江西省2025届高三上学期入学摸底考试数学试题

绝密★启用前 8.已知0为坐标原点，抛物试Cx=2>0)的病点F到准辑的距离为1，过点F的直线，与G 之干N周点，过点作C的切线6与y箱分别交于P,两点，国项·示= 2025届新高三秋季入学摸底考试 B.- 数学试卷 二选择题：本共3小盟，每小蓝6分，共8分，在每小圆给出的瓷顶中，有多项蒋合■日要术金 包惑对的得6分，部分选对的得那分分，有选墙的得0分。 或卷共4可，9小理，漏分15和分。专这周时120分钟 4已知函数代)=（行·引）=w于测 注意事原： A.风x的量小正周明为4行 1:墨卷前，米生寻必牌自已的姓名、有考江号等罐写在多题中箱定任置上 段八)与x(3)有相同的量心值 2:啊答选根道时，法由得小姓答室后，用船笔起答划下上时总道精的签聚帮专隆里。如需礼 C直线舞=等为八)图象的一条对你箱 动，用橡应擎千净后，再瑞涂其他器发标号，同答套选棒施时，将答装屑在答题平上。写在本议基 上无效 D,将八x)的用象科左平移受个单收长发行得科g()的图象 3.考生面调保持幕观卡的警海，考试站束后，请将多周卡交日 10已超函数Rx}=2?2-3r.雨 一，进择量：本量共8.小慧，每小题5分，共和分，在每小置给出的四个选项中，尺有一项是特合是目 九1是Rx}的惯小值点 息=)的象美于剑行，-时移 要求的 r(x)=N)+1有3个零点 当0<x<1时2-1》>x-1) 9二，2的业部为 1已知正方体AB-A,BG么的体积为8，线度C,C的中点分别为B,P,动点G在下底面 高，B,G内（含边界），动《8在直线A0上，且话=A4,则 A.-7 B.-6 C.-Ti D.-61 2已知等差数到，的前n填和为5，若+山=2期品= A.48 B.42 C.24 D.21 3.已知一组数据35,7,9的平均数为6，则该组数貂的43%分位数为 4.45 85 C.55 0.6 4定义运辣“」 n a cm I8O d-:,已知 =a270”4),期unm ow w ian价 g B29 c D. A三楼维样-5F的体积为定值 8动点口的纯进长度为5✉ 2 5.已每某地区高考二检数学共有80名考生参与，且二检的数学成情X近缸限从正态分布 6不存在点G,桂程G⊥平面E万 四置体保G体积的最大值为否2 (95.g2).若成晴在0分以下的有1S00人.调可以估计(5写x写10)= 三，填空是：本题共3小题，每小题5分，共15分 cH 2已知科量8=(3，-2).b(2,》.若(b-2a)10,周a 6已知函数代司- -2+世-2a>在R上单到递碱，则：的取值范渭为 3能义：如果转合存在一组两两不交（两个转合的交集为空集时.称为不交）的非空真子集4， -1- 名。"，，（止eN),且AUAU…U4=.事么称于第旋A,A,…,4成合V的一个k 4.[-2,4 B.4,+x .(-m,4 0.「0,4 划分，已知集合1■x■N1x°-6缸+5《0引，则集合1的质有划分的个数为 已知园行的上，下底面的面积分附为4：，25：，侧面积为从：.测唤圆台外接球的球心到上展面的 以已每口为坐标源点，双南线（号-方(>0,6>0）的左，有组点分制为5，系，点在以与 距离为 号 D 为调心，0球，引为半径的则上，且直线F与图5朝切.若直线B,与C的一条渐近线交于点 N且F,=示，期C的离心率为 高三·氧学第1震（长4可） 高三，复学第2真（兵4可） 因.解答通：客题共5小是，共7分.解苦应写出文字说阴，证用过程或演算步覆 18.(17分1已知两数气)=e”-任 5(13分)已知△AG中，角AB.G所对的边分别为a,A,.其中3m品4A=n4 (1)承鞋线y=尺x)在点(-月-【))处的切线方程： (1)求A均值： (2)记1)中切线方程为y=》,比数八1，的大小关系，并说明理由： (2)若△4G的面积为3，周长为6，求△4C的外接同面积 (3)若x>0时，代)-m132=(e=a=1)x,求￥的最值道圆 16.(15分)如笔.在四棱银8-4D中，定面A,动为正方形，∠A50=∠A5=45,W.N分在棱 sg,℃上，且A,D,N,四点共 (1F明H⊥W: (2)若5W=,且二面角5-0-C为直二霍角，求平面义0与学置0NW夹角的余总值 19.(17分)已知有原为1的数列0.满足a.三4.+4u。+4标 (1)若：>0，在凭有思，1(1所G4》中陆帆抽取2个数具.