明理由． 17．对于个位数字不为零的任意三位数A，将其个位数字与百位数字对调得到A′，则称A′与A互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为P（A），例如当A＝765时，． （1）P（906）＝　 　，P（﹣237）＝　 　； （2）求P（132）﹣P（﹣316）的值； （3）对于任意三位数A，其百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，满足：c＞a，求P（A）的值． 18．阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，F（M）＝． （1）F（1756）＝　 　；F（2389）＝　 　； （2）试证明任意重叠数M的F（M）一定为10的倍数； （3）若一个“重叠数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤9，0≤b≤4），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，F（t）的最小值． 19．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为S（x）． 例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44+11＝4，所以S（13）＝4． （1）下列两位数：40，51，77中，“相异数”为 　 　； （2）计算：S（65）的值； （3）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2k﹣1，且S（y）＝8，求相异数y． 20．定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数234中，3＝，所以，234是半和数；又如369中，6＝（3+9），所以，369也是半和数．… 任务： （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 　 　；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 　 　；这个数为 　 　；（用含a的代数式表示）； （2）任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是111的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 21．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，F（412）＝41﹣2＝39． （1）请写出最小的“偶发数”m，并求出F（m）的值； （2）若一个“偶发数”m，使F（m）恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 22．对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大m（m为正整数），十位上的数字比个位上的数字大m，则称这个三位数为关于m的“递差数”． 例如：三位数531，因为5﹣3＝2，3﹣1＝2，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为9﹣8＝1，8﹣7＝1，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为m的“递差数”，若是，求出m的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于m的“递差数”，其百位上的数字为x，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含m，x的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于m的“递差数”． 23．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：×4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 24．如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数m′，将其与m的个位数字的差记为F（m），将m的十位数字与个位数字的差记为G（m）．已知一个三位正整数m＝20（5x+1）+2y（其中x、y都是整数，且1≤x≤9，1≤y≤9）是“互异数”，为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值 　 　． 25．对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”． 例如：287，∵2+8＝10，∴287是“十成九稳数”． 又如：454，∵4+5＝9≠10，∴454不是“十成九稳数”． （1）判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由； （2）已知一个“十成九稳数”N＝100a+10b+c（其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c都是整数），把百位数字的3倍记作F（N），百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作T（N），若F（N）•T（N）＝36，求满足条件的所有N． 26．若一个两位数M的十位数字为a，个位数字为b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，规定s＝a+b，t＝2（a﹣b），F（m）＝s+t，例如F（12）＝1+2+2×（1﹣2）＝3﹣2＝1． （1）求F（23）和F（69）； （2）若一个两位数P满足个位数字比十位数字大2，另一个两位数Q满足个位数字比十位数数字的2倍少1，规定K＝|F（P）﹣3F（Q）|，当F（P）+F（Q）＝12，求K的最大值． 27．（1）一个两位数，其中a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数．则这两个两位数的和一定能被　 　整除，这两个两位数的差一定能被　 　整除． （2）将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数，恰好与原数相同，我们把这样的正整数称为“对称数”，如：5，33，565，2552，12421分别是一位、两位、三位、四位、五位“对称数”． ①请你写出2个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”，能否被11整除，并用字母式子说明理由； ②已知一个能被11整除的三位“对称数”，设其个位上的数字为x（1≤x≤4），十位上的数字为y，求y与x的数量关系，并写出所有能被11整除的三位“对称数”． 