专题02 一元二次函数、方程与不等式（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）（期末复习课件）高一数学上学期湘教版

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期末考点大串讲 串讲02一元二次函数、方程与不等式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　利用不等式的性质比较大小 技巧点拨 ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 举一反三 题型剖析 题型二　利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　对基本不等式的理解及简单应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　利用基本不等式比较大小 技巧点拨 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 举一反三 题型剖析 题型五　利用基本不等式求解恒成立问题 技巧点拨 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 举一反三 题型剖析 题型六　利用基本不等式求最值 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　解不含参数的一元二次不等式 技巧点拨 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 举一反三 题型剖析 题型八　一元二次不等式与根与系数关系的交汇 技巧点拨 举一反三 题型九　含有参数的一元二次不等式的解法 题型剖析 技巧点拨 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 举一反三 题型十　不等式的恒成立问题 题型剖析 技巧点拨 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 举一反三 03易错易混 易错点1　误用不等式的性质而致错 03易错易混 易错点2　忽视不等式取最值时的条件 针对训练 03易错易混 易错点3　解一元二次含参不等式时注意二次项系数为0情况 04押题预测 C D D A BC 谢谢观看！ 【解析】对于A，若，由可得：，A错误； 对于B，若，则，此时未必成立，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D. 【解析】因为，所以，，，， 又，所以，所以成立， ，所以，，所以， 取可得，，，所以不成立， 故选：D. 【解析】因为，所以， 由，得.故选：A. 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【变式】已知且，则的取值范围是 【解析】，，则，，，则， 由得，则，即，即， 又，，因此，的取值范围是. 例3、若且，则下列不等式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【解析】当时，，A错； 时，满足，但，B错； 时，满足，，C错． ，则，，当且仅当时等号成立．D正确． 故选：D． 应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【变式】若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【解析】对于A：令，满足，则，故选项A不正确； 对于B：因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于C：令满足，则，故选项C不正确； 对于D：由可得，故选项D不正确； 故选：B. 例4、若a>0，b>0，则 与 的大小关系是_____. 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式】若，，且，则在中最大的一个是_______. 【解析】因为， 所以，且， 由不等式的基本性质得， 所以在中最大的一个是 故答案为： 例5、若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【解析】依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 【变式】若两个正实数x，y满足，且不等式有解， 则实数m的取值范围是______． 【解析】不等式有解，， ，，且，， 当且仅当，即，时取“”，，故， 即，解得或， 例6、若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【解析】∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【变式】若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 【解析】由题意可得， 当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 例7、不等式的解集是（       ） A．R B． C．或 D． 【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线， ， 所以恒成立， 所以不成立，故的解集为. 故选：B 【变式】不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D．或 【解析】依题意可得，故，解得或， 所以不等式的解集为或 故选：B． 例8、已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（       ） 【解析】由题设，，且， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式】已知不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由不等式的解集知：和是方程的两根，. 故选：A. 例9、解关于x的不等式 【解析】关于x的不等式可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}，当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时，因为方程的两根为—1和， 又因为，所以．即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或}， 【变式】已知关于x的不等式的解集为． (1)写出a和b满足的关系；(2)解关于x的不等式． 【解析】（1）因为，所以， 因为不等式的解集为，所以，且，解得． (2)由（1）得则不等式等价为， 即，即． 因为，所以不等式的解为． 即所求不等式的解集为． 例10、若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是或. 【变式】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 【解析】因为关于的不等式在上有解， 的最大值为4 所以，解得故答案为： 1．已知 ，求证： ． 【解析】 ， ∵ ，∴ ， ， ， ∴ ，∴ ． 2．已知 ，且 ，则 最大值为______． 【解析】由 且 ，可得 ，代入 ， 又 ， 当且仅当 ，即 ， 又 ，可得 ， 时，不等式取等， 即 的最大值为 ， 1．已知 ，则 的最大值是______ 【解析】 ，则 ， 所以， EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时，因为 ，即当 时，等号成立， 所以 的最大值为 . 3.若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为___________. 【解析】由不等式 的解集为 ， 可知方程 有两根 ，故 ， 则不等式 即 等价于 ， 不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为 ， 故答案为： . 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．（23-24高一上·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东威海·期末）若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． $$