专题01 集合与逻辑（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高一数学上学期湘教版2019

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期中考点大串讲 串讲01 集合与逻辑 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 考点透视 02题型剖析 题型一　集合的概念 例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 (　　)A．1　　　　B．3 C．5 D．9 【答案】C 【解析】①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C. 技巧点拨 涉及到集合中的元素问题时，一定要注意元素的三个特性，即确定性、互异性、无序性. 举一反三 题型剖析 题型二　集合间的关系 D B 技巧点拨 举一反三 【变式】已知集合，，则M与P的关系为（    ） A．M＝P B．M⊆P C．P⊆M D．M P D 题型剖析 题型三　根据集合间的关系求参数 【例3】已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【解析】当时，时，， 即；当时，， 解得，即， 故实数的取值范围是. 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　集合间的运算 【例4】设集合，，，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）. （2）， . （3）， 或， . 技巧点拨 1.求解集合运算问题应该明确集合的元素类型以及元素范围,然后按照运算法则进行运算. 2.注意运算的步骤:如果含有补集,先求补集;如果是三个集合之间的交并运算,按照从左到右的顺序逐次求解. 3.对于连续的数集运算可以借助数轴表达集合间的关系,但求解时要规范,如注意区间端点的顺序、虚实的标识. 举一反三 【变式】已知， ，则 . 【答案】 【解析】由题意, , 故画图如图: 即得， 故答案为： 题型剖析 题型五　集合运算中的参数问题 【例5】集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）①当时，，此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得，综上所述：实数的取值范围为. （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集，当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或，解得， 综上知，当或时，，所以若，则实数的取值范围是. 举一反三 (1)当a=-1时,求A∩B和A∪B; (2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,B={x|-2<x<1}, ∵(∁RA)∩B=B,∴B⊆∁RA. 当B=⌀时,2a≥a+2,解得a≥2; 题型剖析 题型六　充分、必要条件的判断 例6.（1）、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( ) A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要 D不充分不必要 （2）、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2 B A 技巧点拨 举一反三 【变式】已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 题型剖析 题型七　根据充分、必要条件求参数 【例7】已知或，，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】设集合或， ， 因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 举一反三 【变式】若，或，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以A⫋B， 又，或． 所以或，解得或 所以实数a的取值范围是或． 题型剖析 题型八　含一个量词命题的否定 例8 (1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，x02＝x0－1”的否定是(　　) A．∀x∈(0，＋∞)， x2≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，x2＝x－1 C．∃x0∈(0，＋∞)，x02≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，x02＝x0－1 (2)若命题“∃x0∈R，使得x02＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 技巧点拨 (1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论. (2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定. 举一反三 【变式】写出下列各命题的否定. (1)：对任意的正数，； (2)：三角形有且仅有一个外接圆； (3)：存在一个三角形，它的内角和大于； (4)：有些质数是奇数. 【解析】（1）：存在正数，使. （2）：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆. （3）：所有三角形的内角和小于或等于180°. （4）：所有的质数都不是奇数. 03易错易混 易错点1　忽略集合中元素的互异性而致错 03易错易混 易错点2　忽视对空集的讨论而致错 针对训练 03易错易混 易错点3　忽略端点的取值情况而致错 2.已知全集U={x|x>0},集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}. ①求A∪B,(∁UA)∩B; ②若C⊆(A∪B),求a的取值范围. 解 ①A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},∁UA={x|0<x<3,或x≥7},(∁UA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. ②若C=⌀,则5-a≥a,解得a≤ . 若C≠⌀,则2≤5-a<a≤10,解得 <a≤3. 综上所述,a≤3,即a的取值范围是{a|a≤3}. 针对训练 04押题预测 A A D ABD ABD 谢谢观看！ 【变式】若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________． 【解析】由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3. ①当x－2＝－3时，x＝－1. 把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性； ②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)， 当x＝－时，集合的三个元素为－，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－. 【解析】|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，选B. （2）已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有 (　　) A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 判断集合间关系的方法主要有：（1）一一列举；（2）数轴分析；（3）韦恩图. 若集合中有个元素，则该集合有个子集，个真子集. 【变式】已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 【解析】因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示． 由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1.即a＜－2或a≥. 由已知a＜1，所以a＜－2或≤a＜1， 即所求a的取值范围是a＜－2或≤a＜1. 【变式】设全集是实数集R,A 故A∩B∪B={x|-2<x≤3}. (2)由已知可求得∁RA 当B≠ 解得a≤≤a<2. 综上可得,a的取值范围是a≤a≥ 1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p. (2)必要不充分条件，即p q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p q，又有q p. 2．充分条件与必要条件的判断． (1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 【解析】(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即 x2≠x－1，故选A. (2)因为∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1. 1．已知集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，若2∈A，则实数a的值构成的集合为________． 【解析】因为集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，且2∈A， 所以2＝a或2＝a2－5a＋6. 2 当a＝2时，此时a2－5a＋6＝0，A＝{2，1，0}，符合题意． ②当2＝a2－5a＋6时，解得a＝1或a＝4. 当a＝1时，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a＝4时，A＝{2，1，4}，符合题意． 综上可知实数a的值构成的集合为{2，4}． 2．设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{ x |2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．{ a |1≤a≤3} B．{ a |a≥3} C．{ a | a≥1} D．{ a |1< a <3} 【解析】因为B⊆A，所以当B＝∅时，符合题意，则有2a> a＋3，即a >3；当B≠∅时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a≥2，,a＋3≤6，))解得1≤a≤3.综上，实数a的取值范围是{ a | a≥1}，故选C. 1．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，则使A∪B＝A的实数m的取值范围可以是　(　 　) A．{m|－3≤m≤4} B．{m|－3<m<4} C．{m|2<m<4} D．{m|m≤4} 【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A. ①若B不为空集，则m＋1＜2m－1，解得m＞2.∵A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}， ∴m＋1≥－2，且2m－1≤7, 解得－3≤m≤4.此时2＜m≤4. ②若B为空集，则m＋1≥2m－1，解得m≤2，符合题意． 综上，实数m满足m≤4即可，故选ABCD. 3.已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{ x | x <a}，若N⊆M，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥1} B．{ a|a≥2} C．{ a|a≤1} D．{ a|a <1} 【解析】∵集合M＝{x|2 x＋1<3}＝{ x | x <1}，且N⊆M，∴a≤1.故选C. 1．（23-24高一下·青海·期中）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（ ） A． B．C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．(多选)（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（ ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 5．（多选）（22-23高一上·广西玉林·期中）已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． $$