28．一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 29．学习用字母表示数以后，我们知道具有某些相同特征的数可以用某个代数式表示，例如能被2整除的整数可以用2n（n为整数）来表示，能被3整除的数可以用3m（m为整数）来表示． （1）若m表示为整数，则能被5整除的数可以用 　 　来表示，能被9整除的数可以用 　 　来表示． （2）一个两位数的十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数的十位数字与个位数字调换，原数与新数的差一定是9的倍数吗？说明理由？ （3）用字母说明一个偶数加一个奇数的和一定是个奇数． 30．对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m′，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″，规定，例如：34的对调数为43，． （1）填空：F（29）＝　 　； （2）以下哪个数不可以被9整除 　 　 A.123123123 B.456456456 C.789789789 D.520520520 （3）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 整式的加减--数论【30题】 （北师大版2024） 1．对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：n1＝452，∵4+5﹣2＝7，∴452是“七巧数”；n2＝724，∵7+2﹣4＝5≠7，∴724不是“七巧数”．若“七巧数”m满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则m的最大值是 　801　． 【解答】解：设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且a＞b ①+②得：， ∴当n＝1时，a+b＝8，c＝1， ∴a＝8，b＝0或a＝7，b＝1或a＝6，b＝2或a＝5，b＝3， 当n＝2，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴m的最大值是801， 故答案为：801． 2．对于一个各个数位上的数字均不为0的三位自然数N，将N的各个数位上数字之和记为m，若N能被m整除，则称N是m的“整和数”，最小的“整和数”为 　111　；若三位数A是15的“整和数”，a、b、c分别是数A中某个数位上的数字，在a、b、c任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，则满足条件的数A的最大值为 　825　． 【解答】解：∵三位自然数N的各个数位上的数字均不为0， ∴最小的“整和数”为：111； ∵三位数A是15的“整和数”，a、b、c分别是数A中某个数位上的数字， ∴a+b+c＝15，且数A的个位数字必为5， 设c＝5，则a+b＝10， 令a≥b， ＝ ＝ ＝， ∵为整数， ∴当a﹣b＝0时，a＝b＝5，则A＝555； 当a﹣b＝3时，a＝6.5，不符合题意； 当a﹣b＝6时，a＝8，b＝2，则A＝825或285； 当a﹣b＝9时，a＝9.5，不符合题意； 则满足条件的最大值为825． 故答案为：111，825． 3．一个三位正整数，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的3倍，则称这个三位数为“3倍特征数”．例如：125满足1+5＝3×2，所以125是“3倍特征数”．对于某些“3倍特征数”，可进行如下操作：取相邻数位上的两个数的平均数放入这两个数之间，并去掉未取数位上的数字，得到两个新的三位数．并规定，且F（m）能被3整除，则满足题意的“3倍特征数”m的值为 　224　． 【解答】解：由题意得：c＝3b﹣a， m1＝100a+10×+b＝100a+5a+5b+b＝105a+6b， m2＝100b+10×+c＝100b+5b+5c+c＝105b+6（3b﹣a）＝105b+18b﹣6a＝123b﹣6a， ∴F（m）＝ ＝ ＝ ＝99+， ∵F（m）能被3整除， ∴能被3整除， ∴a+b﹣1＝±1或a+b﹣1＝±3， 即a+b＝2或a+b＝0（舍去）或a+b＝4或a+b＝﹣2（舍去）， 对于a+b＝2，当a＝1，b＝1时，c＝3×1﹣1＝2，此时m＝112， ∵， ∴m＝112，不合题意，舍去， 当a＝2，b＝0时，c＝3×0﹣2＝﹣2，不合题意，舍去， 对于a+b＝4，当a＝1，b＝3时，c＝3×3﹣1＝8，此时m＝138， ∵， ∴m＝138，不合题意，舍去， 当a＝2，b＝2时，c＝3×2﹣2＝4，此时m＝224， 当a＝3，b＝1时，c＝3×1﹣3＝0，此时m＝310， ∵， ∴m＝310，不合题意，舍去， 当a＝4，b＝0时，c＝3×0﹣4＝﹣4，不合题意，舍去， 综上所述：m的值为：224． 故答案为：224． 4．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵23+69＝92，∴3296是“乘风破浪数”．则1341 　不是　（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去2c能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 　8131　． 【解答】解：∵31+14＝45≠43， ∴1341不是“乘风破浪数”． 故答案为：不是； ∵是一个乘风破浪数，， ∴10b+a+10d+c＝10c+b， 即a+9b﹣9c+10d＝0， ∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去2c能被8整除， ∴100a+10b+c﹣（10c+d）﹣2c ＝100a+10b+c﹣10c﹣d﹣2c ＝100a+10b﹣11c﹣d ＝（12×8+4）a+（8+2b）﹣（8+3）c﹣d， ∴4a+2b﹣3c﹣d能被8整除， ∵a＝9c﹣10d﹣9b， ∴4a+2b﹣3c﹣d ＝4（9c﹣10d﹣9b）+2b﹣3c﹣d ＝36c﹣40d﹣36b+2b﹣3c﹣d ＝33c﹣41d﹣34b ＝（4×8+1）c﹣（5×8+1）d﹣（4×8+2）b， ∴c﹣d﹣2b能被8整除，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9， 当c＝8，b＝1，则d＝7，a＝9c﹣10d﹣9b＝81﹣70﹣9＝2，则2197， b为其他数时，不合题意，舍去； 当c＝8，b＝1，则d＝6，a＝9c﹣10d﹣9b＝72﹣60﹣9＝3，则3186， 当c＝7，b＝1，则d＝5，a＝9c﹣10d﹣9b＝63﹣50﹣9＝4，则4175， 当c＝6，b＝1，则d＝4，a＝9c﹣10d﹣9b＝54﹣40﹣9＝5，则5164， 当c＝5，b＝1，则d＝3，a＝9c﹣10d﹣9b＝45﹣30﹣9＝6，则6153， 当c＝4，b＝1，则d＝2，a＝9c﹣10d﹣9b＝36﹣20﹣9＝7，则7142， 当c＝3，b＝1，则d＝1，a＝9c﹣10d﹣9b＝27﹣10﹣9＝8，则8131， 当c＝2，b＝1，则d＝8，则a＝9c﹣10d﹣9b＝18﹣80﹣9＜0，舍去， 综上所述，最大值为8131． 