第25章 随机事件的概率（12类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第25章 随机事件的概率（题型清单） ( 01思维导图 ) ( 02 知识速记 ) 知识点01 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点02 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 知识点03 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点04 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝ （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点05 几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度。 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点06 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点07 模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． ( 03 题型归纳 ) 题型一　事件的分类 例题：（23-24九年级上·北京东城·期末）在下列事件中，随机事件是（   ） A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 巩固训练 1．（20-21九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是（  ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．确定事件 2．（22-23九年级上·广东·单元测试）下列事件是必然事件的是_____________． ①射击一次，中靶； ②100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； ③太阳从东方升起； ④一只不透明的袋子中有10个红球，从中任意摸出一个球是红球． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 题型二　判断事件发生的可能性的大小 例题：（2024·贵州贵阳·一模）元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（    ） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 巩固训练 1．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 2．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）盒子里有个红球，个黄球和个黑球，这些球除颜色外其它均相同．从中摸出一个球，摸出 球的可能性最大；至少从中摸出______个球，才能保证三种颜色的球都有________． 3．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 题型三　列举随机试验的所有可能结果 例题：（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）某省于2021年实行新高考“”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现种考试科目______组． 巩固训练 1．（2022·福建厦门·模拟预测）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 2．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有______种不同的情况． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 题型四　概率的意义理解 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都_________，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率_______．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（    ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是_____（填“对”或“错”）． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 题型五　判断几个事件概率的大小关系 例题：（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（19-20九年级上·江苏南京·期末）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（   ） A．朝上一面的数字恰好是6 B．朝上一面的数字是2的整数倍 C．朝上一面的数字是3的整数倍 D．朝上一面的数字不小于2 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 3．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么______．（填“>”、“<”或“=”） 题型六　关于频率与概率关系说法的正误 例题：（19-20七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（    ） A．事件发生的频率就是它发生的概率 B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率 C．事件发生的频率与它发生的概率无关 D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动 巩固训练 1．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 2．（21-22七年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 X 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 题型七　求某事件的频率 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是_____． 3．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为________． 题型八　由频率估计概率 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）某水果销售网络平台以元的成本价购进沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到）是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率________(精确到0.01) ． 题型九　用频率估计概率的综合应用 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1)______； ______． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为______． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 3．（23-24七年级下·广东梅州·期末）经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 题型十　简单概率的计算 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形．随机抽取一个，是真命题的概率为（   ） A． B． C． D．1 巩固训练 1．（2024·四川南充·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是________． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 题型十一　根据概率作判断 例题：（22-23七年级下·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 巩固训练 1．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 题型十二　已知概率求数量 例题：（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为_____颗． 巩固训练 1．（2024·甘肃武威·二模）在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是_____． 3．（24-25九年级上·江西宜春·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 题型十三　几何概率 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是(填序号) ①必然事件         ②不可能事件         ③随机事件 (2)摸到白球的概率的估计值是(精确到0.01)； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是(填序号)． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”． (4)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603 (1)完成上述表格，其中______，______； (2)请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______； (3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 题型十四　列举法求概率 例题：（2023·吉林长春·模拟预测）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ (2)补全调查结果条形统计图； (3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设，某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等． (1)若从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是； (2)若从中录用两人，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率． 题型十五　游戏的公平性 例题：（2024九年级下·上海·专题练习）有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 巩固训练 1．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）在一个不透明的袋中装有3个完全相同的乒乓球，上面分别标号为 2，3，5，从中随机摸出两个乒乓球，并用球上的数字组成一个两位数．小明和小颖做游戏，规则如下：若摸出的两个球上的数字之积为奇数，小明获胜；否则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 2．（2024·山东青岛·模拟预测）周末，小军与小凯出去游玩，小军选择海滨公园，小凯选择海上游乐场．为统一意见，他俩决定通过游戏选择游玩目的地．游戏方法是：把除了标号不同，其他完全相同的标有1、2、3、4、5、6数字的六张卡片分成两组，数字朝下扣在桌面上，两组标号分别为1、3、4和2、5、6．然后小军从任意一组抽取一张，小凯从另外一组中抽取一张，如果两张卡片数字之和能被3整除，按小军意见选择，如果两张卡片数字之和能被2整除，则按小凯意见选择．请用树状图或表格法分析这个游戏是否公平？说明理由． 3．（23-24九年级下·福建·期中）如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． (1)自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； (2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 随机事件的概率（题型清单） ( 01思维导图 ) ( 02 知识速记 ) 知识点01 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点02 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 知识点03 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点04 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝ （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点05 几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度。 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点06 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点07 模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． ( 03 题型归纳 ) 题型一　事件的分类 例题：（23-24九年级上·北京东城·期末）在下列事件中，随机事件是（   ） A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意， 故选：D． 巩固训练 1．（20-21九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是（  ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．确定事件 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：任意买一张电影票，座位号是2的倍数，此事件是随机事件， 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（22-23九年级上·广东·单元测试）下列事件是必然事件的是_____________． ①射击一次，中靶； ②100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； ③太阳从东方升起； ④一只不透明的袋子中有10个红球，从中任意摸出一个球是红球． 【答案】③④/④③ 【分析】根据必然事件与随机事件的定义，即可一一判定 【详解】解：①射击一次，中靶，属于随机事件； ②100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品，属于随机事件； ③太阳从东方升起，属于必然事件； ④一只不透明的袋子中有10个红球，从中任意摸出一个球是红球，属于必然事件． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了必然事件与随机事件的定义，熟练掌握和运用必然事件与随机事件的定义是解决本题的关键． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 【答案】必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦ 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【详解】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是必然事件； ②367人中至少有2人的生日相同，是必然事件； ③没有水分，种子也会发芽，是不可能事件； ④某运动员百米赛跑的成绩是，是不可能事件，； ⑤同种电荷相互排斥，是必然事件； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快，是必然事件； ⑦用长度分别为，，的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件； ∴必然事件：①②⑤⑥； 不可能事件：③④⑦． 【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型二　判断事件发生的可能性的大小 例题：（2024·贵州贵阳·一模）元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（    ） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了求可能性大小，掌握概率的概念是解题的关键． 根据题意判断可能性大小即可求解． 【详解】解：∵共有20个汤圆，其中豆沙馅的最多， ∴捞到可能性最大的汤圆是豆沙馅汤圆， 故选：C． 巩固训练 1．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率的概念，即事件发生的可能性与所有可能性的比值，根据不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同），则摸到三种球的概率相同，即可求解． 【详解】解：不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）， 摸到三种颜色球的可能性一样大， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）盒子里有个红球，个黄球和个黑球，这些球除颜色外其它均相同．从中摸出一个球，摸出 球的可能性最大；至少从中摸出______个球，才能保证三种颜色的球都有________． 【答案】 黑 【分析】本题考查了可能性的大小的计算，判断可能性是解题关键．根据黑色最多即可判断，假设先摸到黑色，再摸到黄色，可得至少次． 【详解】解：共个球， 其中个黑球，个红球，个黄球， ∵黑球最多， ∴摸出黑球可能性最大; 若先摸出个黑球， 再摸出个黄球， 再摸个黄球就能保证三种颜色的球都有， 所以至少摸出个球． 故答案为：黑；． 3．（22-23九年级上·河北保定·期末）箱子里有三个球，分别标有数1，2，3，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 【答案】偶数的可能性大，理由见解析 【分析】本题主要考查事件发生的可能性大小的判断，根据题意，列出所有可能性，然后比较奇数与偶数结果的大小即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：偶数的可能性大，理由如下， 记录两个数的所有可能为：， 则乘积是奇数的有4种，乘积是偶数的有5种， 则乘积是奇数的概率为，乘积是偶数的概率为， 所以乘积是偶数的可能性大． 题型三　列举随机试验的所有可能结果 例题：（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）某省于2021年实行新高考“”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现种考试科目______组． 【答案】12 【分析】本题主要考查可能性的大小即乘法原理，根据乘法原理得出结论是解题的关键．根据可能性大小或乘法原理得出结论即可． 【详解】解： “3”是指语文、数学、英语三门必考科目， 只有1种选择， “1”是指考生在物理和历史两门中必须选一科， 有物理和历史2种选择， “2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科， 有化学生物，化学思想政治，化学地理，生物思想政治，生物地理，思想政治地理6种选择， 新高考方案中最多出现（种考试科目组， 故答案为：12 巩固训练 1．