专题09 对数函数（2大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题09 对数函数 对数函数的概念 1．（23-24高一上·广西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函数 的定义域为（    ） A．或 B． C． D．且 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知为上的偶函数，当时，，则 ． 5．（23-24高一上·广东·期中）如图，对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式的解集中恰有1个整数解，求的取值范围． 对数函数的图象和性质 1．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）如图，对数函数图象上的点A与x轴上的点，C构成以BC为斜边的等腰直角三角形，若右侧的相似三角形的顶点E在函数上，顶点C，D在x轴上，且两三角形的相似比为2，则该对数函数的解析式为 ．，    7．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 8．（23-24高一上·河北保定·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . ①的定义域为；②函数在上是单调递减的对数函数. 9．（23-24高一上·山东淄博·期中）若为奇函数，则的单调递减区间是 . 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象恒过定点，其中且． (1)求实数的值，并研究函数的奇偶性； (2)函数，关于x的方程恰有唯一解，求实数的范围． 11．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 12．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足如下条件： ①； ②； ③当时，． (1)求，判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 反函数及其性质应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数与函数互为反函数， . 2．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数的反函数为，若，则 . 对数（型）函数单调性的应用 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）如果表示不超过的最大整数.若，则为（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数的图象过点，若函数区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北保定·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）解不等式：. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 对数函数 对数函数的概念 1．（23-24高一上·广西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，有，解得， 故的定义域为. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义域要求，即. 故选：B． 3．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函数 的定义域为（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】A 【详解】由题知，解得或， 即函数的定义域为{或}. 故选：A. 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知为上的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为为上的偶函数，当时，， 则. 故答案为：. 5．（23-24高一上·广东·期中）如图，对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式的解集中恰有1个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据图象及条件可知，所以． 设（且），则，解得， 所以． （2）不等式即． 因为的定义域为， 所以关于的不等式的解集中只有1个整数元素1， 所以，即的取值范围为． 对数函数的图象和性质 1．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在函数且中，令，得， 因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 2．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象过点，得，而且，解得， 函数定义域为，显然是偶函数， 当时，在上单调递增，选项BCD不符合，A符合. 故选：A 3．（23-24高一上·广西·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或．即函数的定义域为； 令，得，因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以根据复合函数同增异减的性质可得的单调递增区间为． 故选：D 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 5．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，函数恒过定点， 可得，解得，，所以． 故答案为： 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）如图，对数函数图象上的点A与x轴上的点，C构成以BC为斜边的等腰直角三角形，若右侧的相似三角形的顶点E在函数上，顶点C，D在x轴上，且两三角形的相似比为2，则该对数函数的解析式为 ．，    【答案】 【详解】设，，， 则. 因为与的相似比为2， 所以有，所以有. 又，所以有， 所以有. 所以有， 整理可得，， 解得（舍去）或. 又为等腰直角三角形， 所以有. 由可得，， 所以有，解得（舍去负值）， 所以，. 故答案为：. 7．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由得，解得：或， 故函数的定义域是； 令， 则是减函数. 根据复合函数“同增异减”的原则，求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间， 因为的单调递增区间为， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·河北保定·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . ①的定义域为；②函数在上是单调递减的对数函数. 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【详解】因为函数在上是单调递减的对数函数， 注意到，所以可设， 此时， 因为函数在上单调递减，所以，则， 所以满足这两个条件. 故答案为：（答案不唯一，形如均可）. 9．（23-24高一上·山东淄博·期中）若为奇函数，则的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】由为奇函数，则，解得， 当时，， 则，满足题意. 当时，，由解得或， 令， 当时，单调递减，单调递增， 则单调递减； 当时，单调递增， 单调递增，则单调递增； 则的单调递减区间是. 故答案为：. 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象恒过定点，其中且． (1)求实数的值，并研究函数的奇偶性； (2)函数，关于x的方程恰有唯一解，求实数的范围． 【答案】(1)，函数为奇函数； (2)或. 【详解】（1）因为函数的图象恒过定点， 所以，则，得， 所以， 所以， 由，得，即的定义域为，关于原点对称， 令， 因为， 所以为奇函数，即函数为奇函数； （2）由，得， 所以， 由，得，解得， 由，得， 整理得， 得，解得或， 因为关于x的方程恰有唯一解， 所以或， 解得或， 综上，或. 11．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1． （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6， 所以，即，且， 解得，即， 故实数的取值范围为． 12．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足如下条件： ①； ②； ③当时，． (1)求，判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，函数在上为增函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：令，，可得． 函数在上为增函数， 证明如下： 设，因为， 令，，则，可得， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （2）解：由条件有， 则不等式可化为， 即， 又由，所以， 因为函数在上为增函数，可得 即（*）对于任意成立， 根据对数函数的性质，可得，对于任意成立， 则，因为，则，所以， 可得，所以 ①， 又由（*）式可化为， 即对于任意，成立，即成立， 即对于任意，成立， 因为，所以对于任意成立， 即对于任意成立，所以 ②． 由①②，可得，所以实数的取值范围为． 反函数及其性质应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数与函数互为反函数， . 【答案】 【详解】根据对数函数与指数函数的关系得：函数的反函数为， 即函数，所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数的反函数为，若，则 . 【答案】/ 【详解】根据反函数的性质以及， 可得，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 对数（型）函数单调性的应用 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）如果表示不超过的最大整数.若，则为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上单调递增， 则， ， ， ， ， ， ， ， 因为表示不超过的最大整数，所以， ， ， ， ， ， ， ， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数的图象过点，若函数区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象过点， 所以，解得， 所以. 所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减且大于零恒成立， 则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高一上·四川·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增． 令，解得或（舍去），则． 画出的大致图象，则由不等式，得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（23-24高一上·河北保定·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上是增函数， 为增函数， 在上单调递增， 且, 解得. 故选：B. 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价， 又函数在上单调递减，所以，所以或， 所以或，即满足的的取值范围是. 故选：D 6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由知，函数单调递增， 由函数（，且）在区间上单调递增， 则单调递增且， 所以，解得， 故选：C 7．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1） 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即 . 函数在上单调递增. （2）由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， 为单调递增函数， ， ， 解得 . 实数a的取值范围 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）解不等式：. 【答案】 【详解】由可得 因为在上单调递增， 可知，解得， 故不等式的解集为. 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