精品解析：2023-2024学年八年级下学期人教版数学期末模拟冲刺试题

2023-2024人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是，.，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 4. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 8.8 8.9 8.5 0.14 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 一天早晨，小亮步行上学，途中发现数学书忘在家里了，于是打电话让妈妈送来，同时小亮也往回走，相遇后妈妈又交代了一些注意事项，小亮接着往学校走，设小亮从家出发后，所用时间为t，小亮与家距离为s．下列图象能反映s与t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 3cm，5cm，5cm B. 4cm，8cm，5cm C. 5cm，13cm，12cm D. 2cm，7cm，4cm 8. 如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（　　） A. 3 B. 5 C. 2.5 D. 4 二、填空题 11. 计算：__________. 12. 小新家今年4月份头6天用米量如表：估计小新家4月份用米量为________kg． 用米量（kg） 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 13. 若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12，则k的值为__． 14. 小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间t（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：①小明家距学校4千米；②小明上学所用的时间为12分钟；③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；④小明放学回家所用时间为15分钟．其中正确的个数是__个． 15. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为__． 16. 如图，中，，的垂直平分线交于点E，若，，则_________． 17. 如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是______． 18. 将七个边长都为1正方形如图所示摆放，点、、、、、分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是__． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3）； （4）． 20. 如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的周长． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 22. 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 23. 陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下： 第一阶梯：年用水量及以下，终端水价为元/． 第二阶梯：年用水量（含），终端水价为元/． 第三阶梯：年用水量以上，终端水价为元/． 城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计． 设某户居民2019年的年用水量为，应缴水费为（元）． （1）写出该户居民2019年的年用水量为含）的与之间的函数表达式． （2）若该户居民2019年的应缴水费为元，则该户居民2019年的年用水量为多少． 24. （1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 25 如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列运算正确的是( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据同底数幂的乘法判断B，根据幂的乘方判断C，根据平方差公式判断D． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能合并，选项说法错误，不符合题意； B. ，选项说法错误，不符合题意； C. ，选项说法正确，符合题意； D. ，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类二次根式、同底数幂的乘法、幂的乘方、平方差公式，关键注意平方差公式． 3. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是，.，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵s甲2=0.61，s乙2=0.35，s丙2=1.13， ∴s丙2＞s甲2＞s乙2， ∴在本次射击测试中，成绩最稳定的是乙； 故选B． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 8.8 8.9 8.5 0.14 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到,七个分数去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：七个分数，去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大． 5. 一天早晨，小亮步行上学，途中发现数学书忘在家里了，于是打电话让妈妈送来，同时小亮也往回走，相遇后妈妈又交代了一些注意事项，小亮接着往学校走，设小亮从家出发后，所用时间为t，小亮与家的距离为s．下列图象能反映s与t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意，可得小亮从出发到发现忘了带数学书的这段时间，逐渐增大；然后判断出小亮往回走遇到妈妈的这段时间内，逐渐减小；两人聊天的这段时间，保持不变；最后判断出小亮继续走前往学校的这段时间，逐渐增大，据此判断出能反映与的函数关系的大致图象是哪个即可． 【详解】解：小亮从出发到发现忘了带数学书的这段时间，逐渐增大； 小亮往回走遇到妈妈的这段时间内，逐渐减小； 两人聊天的这段时间，保持不变； 小亮继续走前往学校的这段时间，逐渐增大， 所以能反映与的函数关系的大致图象是：A． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了函数的图象，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚小亮与学校的距离随着时间的增加的变化情况． 6. 已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，由得出y随x增大而减小是解题关键，根据正比例函数增减性直接判断即可． 【详解】解：正比例函数中，， y随x增大而减小， ， ， ， 故选：C． 7. 下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 3cm，5cm，5cm B. 4cm，8cm，5cm C. 5cm，13cm，12cm D. 2cm，7cm，4cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】，不能构成直角三角形，故A错误； ，不能构成直角三角形，故B错误； ，能构成直角三角形，故C正确； ，不能构成直角三角形，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三边满足的三角形是直角三角形，熟练掌握定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面积，根据平移的性质得出，的面积的面积，再根据面积比等于相似比的平方得出即可． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， 将沿着点到点的方向平移到的位置， ∴， 的面积的面积，， 图中阴影部分面积为， ， ∴， 解得：， 即平移的距离是， 故选：． 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出的面积是解此题的关键． 9. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意； B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意； C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意； D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意． 故选：B． 10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（　　） A. 3 B. 5 C. 2.5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8， ∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO， 又∵点E是AB中点， ∴OE是△DAB的中位线， 在Rt△AOD中，AB==5， 则OE=AD=． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键． 二、填空题 11. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用法则进行二次根式的乘法运算，所得结果如果不是最简二次根式要化为最简二次根式. 【详解】解：2＝2＝2. 故答案2. 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则. 12. 小新家今年4月份头6天用米量如表：估计小新家4月份用米量为________kg． 用米量（kg） 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 【答案】25 【解析】 【分析】先计算出这6天一共用米的量,再算出平均每天用米的量,从而计算出小新家4月份用米的总量. 【详解】解根据题意得: (0.6+0.82+0.92+1.0)6=(kg), 则小新家4月份用米量为: 30=25(kg); 故答案为:25.; 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体,总体平均数约等于样本平均数. 13. 