专题03 轴对称（6大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题03 轴对称 轴对称图形 1．（2023秋•红花岗区期中）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（　　） A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠ 2．（2023秋•钟山区期中）下列四个汉字中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•绥阳县期中）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•花溪区期中）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 轴对称变换作图 1．（2023秋•绥阳县期中）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC 关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标； （2）求出△ABC 的面积． 2．（2023秋•红花岗区期中）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（3，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标； （2）在x轴上有一点P，使得PB+PC的和最小，画出点P的位置．（用实线保留画图的痕迹） 3．（2023春•六盘水期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等． 4．（2023秋•绥阳县期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1； （2）写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在x轴上求作一点P，使PA+PB1最短．（不写作法，写出结论） 线段的垂直平分线 1．（2024春•清镇市期中）如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm，则PA的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 2．（2024春•南明区校级期中）如图，AB的中垂线为CP交AB于点P，且AC＝2CP．甲、乙两人想在AB上取D、E两点，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：甲作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求；乙作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（　　） A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．（2023秋•印江县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长等于（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 4．（2023春•水城区期中）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　） A．50° B．80° C．90° D．100° 5．（2023春•水城区期中）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　 　°． 6．（2023春•六盘水期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为18cm，AC＝8cm，求DC长． 求关于坐标轴对称的点的坐标 1．（2023秋•绥阳县期中）在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2） 2．（2023秋•织金县校级期中）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m、n的值分别为（　　） A．3，2 B．﹣3，2 C．2，3 D．3，﹣2 3．（2023秋•绥阳县期中）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 　 　． 4．（2023秋•云岩区校级期中）在社团剪纸活动中，小罗同学将剪好的窗花放在适当的平面直角坐标系内，点A（3，n）与点B（m，2）恰好关于x轴对称，则mn的值为 　 　． 5．（2023春•绥阳县期中）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 　　． 6．（2023秋•七星关区校级期中）已知点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，求（a+b）2023的值． 等腰（等边）三角形的性质 1．（2024春•清镇市期中）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 2．（2023秋•印江县期中）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　） 第2题 第3题 A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° 3．（2023秋•绥阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线，若∠FCE＝52°，则∠A的度数为（　　） A．38° B．34° C．32° D．28° 4．（2023春•碧江区 校级期中）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 5．（2024春•清镇市期中）已知一个等腰三角形两边分别为4cm和9cm，则腰长是 　 　cm． 6．（2023春•水城区期中）若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（　　） A．11cm B．11cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对 7．（2023秋•绥阳县期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 8．（2023春•铜仁市期中）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．（2023春•碧江区 校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数． 10．（2023春•铜仁市期中）如图，等边三角形△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE＝BC，作DF⊥BE于F． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝10，求CE． 含30°的直角三角形 1．（2023春•七星关区期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2．（2023春•水城区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（　　） A．1 B．2 C． D． 3．（2023春•云岩区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4．（2023春•贵阳期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，Rt△ABC中，∠B＝60°，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2023春•贵阳期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 等腰（等边）三角形的判定与性质 1．（2023秋•钟山区期中）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝8，点O为线段BD上的中点，以点O为圆心，线段OB的长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（　　） A．3 B．4 C．4 D．4 2．（2023春•铜仁市期中）如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB＝12，AC＝10，则△ADE的周长为 　 　． 3．（2023秋•印江县期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 4．（2023春•绥阳县期中）已知：在锐角△ABC中，AB＝AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，连接CE． （1）求证：∠ABE＝∠DAC； （2）若∠BAC＝60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠BAC＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 5．（2023春•七星关区期中）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 垂直平分线（角平分线）的基本作图 1．（2023春•铜仁市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（　　） A．6 B．