7.1.1条件概率课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为 ( 或 ); 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为 (或 ); 3.互斥事件：事件A、B不能同时发生 当A、B互斥时， 复习引入 复习引入 彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征； (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率 一般地，我们用W来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间） 一般地，n(A)表示 事件A包含的基本 事件的个数 3 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表： (1)选到男生的概率是多少？ (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ 新课引入 分析：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得出，n(Ω)=45，n(A)=30，n(B)=25. 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 新课引入 解：(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率 (2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知， 新课引入 问题2 ： 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么： （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 解： 问题变式：这个家庭中有两个孩子，已知老大是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？ 6 为什么两个问题的概率不一样？ 因为问题2中已知有女孩会影响两个都是女孩的概率。 若记A:已知一个是女孩 ，一般地，在已知事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定再是P(B). 我们将问题中的事件记为 ,称为 在事件A已发生的条件下，B发生的条件概率 新课引入 P(B)以试验下为条件,样本空间是 内涵理解: A B P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A P(B |A)相当于把Ａ看作新的样本空间求AB发生的概率 样本空间不一样 为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？ (通常适用古典概率模型) (适用于一般的概率模型) 学习新知 一般地,设Ａ，Ｂ为两个事件, 且Ｐ(A)＞０， 称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 1.定义 条件概率 Conditional Probability 一般把 P(B︱A)读作 A 发生的条件下 B 的概率。 2.说明: P(B|A)相当于把Ａ看作新的基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的概率 A B 练习：P48T1 概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 易错概念辨析 学习新知 条件概率与事件独立性的关系 问题3：在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B).一般地， P(B|A)与P(B)不一定相等。如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 这等价于P(B|A)=P(B)成立. 思考：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 对任意两个事件A与B，若P(A)>0， 概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的 题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率. 典型例题 解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。 (1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即 解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道. 因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的 题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 典型例题 更便捷 求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求 练习：P48T2 条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0,则 例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关 典型例题 条件概率计算中注意的问题 1.条件概率的判断： （1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率 2.相应事件的判断： 首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率 例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。 典型例题 题型小结 练习：P48T3 1. 条件概率的定义. 课堂小结 2. 条件概率的性质. 3. 条件概率的计算方法. (1)减缩样本空间法 (2)条件概率定义法 4．条件概率需注意以下几点 (1)事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． (2)所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率． (3)已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率， 课堂小结 5．如何理解条件概率公式？ (1)前提条件：P(A)＞0 (2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题． ①已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)； ②已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)． 课堂小结 思考：对于上面的事件A和B，如何计算P(B|A)？ 条件概率为P(B|A)＝ 可以对上述公式作如下变形: P(B|A)＝ = 注:⑴ ; ⑵几何解释: 利用条件概率性质的解题策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．　　　　 即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PAB,PA). $$