5．对于一个三位正整数M，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字等于十位数字与个位数字的3倍之和，我们就称这个三位数M为“趣数”．若一个“趣数”为，则这个数为 　521　；若交换“趣数”M的百位数字和个位数字得到一个新三位数M′，且M′﹣1是7的倍数，则满足条件的M′的最大值是 　239　． 【解答】根据“趣数”定义得a＝2+1×3＝5， ∴这个数为521， 故答案为：521． 设“趣数”M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字c， 则M′＝100c+10b+a， ∵a＝b+3c， ∴M′＝100c+10b+b+3c＝103c+11b， ∵M′﹣1是7的倍数， ∴103c+11b﹣1是7的倍数， ∵103c+11b﹣1＝105c+14b﹣2c﹣3b﹣1＝7（35c+2b）﹣（2c+3b+1）， ∴2c+3b+1是7的倍数， ∵M′的最大， ∴c最大． ∵a＝b+3c，均不为0且互不相等，，且a＜10， ∴c最大为2， 当c＝2时， 4+3b+1＝7，不符合，舍去． 4+3b+1＝14，此时b＝3． ∴a＝3+3×2＝9． ∴M′的最大值是239． 故答案为：239． 6．对于一个两位数，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），记F（m）＝a+b，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为m'的十位数字和个位数字，新形成的两位数m'叫做m的伴生和差数，把m放置于m'十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 　1101　，若M能被7整除，则的最小值为 　　． 【解答】解：∵两位数m的十位数字是a，个位数字是b，两位数m′的十位数字是（a+b），个位数字是（a﹣b）， ∴四位数M＝1000（a+b）+100a+10b+（a﹣b）＝1101a+1009b， ∴a＝1，b＝0时，M最小，M＝1101， ∵M能被7整除，1≤a+b≤9， ∴a＝3，b＝1时，M＝4312， a＝5，b＝4时，M＝9541， a＝6，b＝2时，M＝8624， a＝7，b＝0时，M＝7707， ＝＝+最小， 即最小， ∴a＝7，b＝0时，＝， 故答案为：1101，． 7．如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足+＝100，那么称这个四位数为“完美数”．例如：四位数2764，∵24+76＝100，∴2764是“完美数”，则最大的“完美数”为 　8191　；对于“完美数”M＝，记P（M）＝a+++，Q（M）＝，当P（M）能被13整除时，Q（M）的最小值为 　　． 【解答】解：∵“完美数”最大， ∴千位数字为9， ∵和为100， ∴百位数字最小只能为1， ∵各数位上的数字均不为0， ∴千位数字不能为9， ∴千位数字能为8， ∴百位数字为1， ∴十位数字最大为9， ∴个位数字为1， ∴最大的“完美数”为8191． ∵“完美数”M＝， ∴10a+d+10b+c＝100， ∴d＝100﹣10a﹣10b﹣c． ∵P（M） ＝a+++ ＝a+10a+b+100a+10b+c+1000a+100b+10c+d ＝1111a+111b+11c+d ＝1111a+111b+11c+100﹣10a﹣10b﹣c ＝1101a+101b+10c+100 ＝1105a+104b+13c+104﹣4a﹣4﹣3b﹣3c ＝13（85a+8b+c+8）﹣（4a+4+3b+3c）． ∵P（M）能被13整除时， ∴4a+4+3b+3c能被13整除时， 即4（a+1）+3（b+c）能被13整除时， ∵Q（M）＝， 要使Q（M）最小， ∴a必须最大． 经检验，当a＝5时， ∵4（a+1）+3（b+c）能被13整除时， ∴24+3（b+c）能被13整除时， 当24+3（b+c）＝13×3时， b+c＝5． ∵+＝100， 经检验，b＝4，c＝1时， d＝9， ∴Q（M）＝＝＝． 故答案为：8191，． 8．若一个正整数M＝mn﹣m﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的个位数字相加等于9，十位数字相同，则称M为“积差数”．例如：因为179＝13×16﹣13﹣16，13与16的十位数字都是1，个位数字3+6＝9，所以179是“积差数”，则最小的“积差数”是 　161　；若M＝mn﹣m﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数N，若N被7除余2，则满足条件的N的最大值为 　9396　． 【解答】解：和为9的数对有：0、9，1、8，2、7，3、6，4、5， 当十位数字是1时，m和n分别为10、19，11、18，12、17，13、16，14、15， 当十位数字是2时，m和n分别为20、29，21、28，22、27，23、26，24、25， ﹣﹣﹣ 当十位数字是9时，m和n分别为90、99，91、98，92、27，93、96，94、95， 通过计算可知：m＝10，n＝19时，M＝mn﹣m﹣n＝10×19﹣10﹣19＝161是最小的“积差数”． 当m在左n在右时，组成的四位数N， 则m和n分别为90、99，91、98，92、27，93、96，94、95，95、94，96、93，97、92，98、91，99、90， 组成的N从大到小依次为9990，9891，9792，9693，9594，9495，9396，9297，9198，9099， 通过计算”被7除余2”的最大的N为9396． 9．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，且百位上的数字小于千位上的数字，则称该数为凹对称数．如：四位数3223是凹对称数，四位数5323，2442均不是凹对称数．根据以上信息可知，最小的凹对称数是 　1001　；将凹对称数m的千位和个位上的数字分别与百位和十位上的数字对调得到的数m'称为m的凸对称数．已知凹对称数n＝1000x+100y+10y+x的凸对称数为n'．设，，若F（M）被5除余2，且F（N）﹣F（M）+18x＝36，则凹对称数n的值是 　3223或5335　． 