记满起易，<0的数列引a,的个数为 X,求【的分布料及数学月望Ex； 2)数列1m.1满足：若存在写-5，则存在h11,2,-,厘-1《阳2且n后N”),使得，- 。三4 《)者：>0，止明：数列g是等系数列，并求数列1a的前n项料5，： 《)所有清足条件的数列。中求使得4，+22出0成立的s的轻小值 2(5分已知城假号·卡1a>0的高心率为号.6盒点为，域-停在c上 (1求G的方程 (2)已知0为坐标原点.点A在直规：y=红+n(山*0)上，若直线与C图桥，且A上1，起 04的首 高三·氧学第3（长4可） 高三，复学第4（兵4夏》 2025届新高三秋季人学摸底考试 数学参考答案及评分细则 1【答案】A 【解折2：621=-9-62i=-6-9+21.6-元.则所求度都为-7.故选A i 2.【答案】B 【解析1S,=7.=7.0=42放选B 2 2 3.【答案】C 【解析1依题在，3+5+7++9=6，解得x=6,将数据从小到大排列可得：3,56.7,9，又5×0.4=2，则40%分位 5 数为炉生-55版法C 4.【答案】D 【解析】依题意，尽na+esa=-s,则3na=-2asa,故ama=血a。25故选D. cos o 3 5.【答案】B 【解折1解法-：k题意，P(05≤≤10)=P0≤X≤95)=P<5)-P<0)=宁-得名放选 解法二：数学成绩在80分至95分的有4000-1500=2500人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有 250人.故P八5≤≤10)名9活故选取 6.【答案】D 【解析】易知(x)在(-0,1]上单调递减，则只需 解得0≤a写4.故选D. -2+n-2a≤-2， 7.【答案】C 【解析】依题意，记圆台的上、下底面半径分别为，5，则π=4如，=25m,则r,=2,=5,设圆台的母线长为， 则(5+r2)1=35π，解得1=5，则圆台的高h=4,记外接球球心到上底面的距离为x,则x2+22=(x-4)?+5,解得 员故选C 8.【答案】C 【解折依题意抛物线C:2=2.即=，则/=x,P0,)设》直线4：y=+号联 =2y. 得2-2-1=0，则出=-1.面直线y-=(x-),即y=-.令y=0,则x= y=+2 即偿小令x=0,则y=-2放0引则同-(-受-引放网：示丽警-华故选c 9.【答案】ABD(每选对I个得2分》 【解析)的最小正周期T平=4，放A正确x)与g)的最小值均为-3，故B正确：因为)=3n复 子≠士3放C错误+）=3n(受+》=30立=g(),故D正确故选ABD. 高三·数学第1页（共5页） 10.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解析1/'(x)=6r2-6x=6x(x-1),令f'(x)=0,解得x=0或=1，故当x∈(-0,0)时f'(x）>0,当x∈ (0,1)时f'(x)<0,当x(1,+0)时f'(x)>0,故1是fx)的极小值点，故A正确：因为fx)+f1-x)=2x- 3x2+2(1-x)3-3(1-x)2=2x3-3x2+2-6x+6x2-2x3-3+6x-3x2=-1,故B正确： g(x)=f(x）+1=2x3-3x2+1,易知g(x)八x)的单调性一致，而g(1)=0,故g(x)=f(x)+1有2个零点，故 C错误：当0<x<1时，-1<x2-1<x-1<0,面f八x)在(-1,0)上单调递增，故f八x2-1)<f八x-1),故D错 误故选AB. 11.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】依题意，EF∥C,∥AD,,而AD文平面DEF,EFC平面DEF,故AD平面DEF,则点H到平面DEF的距 离为定值，故三校锥∥-DEF的体积为定值，故A正确：因为A4=8,故A4,=2,则GE=2,而EC,=1,故CG= √GE-EC=3,故动点G的轨迹为以C,为圆，心，3为半径的圆在底面AB,C,D内的部分，即四分之一圆 弧，故所求轨迹长度为好×2×，5=，故B错误以G,为坐标原点.C,山，GB,CC所在直线分别为，.： 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(2,02),E(0,0,1),F(0,1,2),故D正=(-2,0，-1)，E=(0.1, 1),设n=(,)为平面DsF的法向量.