专题03 函数的概念与性质（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高一数学上学期湘教版2019

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期中考点大串讲 串讲03 函数的概念与性质 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　函数的定义域 答案　(1)D　 (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为(　　) C 解析 由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1. 技巧点拨 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：a.f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同； b.定义域是指x的范围. 举一反三 D 题型剖析 题型二　求函数的解析式 【例2】分别求满足下列条件的的解析式： (1)已知，求； (2)已知函数是一次函数，若，求； (3)已知，求. 【答案】(1)；[配凑法或换元法] (2)或；[待定系数法法] (3).[配凑法或换元法] 技巧点拨 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 举一反三 【变式】(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数满足，求的解析式； (3)已知，求的解析式． 【答案】(1)；[待定系数法] (2)；[方程组法] (3).[配凑法] 题型剖析 题型三　分段函数 当a>1时，a＋1>2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解. 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意. 技巧点拨 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验. 3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可. 举一反三 答案　(1)B　 题型剖析 题型四　函数的单调性 【例4】 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)= - D.f(x)=-|x| C 【解析】 函数f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 函数f(x)=-|x|,当x>0时,f(x)=-x, 则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.故选C. 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. (2)函数的单调性应根据外层函数和内层函数的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. [易错警示]：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 技巧点拨 【例5】 函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) 举一反三 【变式1】 (多选题)已知函数f(x)= 是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是(　　) A.1 B.-1 C.-2 D.-3 CD 题型剖析 题型五　函数的奇偶性 (1)求实数m和n的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值. ∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增. 技巧点拨 举一反三 解　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 03易错易混 易错点1　求定义域混淆自变量出错 【错解】C 【错因】已知函数f(x)的定义域是(a,b),求f[g(x)]的定义域，应有a<g(x)<b解出x的范围，即为f[g(x)]定义域. 针对训练 03易错易混 易错点2　求解析式时忽略自变量范围出错 【错解】A 【错因】利用换元法求函数的解析式时，忽略了注意换元前后自变量的取值范围的变化． 针对训练 03易错易混 易错点3　求单调区间忽略函数的定义域而致错 【错解】C 【错因】求函数的单调区间时，没有先求函数的定义域而出错. 针对训练 03易错易混 易错点4　忽略分段点函数值大小而致错 【错解】C 【错因】分析分段函数的单调性时只考虑了两段的单调性，忽略了端点值应满足的大小关系. 针对训练 B 04押题预测 B B ABC 505 谢谢观看！ 【例1】　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A. B.C. D.∪ 解析　(1)由题意知解得x<1且x≠， 即f(x)的定义域是∪. A. B. C.[0,1] D. 【变式1】 (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A. B. C. D. 解析 由题意得解得x<1且x≠. 综上，f＝6. 【例3】　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】a<1时，a＋1>1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝. ∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 【变式】　(1)已知f(x)＝则f＋f等于(　　) A.－2 B.4 C.2 D.－4 【解析】　(1)∵f(x)＝ ∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝， ∴f＋f＝＋＝4. 函数f(x)=x2-3x为二次函数,在(0,)上单调递减,不符合题意; 函数f(x)=-为反比例函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意; A.(-∞,-)∪[-,+∞] B.(-∞,-)∪(-,+∞) C.(-∞,-] D.[-,-] 解析 根据题意,函数f(x)=x2+(2a+1)x+1为二次函数,其对称轴为x=-, 若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,则有-≤1或-≥2, 解得a≥-或a≤-,即a的取值范围为(-∞,-]∪[-,+∞),故选A. 解析 由条件对任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立, 则函数单调递增,若函数f(x)=是R上的增函数, 需满足解得-3≤a≤-2.故选CD. 【例6】 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 [解析]　(1)选项A：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)－1＝eq \f(1－x－1,1＋x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2,x)－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．选项B：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＋1＝eq \f(1－x－1,1＋x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．选项C：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)－1＝eq \f(1－x＋1,1＋x＋1)－1＝－eq \f(x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－eq \f(4,3)，0，据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶 性．选项D：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)＋1＝eq \f(1－x＋1,1＋x＋1)＋1＝－eq \f(x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为eq \f(2,3)，2，据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B． 解 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴=-. ∴n=-n,即n=0. 此时,f(x)=的定义域是{x∈R|x≠0}. 又f(2)=,∴,解得m=2. ∴实数m和n的值分别是2和0. 【例7】 已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=. (2)由(1)知f(x)=. 任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1-x2)·. ∴f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为f(-1)=-,最小值为f(-2)=-. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)． (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称． (3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：利用上述结论要注意各函数的定义域． 【变式】　已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 1．（23-24高一上·河北·月考）若函数 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps326.png" \* MERGEFORMATINET 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【正解】【解析】因为的定义域为，所以令，得， 所以的定义域为.故选：B 1．（23-24高一上·广东佛山·月考）已知函数 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps339.png" \* MERGEFORMATINET 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps346.png" \* MERGEFORMATINET 的定义域为，所以，解得．故选：D. 2（23-24高一上·重庆南岸·期中）若函数 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps350.png" \* MERGEFORMATINET ，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【正解】令，则，， 因为， 所以， 则，故选：D. 2.（23-24高一上·福建福州·期中）若 【答案】 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps363.png" \* MERGEFORMATINET 且 【解析】令，则，因为，所以， 又且，所以且，所以且. 3．（22-23高一上·河北邢台·期中）函数 A． B． C． D． 【正解】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为，故选：B 3.函数 A． B． C．和 D． 【答案】C 【解析】由 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps396.png" \* MERGEFORMATINET 可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和故选：C 3．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml6040\\wps407.png" \* MERGEFORMATINET ，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【正解】因为对任意，都有成立， 所以是上的减函数， 则，解得．故选：A． 4.（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 2．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一下·湖南娄底·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数满足：(为实数），且，那么代数式 ． $$