【解答】解：∵n＝1000x+100y+10y+x， ∴n′＝1000y+100x+10x+y， ∴＝＝9x﹣9y， 设m＝1000a+100b+10b+a（a＞b，a，b均为大于或等于1且小于或等于9的整数）， 则m′＝1000b+100a+10a+b， ∴F（M）＝＝9a﹣9b＝9（a﹣b）． ∵F（M）被5除余2， ∴F（M）的个位的数字为2或7， ∵a＞b，a，b均为大于或等于1且小于或等于9的整数， ∴a﹣b＝3或a﹣b＝8， ∴F（M）＝27或72． ∵F（N）﹣F（M）+18x＝36， ∴9x﹣9y﹣27+18x＝36或9x﹣9y﹣72+18x＝36， ∴3x﹣y＝7或3x﹣y＝12． ∴x＝或x＝． ∵x＞y，x，y均为大于或等于1且小于或等于9的整数， ∴x＝3，y＝2或x＝5，y＝3． ∴凹对称数n的值是3223或5335． 故答案为：3223或5335． 10．一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为不小于1，且不大于9的整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”，例如，对于4675，∵4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；对于3526，∵3+5＝﹣2×（2﹣6），则称3526为“﹣2型数”；若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数数n，n也是“3型数”，则满足条件的所有四位数m为 　7551或6662　． 【解答】解：设m＝， ∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数n，n也是“3型数”， ∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d）， 将两式相减整理得：b＝c， ∴m的十位与百位数字相同，设m＝， 由m﹣3是“﹣3型数”，分两种情况： （Ⅰ）d≥3时，m﹣3＝， ∵四位数m＝是“3型数”， ∴a+x＝3（x﹣d）， ∵m﹣3是“﹣3型数”， ∴a+x＝﹣3[x﹣（d﹣3）]， ∴3（x﹣d）＝﹣3[x﹣（d﹣3）]， 整理化简得：2d﹣2x＝3， ∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数， ∴2d﹣2x＝3无整数解，此种情况不存在； （Ⅱ）d＜3时， m﹣3＝， ∵m﹣3是“﹣3型数”， ∴a+x＝﹣3[（x﹣1）﹣（d+7）]，即a+4x﹣3d＝24①， ∵m是“3型数”， ∴a+x＝3（x﹣d），即a﹣2x+3d＝0②， ①+②化简得a+x＝12， ①+②×2化简得a+d＝8， ∴当d＝1时，a＝7，x＝5，此时m＝7551， 当d＝2时，a＝6，x＝6，此时m＝6662． 综上所述，满足条件的所有四位数m是7551或6662． 故答案为：7551或6662． 11．一个四位数n＝，且n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将n的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数m，记F（n）＝，若F（n）为整数，我们称n为“善雅数”．例如：n＝3412．∵F（n）＝＝47，∴n为“善雅数”．求F（6472）＝　138　；若n是“善雅数”，当F（n）最大时，m＝　1289　． 【解答】解：F（6472）＝＝138； 当F（n）最大时，n﹣m最大，即n最大， ∴n＝9821，m＝1289时，F（n）最大， 故答案为：138；1289． 12．对于各位数字均不为零的三位自然数m＝，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如m＝327，∵3+2+7＝12，12÷2＝6，∴327是“对偶数”；又如n＝136，∴1+3+6＝10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得m1＝，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2＝．记．已知一个“对偶数”n＝100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18F（n）+2（a﹣4）能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为 　514　． 【解答】解：∵n＝100a+10b+4（其中1≤a+b≤9）， ∴“对偶数”n的百位数字，十位数字和个位数字分别为a，b，4， ∴18F（n）+2（a﹣4） ＝18×+2a﹣8 ＝18（a+b+4）+2a﹣8 ＝18a+18b+72+2a﹣8 ＝20a+18b+64 ＝14a+14b+63+6a+4b+1 ＝7（2a+2b+9）+6a+4b+1， 又∵18F（n）+2（a﹣4）能被7整除， ∴6a+4b+1是7的倍数， ∵1≤a+b≤9，a，b均为整数， 当a＝1，b＝1时，7（2a+2b+9）+6a+4b+1＝102，102不能被7整除，不符合题意； ∴a＝1，b＝7时，n＝174，1+7+4＝12，12不能被7整除，不符合题意； a＝2，b＝2时，n＝224，2+2+4＝8，8能被2整除，符合题意； a＝3，b＝4时，n＝344，3+4+4＝11，11不能被4整除，不符合题意； a＝4，b＝6时，4+6＞9，不符合题意； a＝5，b＝1时，n＝514，5+1+4＝10，10能被1整除，符合题意； a＝5，b＝8时，5+8＞9，不符合题意； a＝6，b＝3时，n＝634，6+3+4＝13，13不能被3整除，不符合题意； a＝7时，没有满足条件的b； a＝8时，没有满足条件的b． 故所有满足条件的n为224或514， ∴所有满足条件的n的最大值为514． 故答案为：514． 13．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“巧合数”．例如：四位数5611，因为5+6＝11，所以5611是“巧合数”：又如：四位数7816，因为7+8≠16，所以7816不是“巧合数”．则最大的“巧合数”是 　9918　；若“巧合数”能被3整除，设，则F（M）的最大值为 　　． 【解答】解：要使该“巧合数”最大，则a＝9，b＝9， ∵a+b＝， ∴c＝1，d＝8， 最大的“巧合数”是9918； ∵“巧合数”M＝＝1000a+100b+10c+d， 又∵， ∴M＝100la+101b＝999a+99b+2a+2b， ∵“巧合数”能被3整除， ∴2a+2b能被3整除， ∵1≤a≤9，1≤b≤9， ∴4≤2a+2b≤36， ∵要使取得最大值， 则a尽量取最大值，b尽量取最小值， ∴a＝9，b＝3， ∵a+b＝， ∴c＝1，d＝2， ∴，为最大值． 故答案为：9918，． 14．对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数N为“首尾数”．例如：数142，因为4﹣（1+2）＝1，所以142是“首尾数”，数264，因为6﹣（2+4）≠1，所以264不是“首尾数”，则最小的“首尾数”为 　120　；若“首尾数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为N′，若为一个整数的平方，则满足条件的N的最大值为 　692　． 