（2022·福建厦门·模拟预测）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求得齿轮数的比值，比值等于1，则车速相等，进而即可求解． 【详解】解：∵主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24； ∴主动轴上可以有3个变速， ∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12， ∴后轴上可以有4个变速， ∵变速比为2，1.5，1，3的有两组， 又∵前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等， ∴共有3×4-4=8种变速， 故选：B． 【点评】本题考查了列举法求可能性，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数． 2．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有______种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点评】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点评】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 题型四　概率的意义理解 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都_________，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率_______．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【答案】 相等 【分析】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可． 【详解】解：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 故答案为：相等，． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（    ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小； 根据概率的意义找到正确选项即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是_____（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【答案】不能，概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率 【分析】此题考查了概率的概念，根据概率指在大数次试验中某事件出现的次数求解即可． 【详解】解：∵只抽了一张， ∴不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1． 理由是：概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率． 题型五　判断几个事件概率的大小关系 例题：（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）有三个事件，事件A：若a，b是实数，则；事件B：打开电视正在播广告；事件C：同时掷两枚质地均匀地标有数字1－6的骰子，向上一面的点数之和是为13，则这三个事件的概率，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的概率即可得． 【详解】解：事件是必然事件，则， 事件是随机事件，则， 事件是不可能事件，则， 因此有， 故选：D． 【点评】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件的概率，熟记各定义是解题关键． 巩固训练 1．（19-20九年级上·江苏南京·期末）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（   ） A．朝上一面的数字恰好是6 B．朝上一面的数字是2的整数倍 C．朝上一面的数字是3的整数倍 D．朝上一面的数字不小于2 【答案】D 【分析】根据概率公式，逐一求出各选项事件发生的概率，最后比较大小即可． 【详解】解：A． 朝上一面的数字恰好是6的概率为：1÷6=； B． 朝上一面的数字是2的整数倍可以是2、4、6，有3种可能，故概率为：3÷6=； C． 朝上一面的数字是3的整数倍可以是3、6，有2种可能，故概率为：2÷6=； D． 朝上一面的数字不小于2可以是2、3、4、5、6，有5种可能，，故概率为：5÷6= ∵＜＜＜ ∴D选项事件发生的概率最大 故选D． 【点评】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点评】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么______．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【详解】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点评】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 题型六　关于频率与概率关系说法的正误 例题：（19-20七年级下·辽宁阜新·期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（    ） A．事件发生的频率就是它发生的概率 B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率 C．事件发生的频率与它发生的概率无关 D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动 【答案】D 【分析】根据概率的定义，以及概率与频率的关系，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：事件发生的频率不一定是它发生的概率；故A错误； 在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率；故B错误； 事件发生的频率与它发生的概率是有关系的，故C错误； 随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动；故D正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握频率与概率的关系是解题关键． 巩固训练 1．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 【答案】C 【分析】根据由频率估计概率的意义逐项判断即可． 【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5， A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误； B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误； C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率，故C正确； D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误； 故选C． 【点评】本题考查由频率估计概率．掌握在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率是解题关键． 2．（21-22七年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点评】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 X 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点评】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 题型七　求某事件的频率 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是_____． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 3．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 题型八　由频率估计概率 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）某水果销售网络平台以元的成本价购进沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键．从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，据此解答． 【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右， 故选：C． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得，求出解即可． 【详解】设黄球的数量为x，根据题意得 解得． 经检验是方程的解且符合题意 ， 所以袋子中黄球有150． 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率________(精确到0.01) ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“点落入圆形区域内”的概率为， 故答案为：． 