6 C．9 D．3 2．（2023秋•贵阳期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023春•六盘水期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝3，AB＝9，则△ACD的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 4．（2024春•清镇市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积等于 　 　cm2． 5．（2023秋•绥阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求∠DBC的度数． 6．（2023秋•红花岗区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高． （1）求作：∠B的平分线交AD于点E，交AC于点F．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）当∠ABC＝50°时，求∠AEF的度数． 轴对称性质的应用 1．（2023秋•红花岗区期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A＝55°，则∠1+∠2＝（　　） A．75° B．110° C．105° D．125° 2．（2023秋•云岩区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（2，5），则经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5） 轴对称—最短路径问题 1．（2023秋•从江县校级期中）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（　　） 第1题 第2题 A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α 2．（2023春•六盘水期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　． 3．（2023秋•范县期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB． （1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 　 度． （2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 轴对称图形 1．（2023秋•红花岗区期中）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（　　） A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠ 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案． 【解答】解：四个数学符号中，是轴对称图形的是：⊥， 故选：A． 2．（2023秋•钟山区期中）下列四个汉字中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 3．（2023春•绥阳县期中）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 4．（2023秋•花溪区期中）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 轴对称变换作图 1．（2023秋•绥阳县期中）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC 关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标； （2）求出△ABC 的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． 点A′的坐标为（2，2）． （2）△ABC的面积为＝2． 2．（2023秋•红花岗区期中）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（3，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标； （2）在x轴上有一点P，使得PB+PC的和最小，画出点P的位置．（用实线保留画图的痕迹） 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． C1的坐标为（﹣3，2）． （2）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，连接BP， 此时PB+PC＝PB'+PC＝CB'，为最小值， 则点P即为所求． 3．（2023春•六盘水期中）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作． （3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作． （2）如图，点P即为所求作． （3）如图，点Q即为所求作． 4．（2023秋•绥阳县期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1； （2）写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在x轴上求作一点P，使PA+PB1最短．（不写作法，写出结论） 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据点的位置写出坐标即可． （3）作点B1关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，连接B1P，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）A1（﹣2，4）、B1（﹣1，1）、C1（﹣3，2）． （3）如图，点P即为所求． 线段的垂直平分线 1．（2024春•清镇市期中）如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm，则PA的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵P为线段AB的垂直平分线上一点，PB＝3cm， ∴PA＝PB＝3cm， 故选：D． 2．（2024春•南明区校级期中）如图，AB的中垂线为CP交AB于点P，且AC＝2CP．甲、乙两人想在AB上取D、E两点，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：甲作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求；乙作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（　　） A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【分析】求出∠A＝30°，∠ACP＝60°，求出∠ACD＝30°＝∠A，即可推出AD＝CD，同理BE＝CE，即可判断甲，根据线段垂直平定县性质得出AD＝CD，BE＝CE，即可判断乙． 【解答】 解：甲、乙都正确， 理由是：∵CP是线段AB的垂直平分线， ∴BC＝AC，∠APC＝∠BPC＝90°， ∵AC＝2CP， ∴∠A＝30°， ∴∠ACP＝60°， ∵CD平分∠ACP， ∴∠ACD＝∠ACP＝30°， ∴∠ACD＝∠A， ∴AD＝DC， 同理CE＝BE， 即D、E为所求； ∵D在AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， 同理CE＝BE， 即D、E为所求， 故选：A． 3．（2023秋•印江县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长等于（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC＝AB＝5cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，故AP+PC＝AC，由此即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AB＝5cm， ∴AC＝5cm， ∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴BP+PC＝AC， ∴△PBC的周长＝（BP+PC）+BC＝AC+BC＝5+3＝8cm． 故选：C． 4．（2023春•水城区期中）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　） A．50° B．80° C．90° D．100° 【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论． 【解答】解：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝40°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°； 故选：B． 5．（2023春•水城区期中）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　160　°． 