【解答】解：∵其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数N为“首尾数”． ∴最小的“首尾数”百位上是1，个位上是0， ∴十位上是2， ∴最小的“首尾数”是120； 若N＝，则N'＝， ∴＝＝9|a﹣c|， ∵N要最大， ∴b＝9， ∴a+c＝8，a＞c， ∴9|a﹣c|＝9（a﹣c）是一个整数的平方， ∵0＜a＜9，0＜c＜9， ∴a﹣c＝4， ∴a＝6，c＝2， ∴N的最大值为：692． 故答案为：120，692． 15．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，∵41﹣29＝12，∴4129是“差中数”；又如：四位数5324，∵53﹣24＝29≠32，∴5324不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 　5138　；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 　9174　． 【解答】解：①∵为”差中数“， ∴51﹣（10m+8）＝10+m， ∴a＝3， ∴这个数为5138； ②设满足条件的四位自然数是， 又∵是差中数， ∴（90+b）﹣（10c+d）＝10b+c，即b＝10﹣c﹣， 故2c+d＝9或2c+d＝18， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，，， 当时，这个”差中数“是9817，不能被11整除， 当时，这个”差中数“是9725，不能被11整除， 当时，这个”差中数“是9541，不能被11整除， 当时，这个”差中数“是9358，不能被11整除， 当时，这个”差中数“是9174，能被11整除， ∴一个”差中数“能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174， 故答案为：5138，9174． 二．解答题（共15小题） 16．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 　41　； （2）如果“相异数”b满足f（b）＝3直接写出所有“相异数”b的值 　12，21　； （3）如果m，n都是“相异数”，且m﹣n＝98﹣2（n﹣1），请判断f（m）+f（n）﹣10值是否为常数，并说明理由． 【解答】解：（1）解由“相异数”的定义可得，两位数：30，41，33中，“相异数”为41， 故答案为：41． （2）设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足f（b）＝3， ∴， ∴11x+11y＝33， 即x+y＝3， ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零， ∴当x＝1时，y＝2，此时b的值为12； 当x＝2时，y＝1，此时b的值为21． ∴所有“相异数”b的值为12，21， 故答案为：12，21； （3）解：f（m）+f（n）﹣10值为常数；理由如下： ∵m﹣n＝98﹣2（n﹣1）， ∴m+n＝100， ∵m、n都是“相异数”， 设m＝10x+y，则n＝100﹣m＝100﹣10x﹣y＝10（9﹣x）+（10﹣y）， ∴ ＝ ＝ ＝x+y+19﹣x﹣y﹣10 ＝9． ∴f（m）+f（n）﹣10值为常数9． 17．对于个位数字不为零的任意三位数A，将其个位数字与百位数字对调得到A′，则称A′与A互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为P（A），例如当A＝765时，． （1）P（906）＝　9　，P（﹣237）＝　15　； （2）求P（132）﹣P（﹣316）的值； （3）对于任意三位数A，其百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，满足：c＞a，求P（A）的值． 【解答】解：（1）P（906）＝＝9， P（﹣237）＝＝15； 故答案为：9；15； （2）∵P（132）＝＝3， P（﹣316）＝＝9， ∴P（132）﹣P（﹣316）＝﹣6； （3）P（A）＝＝， ∵c＞a， ∴99a﹣99c＜0，|99a﹣99c|＝99c﹣99a， P（A）＝＝＝3c﹣3a． 18．阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，F（M）＝． （1）F（1756）＝　20　；F（2389）＝　﹣50　； （2）试证明任意重叠数M的F（M）一定为10的倍数； （3）若一个“重叠数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤9，0≤b≤4），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，F（t）的最小值． 【解答】（1）解：∵M＝1756， ∴N＝1576， ∴F（1756）＝＝20； ∵M＝2389， ∴N＝2839， ∴F（2389）＝＝﹣50； 故答案为：20，﹣50； （2）证明：设M的千位数字是x，百位数字是y， 则M＝1000x+100y+10x+y＝1010x+101y， ∴N＝1000x+100x+10y+y＝1100x+11y， ∴F（M）＝＝＝﹣10（x﹣y）， ∴F（M）一定为10的倍数； （3）解：t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5 ＝1010a+101b+505 ＝1008a+98b+504+1+2a+3b ＝7（144a+14b+72）+（2a+3b+1）， ∵t能被7整除， ∴2a+3b+1能被7整除， ∵1≤a≤9，0≤b≤4， ∴b＝0，a＝3或b＝1，a＝5或b＝2，a＝7或b＝3，a＝2或b＝3，a＝9或b＝4，a＝4； ∴t为3535或5656或7777或2828或9898或4949， ∴F（3535）＝20，F（5656）＝10，F（7777）＝0，F（2828）＝60，F（9898）＝﹣10，F（4949）＝50， ∴F（t）的最小值为﹣10． 19．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为S（x）． 例如，a＝13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31＝44，和44除以11的商为44+11＝4，所以S（13）＝4． （1）下列两位数：40，51，77中，“相异数”为 　51　； （2）计算：S（65）的值； （3）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2k﹣1，且S（y）＝8，求相异数y． 