若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12，则k的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 先判断出，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 即直线与轴的交点坐标为， 当时，，即直线与轴的交点坐标为， ∵直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解． 故答案为：． 14. 小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间t（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：①小明家距学校4千米；②小明上学所用的时间为12分钟；③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；④小明放学回家所用时间为15分钟．其中正确的个数是__个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．根据图象可以直接判断①②，根据速度的计算公式可以直接判断③，从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡、下坡的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可判断④． 【详解】解：①小明家距学校4千米，正确； ②小明上学所用的时间为12分钟，正确； ③小明上坡的速度是千米/分钟，错误； ④上坡的速度为千米/分钟，下坡速度为（千米/分钟）， 小明放学回家所用时间为： （分钟），正确； 综上分析可知：正确的个数是3个． 故答案为：3． 15. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为__． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是是解答的关键． 根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为， 根据题意，，， ∴， ∴圆柱的底面周长为． 故答案为：6． 16. 如图，中，，的垂直平分线交于点E，若，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及勾股定理，根据线段垂直平分线性质先求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 的垂直平分线交于点E，， ， 中，，， ， 故答案为：4． 17. 如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，利用此定理求解即可． 【详解】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ， ， ， 的周长为 ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，掌握并熟练应用三角形中位线定理是解题关键． 18. 将七个边长都为1的正方形如图所示摆放，点、、、、、分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于的面积，等于正方形的面积的． 连接和，根据正方形性质得出，，，求出，根据证，推出四边形的面积等于的面积，也等于正方形的面积的，得出其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的，求出正方形的面积，即可求出答案． 【详解】解：连接和， 四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中 ，，， ， 即四边形的面积等于△的面积，也等于正方形的面积的， 同理得出，其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的， 则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1）1 （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键； （1）根据二次根据的除法计算即可； （2）根据二次根式，绝对值的运算求解即可； （3）根据二次根式的运算法则求解即可； （4）运用平方差公式，完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的周长． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理进行判断即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 由（1）知， ∵三角形是等腰三角形，为底边， ∴， 设，则：， 在中：， 即：， 解得：， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形． 【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 22. 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元． （1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率； ②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由． 【答案】（1）y＝；（2）①；②超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能出乙公司给超市的日利润y与销售数量n的函数关系； （2）①根据概率公式即可得到结论； ②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的产品较为合适． 【详解】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700， ∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝； （2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝； ②设甲公司的给超市的日利润为x元， 则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183， ＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元）， 设乙公司的给超市的日利润为y元， 则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230， ＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元）， ∵＜， ∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用、数据统计及概率的综合问题，熟练掌握各个知识点是解题的关键，注意通过题目的条件及图表求出函数表达式，然后根据数据统计的相关知识点进行求解即可． 23. 陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下： 第一阶梯：年用水量及以下，终端水价为元/． 第二阶梯：年用水量（含），终端水价为元/． 第三阶梯：年用水量以上，终端水价为元/． 城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计． 设某户居民2019年的年用水量为，应缴水费为（元）． （1）写出该户居民2019年的年用水量为含）的与之间的函数表达式． （2）若该户居民2019年的应缴水费为元，则该户居民2019年的年用水量为多少． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据实际问题列出函数表达式即可． （2）先判断用水量在哪一阶梯，再计算． 【详解】解：，即． 由知，当时， 当时，． ， 该户居民2019年的年用水量在以上，终端水价为元/． 当时，即 解得． 答：该户居民2019年的年用水量为． 【点睛】此题主要考查根据实际问题列函数解析式，找出实际问题中的等量关系是解题关键． 24. （1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），详见解析 （3）详见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 25. 如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】（1）A（﹣5，0），直线L的解析式为：y＝x+5 （2） （3）PB的长是定值，定值为；理由见详解 【解析】 【分析】（1）当y＝0时，x＝﹣5；当x＝0时，y＝5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA＝OB，解得：m＝1，即可得出直线L的解析式； （2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN＝OM，即可求出BN的长； （3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA＝BK，EK＝OB，得出EK＝BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK＝PB，即可得出结果． 【小问1详解】 ∵对于直线L：y＝mx+5m， 当y＝0时，x＝﹣5， 当x＝0时，y＝5m， ∴A（﹣5，0），B（0，5m）， ∵OA＝OB， ∴5m＝5，解得：m＝1， ∴直线L的解析式为：y＝x+5； 【小问2详解】 ∵OA＝5，AM， ∴由勾股定理得：OM， ∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∵∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠BON＝∠OAM， 在△AMO和△OBN中，， ∴△AMO≌△ONB（AAS） ∴BN＝OM； 【小问3详解】 PB的长是定值，定值为；理由如下： 作EK⊥y轴于K点，如图所示： ∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°，BO＝BF，∠OBF＝90°， ∴∠ABO+∠EBK＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠EBK＝∠OAB， 在△ABO和△BEK中，， ∴△ABO≌△BEK（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∴EK＝BF， 在△PBF和△PKE中，， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PBBKOA5． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$