【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接OA、OB， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵O是AB，AC垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA+∠OCA＝80°， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝10°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°， 故答案为：160°． 6．（2023春•六盘水期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为18cm，AC＝8cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝18cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为18cm， ∴AB+BC+AC＝18（cm）， ∵AC＝8cm， ∴AB+BC＝10（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝5（cm）． 求关于坐标轴对称的点的坐标 1．（2023秋•绥阳县期中）在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2） 【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【解答】解：∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8）， ∴点B的坐标是：（﹣2，﹣8）． 故选：A． 2．（2023秋•织金县校级期中）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m、n的值分别为（　　） A．3，2 B．﹣3，2 C．2，3 D．3，﹣2 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称， ∴m＝3，n＝﹣2． 故选：D． 3．（2023秋•绥阳县期中）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 　﹣1　． 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后相加计算即可得解． 【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣4，b＝3， ∴a+b＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．（2023秋•云岩区校级期中）在社团剪纸活动中，小罗同学将剪好的窗花放在适当的平面直角坐标系内，点A（3，n）与点B（m，2）恰好关于x轴对称，则mn的值为 　　． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得n、m的值，进而可得mn的值． 【解答】解：∵点A（3，n）与点B（m，2）关于x轴对称， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴mn＝3﹣2＝， 故答案为：． 5．（2023春•绥阳县期中）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜　． 【分析】点P（a+1，a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，a﹣3）在第四象限，符号为（+，﹣）． 【解答】解：依题意得p点在第四象限， ∴， 解得：﹣1＜a＜． 故答案为：﹣1＜a＜． 6．（2023秋•七星关区校级期中）已知点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，求（a+b）2023的值． 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a，b的值，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案． 【解答】解：∵点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， 则（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 等腰（等边）三角形的性质 1．（2024春•清镇市期中）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°； 当50°是底角时亦可． 故选：C． 2．（2023秋•印江县期中）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　） A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° 【分析】由AC＝CD，根据等边对等角，得∠A＝∠CDA，由∠A的度数得到∠CDA的度数；由CD＝BD，根据等边对等角，得∠B＝∠DCB，由∠CDA＝∠B+∠DCB得到∠B的度数；由BD＝BE，根据等边对等角，得∠BDE＝∠BED，由∠B＝25°得到∠BDE的度数，再根据∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB得到答案． 【解答】解：∵AC＝CD＝BD＝BE， ∴△ACD、△BCD、△BDE是3个等腰三角形， 又∵∠A＝50°， ∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED． ∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°， ∴∠B＝25°． ∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°， ∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°． 故选：D． 3．（2023秋•绥阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线，若∠FCE＝52°，则∠A的度数为（　　） A．38° B．34° C．32° D．28° 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出∠ECD，再求出∠ACB即可解决问题． 【解答】解：∵CE＝CD，FE＝FD， ∴∠ECF＝∠DCF＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣104°＝76°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝76°， ∴∠A＝180°﹣152°＝28°， 故选：D． 4．（2023春•碧江区 校级期中）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解． 【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣4＝0， 解得a＝2，b＝4， ①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2， ∵4、4、2能组成三角形， ∴三角形的周长为10， ②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2， 不能组成三角形， 综上所述，三角形的周长为10． 故选：C． 5．（2024春•清镇市期中）已知一个等腰三角形两边分别为4cm和9cm，则腰长是 　9　cm． 【分析】分4cm是等腰三角形的底边长和9cm是底边长两种情况讨论即可． 【解答】解：当4cm是等腰三角形的底边长时，腰长为9cm，9cm，符合题意； 当9cm是等腰三角形的底边长时，腰长为4cm，4cm，4+4＜9，不能构成三角形，不符合题意． 故答案为：9． 6．（2023春•水城区期中）若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（　　） A．11cm B．11cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵11cm是底边， ∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm， 故选：C． 7．（2023秋•绥阳县期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 【分析】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论． 【解答】解：根据题意， ①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10， 所以底边长＝12﹣×10＝7； ②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC＝12，解得AC＝8， 所以底边长＝15﹣×8＝11． 所以底边长等于7或11． 故选：B． 8．（2023春•铜仁市期中）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】过点E作EJ∥CD．利用等边三角形的性质以及平行线的性质求解即可． 【解答】解：过点E作EJ∥CD． ∵△ACE是等边三角形， ∴∠AEC＝60°， ∵AB∥CD，EJ∥CD， ∴AB∥EJ， ∴∠AEJ＝∠BAE＝20°， ∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°， ∴∠DCE＝∠CEJ＝40°， 故选：B． 9．（2023春•碧江区 校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝50°， ∴∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵∠BAD＝55°， ∴∠DAE＝25°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°． 