【解答】解：（1）51的个位数字与十位数字互不相同，且都不为零， 故答案为：51． （2）由65+56＝121， 121÷11＝11， ∴S（65）＝11． （3）10k+2k﹣1+10（2k﹣1）+k＝8×11， 解得k＝3， ∴2k﹣1＝2×3﹣1＝5， ∴相异数y是35． 20．定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数234中，3＝，所以，234是半和数；又如369中，6＝（3+9），所以，369也是半和数．… 任务： （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 　741　；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 　　；这个数为 　105a　；（用含a的代数式表示）； （2）任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是111的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得：这个数为741；十位数字为，这个数为105a； 故答案为：741，，105a； （2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： 100m+10×+n＝105m+6n， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：100n+10×+m＝105n+6m， 将新“半和数”与原“半和数”相加得， 105n+6m+105m+6n＝111m+111n＝111（m+n）， ∵m，n均为整数， ∴m+n为整数， ∴111（m+n）是111的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数． 21．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，F（412）＝41﹣2＝39． （1）请写出最小的“偶发数”m，并求出F（m）的值； （2）若一个“偶发数”m，使F（m）恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 【解答】解：（1）∵“偶发数”各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2， ∴最小的“偶发数”m＝311， ∴F（m）＝31﹣1＝30． （2）设， ∴a﹣c＝2，则a＝c+2， ∴， ∵F（m）恰为7的倍数， ∴2c+b+6能被7整除， ∵0＜c≤7，0＜b≤9， ∴6＜2c+b+6≤29， ∴2c+b+4＝7，14，21，28， ①当2c+b+6＝7时，没有符合条件的b、c， ②当2c+b+6＝14时，c＝1，b＝6或c＝2，b＝4或c＝3，b＝2， 符合条件的m有361，442，523， ③当2c+b+6＝21时，c＝7，b＝1或c＝6，b＝3或c＝5，b＝5或c＝4，b＝7或c＝3，b＝9， 符合条件的m有917，836，755，674，593， ④当2c+b+6＝28时，c＝7，b＝8， 符合条件的m有987， 综上：满足题意的最大“偶发数”为987，最小的“偶发数”为361， 差值为987﹣361＝626． 22．对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大m（m为正整数），十位上的数字比个位上的数字大m，则称这个三位数为关于m的“递差数”． 例如：三位数531，因为5﹣3＝2，3﹣1＝2，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为9﹣8＝1，8﹣7＝1，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为m的“递差数”，若是，求出m的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于m的“递差数”，其百位上的数字为x，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含m，x的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于m的“递差数”． 【解答】解：（1）根据新定义，三位数741， ∵7﹣4＝3，4﹣1＝3， 符合新定义，故741是关于3的“递差数”． 故m为3． （2）原来的三位数： x（x﹣m）（x﹣2m） ＝100x+10（x﹣m）+（x﹣2m） ＝111x﹣12m． 交换后的三位数： （x﹣2m）（x﹣m）x ＝100（x﹣2m）+10（x﹣m）+x ＝111x﹣210m． 原三位数和新三位数之和： 111x﹣12m+111x﹣210m ＝222x﹣222m． 答：原三位数和新三位数之和222x﹣222m． （3）x的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中m是正整数，所以x≥3． ①当x＝3时， 222x﹣222m＝666﹣222m，不符合题意． ②当x＝4时， 222x﹣222m＝888﹣222m，不符合题意． ③当x＝5时， 222x﹣222m＝1110﹣222m，不符合题意． ④当x＝6时， 222x﹣222m＝1332﹣222m，当m＝1时，1332﹣222m＝1100，符合题意． ⑤当x＝7时， 222x﹣222m＝1554﹣222m，当m＝2时，1554﹣222m＝1100，符合题意． ⑥当x＝8时， 222x﹣222m＝1776﹣222m，当m＝3时，1776﹣222m＝1100，符合题意． ⑦当x＝9时， 222x﹣222m＝1998﹣222m，当m＝4时，1998﹣222m＝1100，符合题意． 答：综上所述： 当x＝6，m＝1时，递差数为654． 当x＝7，m＝2时，递差数为753． 当x＝8，m＝3时，递差数为852． 当x＝9，m＝4时，递差数为951． 23．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：×4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4⇒﹣4m＝﹣2． 解得：m＝． m不是整数，所以3274不是“m倍数“． 2m﹣9＝6m﹣1⇒﹣4m＝8． 解得：m＝﹣2． 2961是“﹣2倍数“，m为﹣2． （2）∵x为三位数，个位为7， ∴a＝0．d＝7． ﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7． 整理得：b＝2c+7． 这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）． ∵30c+101是整数． ∴这三位数x能被7整除． （3）∵这四位数为“1倍数”． ∴a﹣b＝c﹣d⇒a﹣c＝b﹣d． ∵y＝10a+b，z＝10c+d． ∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）． ∵为整数． ∴为整数． 