题型九　用频率估计概率的综合应用 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1)______； ______． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)；；(2)这个运动员投篮命中率的概率是；(3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是得到这张纸与圆的面积比；根据题干的数据计算出石子落在圆内的频数与落在纸上的频数的比值即可解答． 【详解】解：这张破纸面积大约为（）， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【答案】(1)0.9；(2)8100棵 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键． （1）由统计图即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9； （2）解：由题意得：（棵）， ∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗． 3．（23-24七年级下·广东梅州·期末）经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆；(2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为秒，秒，秒 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键. （1）用汽车总量乘以频率即可得出结果； （2）由频率估计概率，即可得出结果. 【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：(辆)， 汽车在此右转的车辆数为：(辆)， 汽车在此直行的车辆数为：(辆) 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆. （2）根据频率估计概率的知识，得 ∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为(秒)， 右转绿灯亮的时间为(秒)， 直行绿灯亮的时间为(秒). 题型十　简单概率的计算 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形．随机抽取一个，是真命题的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，概率公式等知识．首先判断各个命题是真假，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； ②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④在△ABC中，若，∵， ∴， ∴， ∴△ABC不是直角三角形，原命题是假命题． 随机抽取一个，是真命题的概率是， 故选：B． 巩固训练 1．（2024·四川南充·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有6种等可能的结果， 则恰好抽取到《大学》的概率， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．先确定无理数的个数，再除以总个数． 【详解】解：，0，3中，是无理数， 则这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 【答案】(1)甲摸到“石头”的概率为；(2)乙获胜的概率为 【分析】本题考查了简单的概率计算； （1）共有10张卡片，其中2张上写有“石头”，直接利用概率公式求解即可； （2）若甲先摸出“石头”，则还剩下9张卡片，乙需要摸到“布”，据此根据概率公式求解即可． 【详解】（1）甲摸到“石头”的概率为 （2）因为甲先摸到了“石头”，又要乙获胜，所以乙必须摸到“布”，所以乙获胜的概率为 题型十一　根据概率作判断 例题：（22-23七年级下·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点评】本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 巩固训练 1．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【答案】C 【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【点评】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下： 公交车 用时/分 A线路 59 151 166 124 B线路 43 57 149 251 (1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？ (2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？ 【答案】(1)；(2)选择A线路 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个）， ∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为； （2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个）， 又∵， ∴选择A线路． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【答案】(1)12个；(2)红；(3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【分析】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 题型十二　已知概率求数量 例题：（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为_____颗． 【答案】35 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 巩固训练 1．（2024·甘肃武威·二模）在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．先根据图得到黄球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式表示出，求解即可． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在附近 解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 2．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是_____． 【答案】12 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西宜春·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件，0；(2)5个白球． 【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键． （1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率． （2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球， 所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件， 所以它发生的概率是0． （2）设取走了x个白球． 由题意，得， 解得． 故取走了5个白球． 题型十三　几何概率 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是(填序号) ①必然事件         ②不可能事件         ③随机事件 (2)摸到白球的概率的估计值是(精确到0.01)； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是(填序号)． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”． (4)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为． 【答案】(1)②；(2)0.25；(3)②；(4)65 【分析】本题主要考查用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键． （1）根据事件的分类可得答案； （2）用频率估计概率可得答案； （3）分别求出试验①②③的概率可得答案； （4）用正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率即可． 【详解】（1）解：小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件， 故答案为：②； （2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249， 因此摸到白球的概率的估计值是0.25，故答案为：0.25； （3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为． ②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为． ③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为． 因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②， 故答案为：②； （4）解：， 估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，故答案为：65． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，整式的混合运算，解题关键是求得房屋的总面积．