微专题01 角平分线+平行线通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题01 角平分线+平行线通关专练 一、单选题 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E．下列结论：①都是等腰三角形；②，③的周长等于，其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，，的角平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，那么下列结论正确的是：(    ) ①，都是等腰三角形；②；③；④． A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 4．如图，，平分，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．如图，，，、分别平分、， ．则＝（　　） A．3 B．11 C．7 D．8 6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论： ①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等； ③∠BOC＝； ④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；⑤AD＝． 其中正确的结论是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点（，不与点重合）连接，连交射线于点，且，当是等腰三角形时，则的度数为（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或 8．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O，且MN∥BC，交AB与点M，交AC于点N．设AB＝6，BC＝10，AC＝8，则△AMN的周长是（　　） A．14 B．16 C．18 D．24 9．如图，在Rt中，，，的平分线交于点 ，过点作交于点，若恰好平分，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 10．如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．16 二、填空题 11．如图，在四边形中，平分，交于点平分，交于点，则的长为 ． 12．如图，点E是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点E作，交于点M，交于点N，若，则线段的长度为 ． 13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，， ． 14．如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且，则等于 ；    15．如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则 ． 16．如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 17．如图，分别是和的平分线，过点作，分别交于点，于点．下列结论：；；若，，则的面积为．其中正确是 ． 18．如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于、，则的长为 ．    19．如图，在四边形中，，和的角平分线恰好与交于点P．若，则的度数为 度，若，，则 ． 20．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 三、解答题 21．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 22．如图， ，射线交于点C． (1)作的平分线，交直线于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：为等腰三角形． 23．如图，在中，平分，，垂足为D，过点D作交于点E．    (1)求证：； (2)若，求的长． 24．如图，在 中，． 过点 作 ，交 的平分线于点 ，连接 ．    (1)求证：为等腰三角形． (2)若 ，求 的度数． 25．如图，在四边形中，对角线平分，，与的延长线交于点E． (1)求证：； (2)若，直接写出图中所有的锐角等腰三角形． 26．如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． (1)猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． (3)如图3，若中，的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 27．如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． (1)请写出图①中线段和的大小关系： ． (2)请写出图①中线段与、间的关系： ． (3)如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．请写出与、的关系，并说明理由． 28．如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 29．（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 30．如图，的两条外角平分线相交于点D，过点D，且，分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的值． 31．如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 32．如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 33．如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点． (1)求证是等腰三角形； (2)探索、、之间的等量关系，并说明理由． 34．如图①，在中，，、CO分别平分、，过点O作交于点E交于点F，试回答： (1)如图①，猜想：、、之间的关系是____________； (2)如图②，若，其它条件不变，（1）的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图③，若将（2）中“，分别平分、”改为“平分，CO平分的外角”，其他条件不变，则与、有什么样的关系？请说明理由． 35．如图，已知直线的平分线交于点F，的平分线交延长线于点G． (1)说明的理由． (2)若，求的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 角平分线+平行线通关专练 一、单选题 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即， ∴的周长是， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E．下列结论：①都是等腰三角形；②，③的周长等于，其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．①根据角平分线的性质、平行线的性质可证是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等量代换即可判定；③根据等量代换即可判定． 【详解】解：①∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形，故①正确； ②∵是等腰三角形， ∴ 同理： ∴，故②正确； ③∵ ∴的周长为，故③正确； 故选D． 3．如图，，的角平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，那么下列结论正确的是：(    ) ①，都是等腰三角形；②；③；④． A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，平行线性质的应用，借助平行线及角平分线的性质可得，，再逐项判断即可． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 同理，是等腰三角形，故①正确； ， ，故②正确； ， 的周长等于，故③正确； 不能证明，故④错误； 正确的有①②③， 故选：B． 4．如图，，平分，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由平行线的性质得到，由平分得，则，则是等腰三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形判定和性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 5．如图，，，、分别平分、， ．则＝（　　） A．3 B．11 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论： ①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等； ③∠BOC＝； ④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；⑤AD＝． 