10．（2023春•铜仁市期中）如图，等边三角形△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE＝BC，作DF⊥BE于F． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝10，求CE． 【分析】（1）先依据等腰三角形三线合一的性质可得到DC＝AC＝BC，从而可求得DC＝CE，从而可求得∠E的度数，然后依据∠DBE＝∠E，最后，在依据等腰三角形三线合一的性质进行证明即可； （2）依据等腰三角形的三线合一的性质可求得DC的长，然后依据CE＝DC其解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴DC＝BC． 又∵CE＝BC， ∴DC＝CE． ∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°， ∴∠E＝30°， ∵DA＝DC， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴DB＝DE； ∵DF⊥BC， ∴BF＝EF． （2））∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝10． ∵CE＝BC， ∴CE＝DC＝5． 含30°的直角三角形 1．（2023春•七星关区期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意BC＝3米， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×3＝6（米）， ∴3+6＝9（米）． 故选：B． 2．（2023春•水城区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝AB＝1． 故选：A． 3．（2023春•云岩区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】先求出∠A＝∠BCD＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【解答】解：∵CD是△ABC的高，∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝2BD＝2×1＝2， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∴AB＝2BC＝2×2＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3， 故选：B． 4．（2023春•贵阳期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过P作PC⊥ON，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【解答】解：过P作PC⊥ON， ∵∠AOB＝60°，PC⊥ON， ∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°， ∵OP＝12， ∴OC＝OP＝6， ∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2， ∴MC＝MN＝1， ∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5， 故选：C． 5．如图，Rt△ABC中，∠B＝60°，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据直角三角形的性质求出∠BAD＝30°，再根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD＝4， 故选：A． 6．（2023春•贵阳期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，则可得出答案； （2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝30°； （2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°， ∴∠F＝∠FEC＝30°， ∴CE＝CF． ∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∴CE＝DC＝2． ∴CF＝2． ∴DF＝DC+CF＝2+2＝4． 等腰（等边）三角形的判定与性质 1．（2023秋•钟山区期中）如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝8，点O为线段BD上的中点，以点O为圆心，线段OB的长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（　　） A．3 B．4 C．4 D．4 【分析】根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE的长． 【解答】解：连接OE， 由已知可得，OE＝OB＝BD＝4， ∵∠ABC＝60°， ∴△BOE是等边三角形， ∴BE＝OB＝4， 故选：B． 2．（2023春•铜仁市期中）如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB＝12，AC＝10，则△ADE的周长为 　22　． 【分析】由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，易证得△DBM与△ECM是等腰三角形，继而可得△ADE的周长等于AB+AC． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DMB＝∠MBC，∠EMC＝∠MCB， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M， ∴∠DBM＝∠MBC，∠ECM＝∠MCB， ∴∠DBM＝∠DMB，∠ECM＝∠EMC， ∴DM＝DB，EM＝EC， ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DM+EM+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝12+10＝22． 故答案为：22． 3．（2023秋•印江县期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确． ④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确； ②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确． ③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误； ⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 4．（2023春•绥阳县期中）已知：在锐角△ABC中，AB＝AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，连接CE． （1）求证：∠ABE＝∠DAC； （2）若∠BAC＝60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠BAC＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）根据外角的性质，推出∠BED＝∠ABE+∠BAE，由∠BAC＝∠BAE+∠DAC，根据∠BED＝∠BAC进行等量代换即可； （2）在AD上截取AF＝BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED＝∠BAC，结合（1）所推出的结论，求证△ACF≌△BAE，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出∠CFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA＝∠BED，由CG∥BE，可得∠CGF＝∠BED，BD：CD＝BE：CG，继而推出∠CFG＝∠CGF，即CG＝CF，通过等量代换可得BE＝AF＝2CF，把比例式中的BE、CG用2CF、CF代换、整理后即可推出BD＝2DC，总上所述BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关； （3）根据（2）所推出的结论即可推出若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE+∠BAE＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BAE+∠DAC， ∴∠DAC＝∠ABE； （2）解：在AD上截取AF＝BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED＝∠BAC， ∵∠FAC＝∠EBA， ∴在△ACF和△BAE中， ， ∴△ACF≌△BAE（SAS）， ∴CF＝AE，∠ACF＝∠BAE，∠AFC＝∠AEB． ∵∠AFC＝∠BEA ∴180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA ∴∠CFG＝∠BEF， ∴∠CFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA＝∠BED， ∵CG∥BE， ∴∠CGF＝∠BED， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CG＝CF， ∵∠BED＝2∠DEC， ∵∠CFG＝∠DEC+∠ECF，∠CFG＝∠BED， ∴∠ECF＝∠DEC， ∴CF＝EF， ∴BE＝AF＝2CF， ∵CG∥BE， ∴BD：CD＝BE：CG， ∴BD：CD＝2CF：CF＝2， ∴BD＝2DC， ∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关； （3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关， ∴若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立． 