10.1.3 古典概型课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.1.3 古 典 概 型 学习目标 1.结合具体事例,理解古典概型的含义; 2.理解古典概型的概率计算公式; 3.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 4.核心素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理。 研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值) 称为事件的概率. 事件A的概率记为: P(A) 对于随机事件,是否只能通过大量重复的实验才能求其概率呢? 通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但大量重复的试验工作量大，耗时长，且试验数据不稳定，仅得到概率的近似值，且有些时候试验带有破坏性，因此我们需要寻求更科学有效的方法. 思考1：在10.1.1节,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验. 它们的共同特征有哪些? 共同特征： (1)对于每次试验,只可能出现有限个不同的试验结果; (2)所有不同的试验结果.它们出现的可能性是相等的. 一、新知探究 从样本点及样本空间来看,它们具有如下共同特征: (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验. 其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 古典概型 1、某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：不是古典概型。 因为试验的结果只有7个，但命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环这些结果的出现不是等可能的。 2、从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数” 是古典概型吗？ 解：不是古典概型。 因为这个试验有无数个样本点，不满足结果有限性。 思考2：下面的随机试验是不是古典概型？ 思考3：如何度量事件A发生的可能性大小？ 随机试验：一个班级中有18名男生、22名女生。 采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件 A=“抽到男生” 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小。 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。 则事件A的可能性大小为18/40=9/20. 7 思考4：如何度量事件B发生的可能性大小？ 随机试验：抛掷一枚质地均匀的硬币3次， 事件B=“恰好一次正面朝上” 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小。 因此，可以用事件B包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。 因为B={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）} 所以事件B发生的可能性大小为3/8. 8 古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 随机事件包含的所有样本点的数量 随机试验样本空间中所有样本点的数量 例7、单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。 假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？ 二、应用新知 解: 因为试验的样本点只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即样本空间Ω={A,B,C,D} ，考生随机地选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性是相等的，这是一个古典概型，设M=“选中正确答案”,因正确答案是唯一的，所以n(M)=1,所以，考生随机选择一个答案,答对的概率 10 设事件S=“选中正确答案” 则n(S)=1,答对的概率 为 ，因为 , 所以多选题更难选对. 变式 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的),你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 解：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B, C),(B,D), (C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D), (A,B,C,D)} 例8. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型; 解: (1)用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，因此试验的样本空间 Ω={(m，n)|m，n ∈ {1,2,3,4,5,6}}， 其中共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 共36种. 树状图: 1 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 1 3 2 3 4 5 6 1 4 2 3 4 5 6 1 5 2 3 4 5 6 1 6 2 3 4 5 6 1 解:(2) 例8. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等” C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ 号骰子的点数” 思考：在例2中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛出的两个点 数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能 第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样,（1，2）和（2，1）的结果将无法区别，试验的样本空间 Ω1={(m，n)|m，n ∈ {1，2，3，4，5，6},且m ≤n}，n(Ω1)=21， 事件A=｛（1，4）,（2，3）｝，n(A)=2，从而 . 思考:同一个事件的概率,为什么会出现两个不同的结果呢? 事实上，标记号的36个结果是等可能的；而不标记号的21个结果中，（1,1）和（1,2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型，所以不能用古典概型公式计算，因此P(A)= 是不对的. 注意使用古典概型计算公式的前提条件： 试验为古典概型试验. 求解古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号 （字母、数字、数组等）表示试验的可能结果 （借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有 的可能结果 ）； (2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性, 判断试验是否是古典概型； Ω Ω (3)计算样本点总个数n( )及事件A包含的样本点个数n(A), 求出事件A的概率 归 纳 [规律方法] 1．在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．写基本事件时，一定要按一定顺序写，这样不容易漏写． 2．求基本事件总数的常用方法： (1)列举法：适合于较简单的问题． (2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例9、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黑球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”（2）B=“第二次摸到红球” （3）AB=“两次都摸到红球” 第二次 第一次 R1 R2 B1 B2 B3 R1 × (R1,R2) (R1,B1) (R1,B2) (R1,B3) R2 (R2,R1) × (R2,B1) (R2,B2) (R2,B3) B1 (B1,R1) (B1,R2) × (B1,B2) (B1,B3) B2 (B2,R1) (B2,R2) (B2,B1) × (B2,B3) B3 (B3,R1) (B3,R2 (B3,B1) (B3,B2) × 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能结果。 如果同时摸出2个球，求事件AB的概率. 19 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黑球，从中有放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”（2）B=“第二次摸到红球” （3）AB=“两次都摸到红球” 将两次摸球的结果配对，组成25种等可能结果。 第二次 第一次 R1 R2 B1 B2 B3 R1 (R1,R1) (R1,R2) (R1,B1) (R1,B2) (R1,B3) R2 (R2,R1) (R2,R2) (R2,B1) (R2,B2) (R2,B3) B1 (B1,R1) (B1,R2) (B1,B1) (B1,B2) (B1,B3) B2 (B2,R1) (B2,R2) (B2,B1) (B2,B2) (B2,B3) B3 (B3,R1) (B3,R2 (B3,B1) (B3,B2) (B3,B3) 变 式 21 例10:从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2） 中任意抽取两人. (1)分别写出有放回简单随机抽样,不放回简单随机抽样和按 性别等比例分层抽样的样本空间. (2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解:设第一次抽取的人记为X1第二次抽取的人记为X2,则可用数 组（X1,X2）表示样本点. (1)根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间 Ω1= ｛（B1,B1）,（B1,B2）, （B1,G1）, （B1,G2）, （B2,B1）,（B2,B2）, （B2,G1）, （B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G1）, （G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）, （G2,G2）｝ 不放回简单随机抽样的样本空间 Ω2= ｛（B1,B2）,（B1,G1）,（B1,G2）, （B2,B1）,（B2,G1）,（B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）｝ 按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人， 再从女生中抽取一人，其样本空间： Ω3= ｛(B1,G1),(B1,G2), (B2,G1), (B2,G2)｝. 对于有放回简单随机抽样,A=｛(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)｝ 且这是古典概型,因此 (2)设事件A=“抽到两名男生”，则 对于不放回简单随机抽样，A=｛(B1,B2), （B2,B1）｝, 且这是古典概型,因此 按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以 A=ϕ，因此 P(A)=0. 思考：通过例10，对于不同的抽样方法有什么区别？ 例10表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。 因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。 24 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题。我们知道，简单随机抽样使总体中的每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高。上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下， 用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25； 用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率。 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现。所以改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要。 1.古典概型： (1)有限性; (2)等可能性. 三、课堂小结 3.古典概型的解题步骤: ①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、 数组等）表示试验的可能结果； ②根据实际问题情景判断样本点的等可能性； ③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率. 其中,n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 2.古典概型概率计算公式： $$