即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8． ∵各位数的数字互不相等． ∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8． ∴这四位数应为9810，1098． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d． ∵x为“4倍数“． ∴4a﹣b＝4c﹣d①． ∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”． ∴4a﹣c＝4b﹣d②． ①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b⇒﹣3c＝﹣3b⇒c＝b． 将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d． 整理得：d＝5b﹣4a． ∵x+6为“﹣4倍数“． ∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6． 把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得： ﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6． 整理得：8a﹣8b＝6． ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴8a﹣8b不可能等于6， ∴d＜4不符合题意． 当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10）， 整理得：4a+b＝4c+d， 把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得： 4a+b＝4b+（5b﹣4a）， 整理得：a＝b， ∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b， 即d＝b． ∴a＝b＝c＝d． ∵x+6为四位数， ∴a＝b＝c＝d＜9． ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 24．如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数m′，将其与m的个位数字的差记为F（m），将m的十位数字与个位数字的差记为G（m）．已知一个三位正整数m＝20（5x+1）+2y（其中x、y都是整数，且1≤x≤9，1≤y≤9）是“互异数”，为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值 　932　． 【解答】解：m＝20（5x+1）+2y＝100x+20+2y， ①当5≤y≤9时，则10≤2y≤18， ∴m的十位数为2+1＝3，个位为（2y﹣10）， ∴m'＝10x+3， ∴F（m）＝10x+3﹣（2y﹣10）＝10x﹣2y+13， G（m）＝3﹣（2y﹣10）＝﹣2y+13， ∴＝＝， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m是“互异数”， ∴x≠3． 当y＝6，x＝9时，＝﹣90， 1﹣＝﹣91，而﹣91能被13整除， 符合题意； ∴m＝100×9+20+2×6＝932； 当y＝7，x＝4时， ＝40， 1﹣＝﹣39，而﹣39能被13整除， 符合题意； ∴m＝100×4+20+2×7＝434，不是“互异数”， 不符合题意； 当y＝9，x＝7时， ＝14，＝﹣13，而﹣13能被13整除， 符合题意； ∴m＝100×7+20+2×9＝738，是“互异数”， 符合题意； ②当1≤y＜5时，则2≤2y＜10，∴m的十位数为2，个位为2y， ∴m'＝10x+2， ∴F（m）＝10x+2﹣2y， G（m）＝2﹣2y， ∴＝＝， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m是“互异数”， ∴x≠2． 当y＝2，x＝8时， ＝﹣40， ∴＝﹣39，而﹣39能被13整除， 符合题意； ∴m＝100×8+20+2×2＝824； 综上，满足条件的“互异数”m的最大值是932． 故答案为：932． 25．对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”． 例如：287，∵2+8＝10，∴287是“十成九稳数”． 又如：454，∵4+5＝9≠10，∴454不是“十成九稳数”． （1）判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由； （2）已知一个“十成九稳数”N＝100a+10b+c（其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c都是整数），把百位数字的3倍记作F（N），百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作T（N），若F（N）•T（N）＝36，求满足条件的所有N． 【解答】解：（1）∵3+7＝10，6+0＝6， ∴375是“十成九稳数”，602不是“十成九稳数”； （2）∵N＝100a+10b+c是“十成九稳数”， ∴a+b＝10， ∵F（N）＝3a，T（N）＝a+b﹣c＝10﹣c，F（N）•T（N）＝36， ∴3a（10﹣c）＝36， 即a（10﹣c）＝12， ∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c都是整数， ∴当a＝1时，10﹣c＝12，c＝﹣2，不符合题意； 当a＝2时，10﹣c＝6，c＝4，则b＝8，故N＝284； 当a＝3时，10﹣c＝4，c＝6，则b＝7，故N＝376； 当a＝4时，10﹣c＝3，c＝7，则b＝6，故N＝467； 当a＝6时，10﹣c＝2，c＝8，则b＝4，故N＝648； 当a＝12时，不符合题意． 综上所述，满足条件的N有：284，376，467，648． 26．若一个两位数M的十位数字为a，个位数字为b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，规定s＝a+b，t＝2（a﹣b），F（m）＝s+t，例如F（12）＝1+2+2×（1﹣2）＝3﹣2＝1． （1）求F（23）和F（69）； （2）若一个两位数P满足个位数字比十位数字大2，另一个两位数Q满足个位数字比十位数数字的2倍少1，规定K＝|F（P）﹣3F（Q）|，当F（P）+F（Q）＝12，求K的最大值． 