则·广=0故+：=0. m,证=0故-2x-=0.令：=2，故m=(-1,-2,2)为平面 0EF的一个法向量，设G60(6≥0≥0)，故=（名0，-）.则于=与=号解得=分=1。 但式+3，故C正确：因为△DF为等腰三角形，故5m宁·F·√D成-(=号×巨×3号- 2 而点G到平面DEF的距离4=En_五++2_+2。+2，令=3s,则=5n8.0e n 3 [0,受引，则1=50+230+2：压如（g9)+2≤厅+2，其中m=之，则四面体DEFG体积的 3 3 最大值为分×号x厅2：，故D正确故话A0D 3 6 12.【答案】-10 【解析】依题意，b-2a=(-4,x+4),故(b-2a)·a=-12-2x-8=0,解得x=-10 13.【答案】4 【解析】依题意，I=x∈N1(x-1)(x-5)<0=|xeNI1<x<5=2.3,4,/的2划分为{2,3,41，{2.4| 1311,13,41,1211,共3个，1的3划分为12,3,41，共1个，做集合1的所有划分的个数为4. 1【答案]吗 【解析】不妨设点M在第一象限，连接FM,则F,M⊥NF,lF,M=c,故F,M|=√F,F-MFF=3e, ∠MF,F=30°，设N(x,n),因为F,=,所以M为NF,的中点.NF,l=2F,M=23e,故a=23e· 0迈 血0=5e=2.5em30-c=2,将25代人y=合中.放名-号则e=后+号-=号 高三·数学第2页（共5页） 15,解：(1)由正弦定理得3 sin Asin Bcos A=sin Bsin'A.(2分) 因为inA,sinB≠0，故3csA=sinA,则tanA=√3，(4分) 因为Ae(0,m),故A=行(6分) (2)由题意sa=cnA-c=v,故e=4(8分) 4 由余弦定理得a2=2+e2-2bcsA=(6+c)2-3e=(6-a)2-12. 解得a=2.(10分】 2,(12分) 故△ABC的外接圆半径R=2mA- 故所求外接圆面积S=R一行(13分) 【评分细则】 1.第(1)问未说明sinA,sinB≠0，扣1分：未说明Ae(0,m),扣1分： 2,第(2)问先求出a=b=c=2,再通过等边三角形的几何性质求得外接圆的面积，也给满分， 16.(1)证明：因为∠AMSD=∠AD5=45°，故∠SMD=90°，则SM⊥AD,(1分) 因为AD∥BC,ADd平面SBC,BCC平面SBC,故AD∥平面SBC,(3分) 而平面ADNM∩平面SBC-N,ADC平面ADNM,故MN∥AD. 则S4⊥MN.(5分) (2)解：因为二面角S-AD-C为直二面角，故平面SAD⊥平面ABCD. 而平面SAD∩平面ABCD=AD.S4C平面S4D,SA⊥AD.故SA⊥平面ABCD,(6分) 又底面ABCD为正方形，所以SA⊥AB.SA⊥AD,AB⊥AD, 以点A为坐标原点，AB,AD,AS所在直线分别为x,y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-z,(7分) 不妨设4B=2,则A(0.0.0),S(0,0,2),C(2,20).D(0,2.0).(1.0.1). 故s元=(2,2，-2)，S7=(0,2,-2),AD=(0,2,0),4=(1,0,1), 设平面ADNM的法向量为n=(x,y1,), 则·=+=0， 令1=1.可得n=(1,0,-1).(10分) ln·AD=2y=0, 设平面SCD的法向量为m=(为，)， 则m·7-2y-24=0, 1m·SC-2+22-2=0, 令2=1，可得m=(0,1,J),(13分) 放平面SGD与平面0W夹角的余弦值cm0=骨沿-宁(15分) 【评分细则】 1.第(1)问中未说明“ADg平面SBC,BCC平面SBC”扣1分： 2.第(2)问建系之前未作任何说明扣1分，若使用几何法过程正确也给满分：最后两平面夹角的余弦值公式没 加绝对值的扣1分：若使用几何的方法说明某条直线的方向向量即为平面的法向量，需要过程完整才能给满 分，无说明过程扣2分 高三·数学第3页（共5页） 17.解：(1)设F(c.0).依题意，{ 2后t4玩=1，(2分) 3 a2=b2+2 解得2=2,2=1.(4分) 放C的方程为+yL（5分 (2)依题意，F(1,0) y=红+m, 联立{x2 行+P2-1.得（2+10r+4m+2m20.