专题08 对数运算（3大基础题+提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题08 对数运算 对数的概念 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·北京东城·期中）指数式与对数式互化. （1） （2） . 6．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则 ． 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 对数的运算 1．（23-24高一上·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则（    ） A． B． C．0 D．4 4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 8．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 11．（23-24高一上·上海闵行·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：，其中星等为的星亮度为，已知太阳的星等是，某天体的亮度是太阳的倍，则此天体的星等约为 ．（精确到） 12．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 13．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）求的值. 15．（23-24高一上·江苏连云港·期中）求的值． 换底公式 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）（多选）以下计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： . 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 7．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）计算： . 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 10．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数，，求证:. 对数的运算性质的应用 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．已知，则的位数是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 2．（23-24高一上·重庆·期中）若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，，.则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知互不相同的实数，满足，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）任何正实数N可以表示成，此时，则在小数点后第（   ）位开始出现非零数字？（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法；若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如表），则可以估计的最高位的数值为（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A．1 B．3 C．6 D．9 8．（23-24高一上·四川·期中）（多选）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（    ） A．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6 B．若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1 C．若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性 D．若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设都是正数，且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中） ． 11．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知对数函数且，则 . 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 .（用表示） ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 对数运算 对数的概念 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由得，即，又且，所以， 故选：C． 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化为对数式为， 故选：B． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 又，所以， 从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为. 故选：B. 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】要使有意义， 须，即，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京东城·期中）指数式与对数式互化. （1） （2） . 【答案】 【详解】（1）由可得：；由可得. 故答案为：； 6．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 对数的运算 1．（23-24高一上·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，即． 故先：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，由于，而0和负数没有对数，则无意义，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：B 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以 . . 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确. 故选：A. 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以，即的估算值为. 故选：C 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】C 【详解】与互为相反数，则，即，. 故选：C. 8．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据对数求值和指对数互化判断真假即可. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误， 故选：AB. 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 【答案】 【详解】 . 故答案为： 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】100 【详解】，故，解得. 故答案为：100 11．（23-24高一上·上海闵行·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：，其中星等为的星亮度为，已知太阳的星等是，某天体的亮度是太阳的倍，则此天体的星等约为 ．（精确到） 【答案】 【详解】设太阳的星等为，此天体的星为， 则， 所以， 解得， 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】因为， 且， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 13．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 【答案】 【详解】因为，则，即，所以，且， 则. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）求的值. 【答案】 【详解】 . 15．（23-24高一上·江苏连云港·期中）求的值． 【答案】 【详解】原式. 换底公式 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得，， 联立方程组，解得 则. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，所以选项D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）（多选）以下计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：， 正确； 故选：BCD 4．（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： . 【答案】1 【详解】解： . 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【详解】， 故答案为：． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 【答案】 【详解】由，得，又， 所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/2.5 【详解】方法一：因为a，b是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 则， 即； 方法二：因为的根为或， 不妨设，，则，， 所以． 故答案为：. 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）计算： . 【答案】 【详解】. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】2 【详解】， ， ， 则. 故答案为：2 10．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数，，求证:. 【答案】证明见解析 【详解】证明：令且， 则，，， 所以， ， 故成立. 对数的运算性质的应用 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．已知，则的位数是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以是位数． 故选：C． 2．（23-24高一上·重庆·期中）若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，， 则， . 故选：B 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，，.则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，所以， 故选：B 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知互不相同的实数，满足，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】， 所以，，，代入 化简得：. 故选：B 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）任何正实数N可以表示成，此时，则在小数点后第（   ）位开始出现非零数字？（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】 在小数点后第7位开始出现非零数字. 故选：D. 6．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， 所以， 故选：D． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法；若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如表），则可以估计的最高位的数值为（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】设， 因为， 所以，. 由表格可知，， 所以，的最高位的数值为9. 故选：D. 8．（23-24高一上·四川·期中）（多选）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（    ） A．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6 B．若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1 C．若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性 D．若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 【答案】ACD 【详解】胃酸的，A正确． 海水的氢离子浓度为摩尔/升，则海水的，B错误． 选项C中溶液的，溶液呈酸性，C正确． 新鲜的鸡蛋蛋白的，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升，D正确． 故选：ACD. 9．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设都是正数，且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，则， 所以， 对于A：两边同除等价于， 由上可知，，所以，A正确； 对于B：两边同除等价于， 由上可知，，所以，B错误； 对于C：两边同除等价于， 由上可知，，所以，C错误； 对于D：两边同除等价于， 由上可知，，所以，D错误， 故选：BCD 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中） ． 【答案】2 【详解】原式． 故答案为：. 11．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知对数函数且，则 . 【答案】 【详解】因为对数函数且 所以， 解得 所以 所以 故答案为： 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 .（用表示） 【答案】 【详解】根据题意可知，均大于0， 易知， 由对数运算法则可得，解得； 故答案为： ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$