【解答】解：（1）F（23）＝2+3+2×（2﹣3）＝5﹣2＝3， F（69）＝6+9+2×（6﹣9）＝15﹣6＝9； （2）设两位数P的十位数字为m，则其个位数字为m+2， 设两位数Q的十位数字为n，则其个位数字为2n﹣1， ∴F（P）＝m+m+2+2[m﹣（m+2）]＝2m﹣2， F（Q）＝n+2n﹣1+2[n﹣（2n﹣1）]＝n+1， ∴K＝|F（P）﹣3F（Q）|＝|2m﹣2﹣3（n+1）|＝|2m﹣3n﹣5|， ∵F（P）+F（Q）＝12， ∴2m﹣2+n+1＝12，即2m+n＝13， ∵，， ∴1≤m≤7，1≤n≤5，且m，n为整数， ∴或或， 当m＝4，n＝5时，K＝|2×4﹣3×5﹣5|＝12， 当m＝5，n＝3时，K＝|2×5﹣3×3﹣5|＝4， 当m＝6，n＝1时，K＝|2×6﹣3×1﹣5|＝4， ∴K的最大值为12． 27．（1）一个两位数，其中a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数．则这两个两位数的和一定能被　11　整除，这两个两位数的差一定能被　9　整除． （2）将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数，恰好与原数相同，我们把这样的正整数称为“对称数”，如：5，33，565，2552，12421分别是一位、两位、三位、四位、五位“对称数”． ①请你写出2个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”，能否被11整除，并用字母式子说明理由； ②已知一个能被11整除的三位“对称数”，设其个位上的数字为x（1≤x≤4），十位上的数字为y，求y与x的数量关系，并写出所有能被11整除的三位“对称数”． 【解答】解：（1）设该两位数为：10a+b， 对调后，该两位数为：10b+a， ∴这两个数的和为：10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b） 这两个数的差为：10a+b﹣（10b+a）＝9a﹣9b＝9（a﹣b） 故这两个数的和能够被11整除，这两个数的差能够被9， （2）①如：1111，1661；能被11整除，理由如下： 依题意任意一个四位“对称数”的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，设个位数字为a，百位数字为b，则 四位“对称数”＝1000a+100b+10b+a ＝1001a+110b＝11×（91a+10b） 因为a，b为正整数，所以91a+10b，11×（91a+10b）被11整除． ②依题意任意一个三位“对称数”的百位数字与个位数相同，其个位上的数字为x（1≤x≤4），十位上的数字为y，百位数字为x，则 三位“对称数”＝100x+10y+x ＝101x+10y＝99x+11y+（2x﹣y） ＝11（9x+y）+（2x﹣y） 因为11（9x+y）+（2x﹣y）能被11整除，所以2x﹣y能被11整除， 即2x﹣y的值为0或11或22，又1≤x≤4，0≤x≤9，所以2x﹣y＝0， 所以y＝2x， 所有能被11整除的三位“对称数”为121，242，363，484． 故答案为：（1）11；9 28．一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　110　，最大的三位“和谐数”是 　990　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 【解答】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y， ∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， 当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110， 当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990， 故答案为：110，990； （2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a， ∴该“和谐数”为：110b﹣99a； （3）能，理由： 由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， ∵110y+11x＝11（10y+x）， ∴任意一个三位“和谐数”能被11整除． 29．学习用字母表示数以后，我们知道具有某些相同特征的数可以用某个代数式表示，例如能被2整除的整数可以用2n（n为整数）来表示，能被3整除的数可以用3m（m为整数）来表示． （1）若m表示为整数，则能被5整除的数可以用 　5m　来表示，能被9整除的数可以用 　9m　来表示． （2）一个两位数的十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数的十位数字与个位数字调换，原数与新数的差一定是9的倍数吗？说明理由？ （3）用字母说明一个偶数加一个奇数的和一定是个奇数． 【解答】解：（1）5m，9m（m为整数）； 故答案为：5m，9m； （2）原数与新数的差一定是9的倍数． 理由：因为一个两位数的十位数字是a，个位数字是b， 所以这个两位数为10a+b， 这个两位数的十位数字与个位数字调换， 则新数为10b+a， 所以原数与新数的差为10a+b﹣（10b+a） ＝9a﹣9b ＝9（a﹣b）， 因为9（a﹣b）÷9＝a﹣b， 所以原数与新数的差一定是9的倍数； （3）设偶数为2x，奇数为2y+1（x、y为整数）， 则2x+2y+1＝2（x+y）+1， 因为x+y为整数， 则2（x+y）+1为奇数． 30．对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m′，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″，规定，例如：34的对调数为43，． （1）填空：F（29）＝　63　； （2）以下哪个数不可以被9整除 　D　 A.123123123 B.456456456 C.789789789 D.520520520 （3）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除． 【解答】解：（1）F（29）＝ ＝ ＝63． 故答案为：63； （2）A.123123123÷9＝13680347，故选项A可以被9整除，不符合题意； B.456456456÷9＝50717384，故选项B可以被9整除，不符合题意； C.789789789÷9＝87754421，故选项C可以被9整除，不符合题意； D.520520520÷9＝57835613.333333……，故选项D不可以被9整除，符合题意． 故选：D． （3）设这个两位数m＝10a+b，a，b为整数，1≤a≤9，1≤b≤9， 则m的对调数为10b+a， ∴m'＝100（10b+a）+10a+b ＝1001b+110a， m''＝100（10a+b）+10b+a ＝1001a+110b， ∴F（m）＝ ＝ ＝ ＝9|b﹣a|， ∴F（m）都能够被9整数 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$