其中正确的结论是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC＝90°＋∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE＋CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn，故④错误，根据求得的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°−∠A， ∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝90°＋∠A；故③正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF，故①正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，如图所示： ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE＋S△AOF＝AE•OM＋AF•OD＝OD•（AE＋AF）＝mn；故④错误； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确． ∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN， ∵AM＋BM＝AB，AD＋CD＝AC，BN＋CN＝BC， ∴AD＝（AB＋AC−BC）故⑤正确， 综上分析可知：正确的有①②③⑤，共4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 7．如图，已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点（，不与点重合）连接，连交射线于点，且，当是等腰三角形时，则的度数为（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：①当，即时，②当，即时，运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数，根据、的度数以及的内角和即可求解． 【详解】解：∵，OE平分， ∴． ∵， ∴， 当，即时， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 当，即时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，利用平行线以及角平分线的性质求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 8．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O，且MN∥BC，交AB与点M，交AC于点N．设AB＝6，BC＝10，AC＝8，则△AMN的周长是（　　） A．14 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN//BC，易得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC，则可求得答案． 【详解】解：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN//BC， ∴∠BOM＝∠OBC，∠CON＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠BOM，∠ACO＝∠CON， ∴BM＝OM，CN＝ON， ∵AB＝6，BC＝10，AC＝8， ∴AM+MN+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝14． 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 9．如图，在Rt中，，，的平分线交于点 ，过点作交于点，若恰好平分，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】如图所示，利用平行线的性质和角平分线的定义证明，推出，再利用含30度角的直角三角形的性质求出AC，设，则，，利用列等式，即可求解． 【详解】解：如下图所示， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， Rt中，，， ， 设，则，， ， ， ， ， 即的长为2． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、三角形内角和定理等，涉及知识点较多，但难度一般，利用角度间的等量代换求出各个角的度数是解题的关键． 10．如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．16 【答案】A 【分析】由题意可知，，有，可知，由三角形的周长可求的值，由可求的值． 【详解】解： 是的平分线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键在于推导出． 二、填空题 11．如图，在四边形中，平分，交于点平分，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质，再根据线段的和差，即可求得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，由等腰三角形的判定得出是解题的关键． 12．如图，点E是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点E作，交于点M，交于点N，若，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，同理，，于是得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，， ． 【答案】9 【分析】由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键． 14．如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且，则等于 ；    【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交于点N，证明，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点N，   ， 为的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为： 15．如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16．如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：10． 17．如图，分别是和的平分线，过点作，分别交于点，于点．下列结论：；；若，，则的面积为．其中正确是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形内角和变形得到与的和与的关系，再根据角平分线定义即可得到正确；由平行线性质和角平分线定义可以得到，，则有，故正确；过点作于，作于，连接，根据角平分线性质得到，求出和的面积和，即可求出的面积即可得到正确；解题的关键是熟练掌握角平分线的性质及数形结合思想的应用． 【详解】∵在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故正确； 过点作于，作于，连接， ∵在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故答案为：． 18．如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于、，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得到，于是，同理可得，故可解 【详解】平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据角平分线和平行线的性质得出． 19．如图，在四边形中，，和的角平分线恰好与交于点P．若，则的度数为 度，若，，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先求解，再利用角平分线的定义可得的大小，如图，延长交的延长线于，证明，再证明，利用全等三角形的性质与线段的和差可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，，而， ∴， ∴，而平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：， 20．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而求出的长，最后求出的长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 三、解答题 21．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及角平分的性质， 根据等腰三角形的性质得，，则有； 根据角平分的性质得．由平行线的性质得．则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 22．如图， ，射线交于点C． (1)作的平分线，交直线于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出角的平分线即可； （2）利用平行线的性质得到，利用角平分线的性质得到，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 23．如图，在中，平分，，垂足为D，过点D作交于点E．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形性质等几何知识点的应用问题，灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，等量代换得到，可得； （2）根据余角的性质得到，于是得到，可得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，    平分， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在 中，． 过点 作 ，交 的平分线于点 ，连接 ．    (1)求证：为等腰三角形． (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记等角对等边是解本题的关键； （1）证明可得，结合可得结论； （2）设， 可得，，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）设，而， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 25．如图，在四边形中，对角线平分，，与的延长线交于点E． (1)求证：； (2)若，直接写出图中所有的锐角等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)，， 【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据平行线的性质和角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可． （1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，等量代换得，从而可证； （2）由可判断是等腰三角形；求出可判断是等腰三角形；再求出，可判断是等腰三角形． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴所有的锐角等腰三角形是，，． 26．如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． (1)猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． (3)如图3，若中，的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1) (2)还成立，理由见解析 (3)有等腰三角形：、，；理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据，即可得出； （2）由，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得为等腰三角形，在中，同理可证； （3）由于，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得是等腰三角形，同理可证是等腰三角形，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，的平分线交于O点， ∴，； ∵， ∴，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， 同理可证是等腰三角形． ∵，是等腰三角形， ∴，， ∴； （3）解：有等腰三角形：、，此时， 如下图所示： ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可证是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． 27．如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． (1)请写出图①中线段和的大小关系： ． (2)请写出图①中线段与、间的关系： ． (3)如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．请写出与、的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）由题意易得，，则有，进而可得答案； （2）由题意易得，，则有，然后可得，由（1）得，进而可得答案； （3）同理（1）（2）可得，，然后问题可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 即线段与、间的关系为． 故答案为：； （3），理由如下： 同理（1）（2），可得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质及平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，也要熟练掌握“双平等腰”模型． 28．如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到．根据平行线的性质得到，推出是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论． （2）根据平行线的性质得到．根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵F为的中点， ∴平分， 即平分． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出是等腰三角形是解题的关键． 29．（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 30．如图，的两条外角平分线相交于点D，过点D，且，分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； （2）由三角形的周长关系可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵的两条外角平分线相交于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． 31．如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 32．如图，在中，平分，，是的中点，说明的理由．    解：因为平分， 所以______（角平分线的意义）． 因为， 所以（______）． 所以______（等量代换）， 所以 （______）． 因为是的中点， 所以(______ )． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；等腰三角形的性质 【分析】根据角平分线的意义可得，两直线平行内错角相等可得，再根据等量代换得到，再根据等腰三角形的性质即可得到最终结果． 【详解】解：因为平分， 所以（角平分线的意义）． 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）． 因为是的中点， 所以（等腰三角形的性质）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，等角对等边，等腰三角形的性质． 【点睛】本题综合考查了平行线和角平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 33．如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点． (1)求证是等腰三角形； (2)探索、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论； （2）先证明，再证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练地利用等腰三角形的性质解题是解本题的关键． 34．如图①，在中，，、CO分别平分、，过点O作交于点E交于点F，试回答： (1)如图①，猜想：、、之间的关系是____________； (2)如图②，若，其它条件不变，（1）的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图③，若将（2）中“，分别平分、”改为“平分，CO平分的外角”，其他条件不变，则与、有什么样的关系？请说明理由． 【答案】(1)EF＝BE+CF (2)成立，理由见解析 (3)EF＝BE﹣CF，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，得，；根据角平分线的性质，得，；再根据等腰三角形的性质，得，，从而完成求解； （2）根据平行线和角平分线的性质，得，，再根据等腰三角形、线段和差的性质分析，即可得到答案； （3）根据平行线和角平分线的性质，得∠EOB＝∠ABO，，再根据等腰三角形、线段和差的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵ ∴， ∵、CO分别平分、， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴EF＝BE+CF； （2）∵ ∴， ∵、CO分别平分、， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴EF＝BE+CF； ∴（1）的结论成立； （3）∵ BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EO∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠ABO， ∴EO＝BE， ∵CO平分的外角 ∴ ∵EO∥BC， ∴ ∴ ∴FO＝FC， ∴EO﹣FO＝BE﹣CF， ∴EF＝BE﹣CF． 【点睛】本题考查了等腰三角形、平行线、角平分线、线段和差的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、等腰三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 35．如图，已知直线的平分线交于点F，的平分线交延长线于点G． (1)说明的理由． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)42° 【分析】（1）依据平分，，可得，即可得到结论； （2）由可知 ，由平分可知度数，又可得，再由三角形内角和求解即可． 【详解】（1） 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的意义、平行线的性质、等角对等边、三角形内角和定理等，综合运用以上知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$