5．（2023春•七星关区期中）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题． （2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题． 【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 垂直平分线（角平分线）的基本作图 1．（2023春•铜仁市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（　　） A．6 B．6 C．9 D．3 【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，所以∠DAB＝∠B＝30°，再计算出∠CAD＝30°，接着利用含30度角直角三角形三边的关系求AD，从而得到BD的长，然后计算BD+CD即可． 【解答】解：由作法得DE垂直平分AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝30°， 在Rt△ACD中，AD＝2CD＝6， ∴BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝6+3＝9． 故选：C． 2．（2023秋•贵阳期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长． 【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线． ∴∠ADG＝∠CDG， ∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠CGD， ∴∠CDG＝∠CGD， ∴CG＝CD＝3， ∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2． 故选：A． 3．（2023春•六盘水期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝3，AB＝9，则△ACD的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【分析】证明DB＝DC，推出△ADC的周长＝AC+AB，可得结论． 【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段BC， ∴DB＝DC， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AC＝AC+DB+AD＝AC+AB＝3+9＝12． 故选：A． 4．（2024春•清镇市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积等于 　15　cm2． 【分析】由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线．过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD＝DE＝3cm，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴CD＝DE＝3cm， ∴△ABD的面积等于＝＝15（cm2）． 故答案为：15． 5．（2023秋•绥阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）分别求出∠ABD＝36°，∠ABC＝72°可得结论． 【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求． （2）∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠DBA＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°． 6．（2023秋•红花岗区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高． （1）求作：∠B的平分线交AD于点E，交AC于点F．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）当∠ABC＝50°时，求∠AEF的度数． 【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可； （2）先根据高的定义和角平分线的定义得到∠ADB＝90°，∠CBF＝25°，再根据三角形内角和计算出∠BED，然后根据对顶角相等得到∠AEF的度数． 【解答】解：（1）如图，BF为所作； （2）∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠ABC＝×50°＝25°， ∴∠BED＝90°﹣∠DBE＝90°﹣25°＝65°， ∴∠AEF＝∠BED＝65°． 轴对称性质的应用 1．（2023秋•红花岗区期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A＝55°，则∠1+∠2＝（　　） A．75° B．110° C．105° D．125° 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠A＝55°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣55°＝125°， ∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED， ∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）＝360°﹣2×125°＝110°． 故选：B． 2．（2023秋•云岩区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（2，5），则经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（﹣2，5） D．（2，5） 【分析】观察轴对称变换可得每4次变换是一个周期，2023除以4可得变换后点A对应的坐标． 【解答】解：观察轴对称变换可得，△ABC经过四次轴对称变换回到原始位置， ∵点A坐标是（2，5）， ∴第一次变换：点A的坐标为（﹣2，5）， 第二次变换：点A的坐标为（﹣2，﹣5）， 第三次变换：点A的坐标为（2，﹣5）， 第四次变换：点A的坐标为（2，5）， ∵2023÷4＝505……3， ∴第2023次变换后△ABC在第四象限， ∴点A的坐标为（2，﹣5）， 故选：A． 轴对称—最短路径问题 1．（2023秋•从江县校级期中）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（　　） A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长的最小值＝P1P2， 由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α， 故选：D． 2．（2023春•六盘水期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　9.6　． 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分BC， ∴BP＝CP． 过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示． ∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ， ∴BQ＝＝＝9.6． 故答案为：9.6． 3．（2023秋•范县期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB． （1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 　50　度． （2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解； ②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝70°， ∴∠A＝40°， ∵AB的垂直平分线交AB于点N， ∴∠ANM＝90°， ∴∠NMA＝50°， 故答案为：50； （2）①∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC， ∵AB＝8，△MBC的周长是14， ∴BC＝14﹣8＝6； ②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小， 理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC， ∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小， ∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$