分别表示出房屋总面积以及卧室和客厅的面积和，相除即可求得概率． 【详解】解：由图形可知，房屋总面积为：， 卧室和客厅的面积和为：， 他停留在卧室或客厅的概率是． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603 (1)完成上述表格，其中______，______； (2)请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______； (3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.605；472；(2)0.6；0.6；(3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛奶”的概率约是0.6； （3）可根据获得“面粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“面粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）；， 故答案为：0.605；472； （2）估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6， 故答案为：0.6；0.6； （3）， 所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是． 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1)；(2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【详解】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 题型十四　列举法求概率 例题：（2023·吉林长春·模拟预测）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 【答案】(1)；(2)，树状图见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个社团，每个社团被抽取的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数有6种， ∴小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率为． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ (2)补全调查结果条形统计图； (3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)50，；(2)见详解；(3) 【分析】（1）用“街舞”的人数除以占比得到总人数；用“厨艺”的人数除以总人数再乘以即可求解； （2）先求出选择陶艺的人数，然后即可补全条形统计图． （3）用列表法求得概率即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 共有50名学生参与了本次问卷调查． ， “厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是． （2）选择陶艺的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： （3）列表如下： 厨艺 绘画 陶艺 街舞 厨艺 (厨艺， 厨艺) (绘画， 厨艺) (陶艺， 厨艺) (街舞， 厨艺) 绘画 (厨艺， 绘画) (绘画， 绘画) (陶艺， 绘画) (街舞， 绘画) 陶艺 (厨艺， 陶艺) (绘画， 陶艺) (陶艺， 陶艺) (街舞， 陶艺) 街舞 (厨艺， 街舞) (绘画， 街舞) (陶艺， 街舞) (街舞， 街舞) 一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种， ∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有： 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 【答案】(1)；(2)； 【分析】本题考查列举法求概率，以及利用树状图法求概率，解题的关键在于根据题意得出比赛情况． （1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； （2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： 由图知，总的情况有种，其中甲得1分的情况有种， “第一轮比赛后，甲得1分”的概率为． （2）解：根据题意可得两轮比赛情况（甲，乙）如下： 第一轮 第二轮 由上可知，总的情况有种，其中乙得2分的情况有种， “两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设，某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等． (1)若从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是； (2)若从中录用两人，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率． 【答案】(1)；(2)树状图见解析； 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4人，每个人被录取的概率相同，且思政专业毕业生有2人， ∴从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是， 故答案为：； （2）解：设思政专业的研究生为A，思政专业的本科生为，历史专业的研究生为B，历史专业的本科生为， 画树状图如图： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的结果有2种， ∴恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率为． 题型十五　游戏的公平性 例题：（2024九年级下·上海·专题练习）有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【答案】(1)；(2)不公平，新的游戏规则见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【详解】（1）解：列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜． 巩固训练 1．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）在一个不透明的袋中装有3个完全相同的乒乓球，上面分别标号为 2，3，5，从中随机摸出两个乒乓球，并用球上的数字组成一个两位数．小明和小颖做游戏，规则如下：若摸出的两个球上的数字之积为奇数，小明获胜；否则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】此题考查的是列表或树状图法求概率． 首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与组成的两位数是奇数或偶数的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下． 第2个球 第1个球 2 3 5 2 6 10 3 6 15 5 10 15 共有6种等可能的结果，其中积为奇数的有2种，积为偶数的有4种， ∴P(小明胜) ，P(小颖胜) ． ∴这个游戏对双方不公平． 2．（2024·山东青岛·模拟预测）周末，小军与小凯出去游玩，小军选择海滨公园，小凯选择海上游乐场．为统一意见，他俩决定通过游戏选择游玩目的地．游戏方法是：把除了标号不同，其他完全相同的标有1、2、3、4、5、6数字的六张卡片分成两组，数字朝下扣在桌面上，两组标号分别为1、3、4和2、5、6．然后小军从任意一组抽取一张，小凯从另外一组中抽取一张，如果两张卡片数字之和能被3整除，按小军意见选择，如果两张卡片数字之和能被2整除，则按小凯意见选择．请用树状图或表格法分析这个游戏是否公平？说明理由． 【答案】游戏不公平 【分析】本题考查是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：列树状图为： 由树状图可得共有种等可能结果，和能被整除的有种，能被整除的有8种， 选择小军意见的概率为，选择小凯意见的概率为， ∵， ∴ 游戏不公平． 3．（23-24九年级下·福建·期中）如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． (1)自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； (2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可； （2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁都公平，根据无论如何涂色都是有种等可能的结果，不可能出现种结果，所以不可能使这个游戏对双方都公平． 【详解】（1）解：自由转动转盘一次，指针指向白色的可能为次，红色的可能为次， ∴转盘停止后指针指向白色的概率， （2）解：如表： 由上表可知，共有种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有种， ∴甲获胜的概率为， ∵颜色不同的结果共有种， ∴乙获胜的概率为， ∴这个游戏规则对乙更有利， 没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有种等可能的结果，若使游戏对双方都公平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为或种，而不可能出现种结果， ∴不可能使这个游戏对双方都公平． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$