（7分 故4=162m2-4(22+1)(2m2-2)=0,整理得m2=22+L.(9分)》 因为A1,所以直线A的方程为y=一x-), 1-km y=- 「x= -(x-1), 1+2 联立 解得 y=红+m, k+用 即分) y=1+ 故1OAP=0-mP+(k+m2_m2+2+m2+1-(2+1)(m2+1四 (1+k2)2 (1+) (1+2) -m+=2+2=2,(14分) 1+21+的 故|04=2.(15分) 【评分细则】 如使用其他方法若正确也给满分 18.解：(1)依题意f代-1)=e-1,(1分) 而f'(x)=(x+1)e-e,(2分) 故f'(-1)=-e,(3分) 故所求切线方程为y-e+1=-e(x+1),即y=-ex-【.(4分) (2)由(1)知F(x）=-ex-1,结论：(x)≥F(x),下面给出证明： 令m(x)=fx)-F(x)=xe+1,则m'(x)=(x+1)e,(5分) 当x<-1时，m'(x)<0,m(x)单湖递减，(7分) 当x>-1时，m'(x）>0,m(x)单调递增，(8分》 故m(x)≥m(-1)=0,即f八x)≥F(x).(10分) (3)依题意，x1-x-nx-2≥， 则e1-(x+lnx+1)-1≥ax在(0，+o)上恒成立，(11分)） 令g(x)=e-x-1,则g'(x)=世-1，令g'(x)=0,得x=0. 故当xe(-0,0)时，g(x)<0,当xe(0,+0)时，g(x)>0, 故g(x)在区间(-0,0)上单调递减，在区间(0，+0)上单调递增，则g(x)≥g(0)=0,(13分) 当a≤0时，Vx>0,xe1-x-lnx-2≥0，x≤0，此时x>0,xe1-x-1nx-2≥：(14分) 当a>0时，令h(x)=nx+x+1,显然h(x)在区间(0，+o)上单词递增， 又月)=3-1<0.61)=2>0， 高三·数学第4页（共5页） 放存在6∈（信小，使得(）=0，则e1-名-n%-2=0. 而x。>0,不合题意，含去.(16分】 综上所述，a的取值范围为(-0,0].(17分) 【评分细则】 1.第(1)问中切线方程写成y+x+1=0也正确： 2.第(2)问只给出结论，没有一点过程的不给分：结论或证明过程错误得0分： 3.第(3)问若使用其他方式酌情给分 19.(1)解：依题意，ad1=+4a。+4a+1,故a1-4a1+4=a2+4a。+4, 即(a+4-2)2=(0,+2)2,故a+4=a,+4,或a1=-a,(1分) 因为a1=1,1>0,故=5： 则0：1.59,13：a。:1,5.9,-9:0:15,-5.5:an:1,5.-5,-1.(3分） 故X的可能取值为0,1,2， 故P(X=0)-是=6PX=) C经1 故X的分布列为 5分 放X=0x6+1×号+2x6=1.(6分) (2)(i)证明：由(1)可知，当n≥2时，，=-a.-或4.=a.-1+4,42=5: 假设此时数列a,!中存在最小的整数（≥3），使得a,=-a-4, 则，2，…，a-单调递增，即均为正数，且-1≥a=5,所以0，=-a-,≤-5：(8分) 则存在∈1.2，…，i-11,使得a=a,+4≤-1，此时与a1,4…,a-均为正数不所， 所以不存在整数i(i≥3)，使得a:=-a-1,故a,=a,1+4. 所以数列，是首项为1、公差为4的等差数列，(10分)】 则S,=m+n).4=2m2-m.(11分) 2 (i)解：由a,+2025=0,可得a,=-2025, 由题设条件可得-1，-5，-9，·，-2017，-2021，-2025必为数列a中的项：(12分) 记该数列为6.}，有6，=-4n+3(1≤n≤507)：(13分） 不妨令6.=，则a1=-0,=4n-3或41=a,+4=-4n+7. 均不为61=-4n-1:(14分) 此时a:=-4n+3或4n+1或4n-7或-4n+11,均不为b.1=-4n-1.(15分) 上述情况中，当a-1=4n-3,42=4n+1时.a,+3=-a+2=-4n-1=b+1 结合a,=1,则有a-4=b(16分) 由bm=-2025可知，使得4，+2025=0成立的的最小值为3×507-1=1520.(17分) 【评分细则】 1,第(1)问若数列4.全部写错，则整问只能得1分，若部分写对，整问得2分： 2.第(2)问只正确求出5。，没证等差数列或等差数列证明过程错误的，给1分， 高三·数学第5页（共5页）