专题02 一元二次函数、方程与不等式（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高一数学上学期湘教版2019

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期中考点大串讲 串讲02一元二次函数、方程与不等式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　不等关系的判断 【例1】已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C， D，不妨取，满足，但，故 C， D均错误． 故选：B． 技巧点拨 这类问题主要考察不等式的性质，在判断过程中要注意不等式的性质成立的条件，并灵活运用特殊化思想进行验证排除。 举一反三 【变式】已知且，则下列不等式中一定成立的是(　　) 【答案】D 【解析】当，时，则，，无意义，故，，错误；因为，所以根据不等式得性质可得，正确. 题型剖析 题型二　比较大小 【例2】若则与的大小关系为(　　) 【 因为，所以. 若，则，故；若，则，故. 综上，. 技巧点拨 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 举一反三 【变式】若则的大小关系是(　　) 【解析】由题意得， 又，， 所以. 题型剖析 题型三　利用不等式的性质求范围 【例3】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对；由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，，因为，由不等式的可加性可得，C对D错．故选：ABC． 技巧点拨 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 举一反三 【变式】（多选题）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，， 所以， 即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则， 即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误． 故选：AD． 题型剖析 题型四　基本不等式求最值 技巧点拨 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 举一反三 【变式1】若，则有( ) 最大值 最小值 最大值 最小值 【解析】因为∴ ， 当且仅当，即时取“”. 举一反三 题型剖析 题型五　利用基本不等式求参数范围 【例5】当时，的最小值为，则( ) 【 即，故. 技巧点拨 1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求 最值； 2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围. 举一反三 【变式】已知不等式，则不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为_______. 【解析】已知不等式对任意正实数恒成立，只需求 的最小值大于或等于， ∵， 当且仅当时，等号成立， ∴，∴，即正实数的最小值为. 题型剖析 题型六　不含参一元二次不等式的解法 【例6】求不等式的解集. 【解析】对于方程， ∵，∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 技巧点拨 解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽． 举一反三 题型剖析 题型七　含参一元二次不等式的解法 【例7】解关于的不等式 【解析】原不等式变为， ①当时，原不等式可化为， 所以当时，解得； 当时，解集为； 当时，解得. ②当时，原不等式等价于，即. 技巧点拨 解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论． 举一反三 【变式】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式： ． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为． 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 题型剖析 题型八　已知不等式的解集求参数 【例8】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【解析】依题意，不等式的解集为， 所以， 解得． 故答案为：； 举一反三 【变式】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次方程的两根分别为2和4，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】二次方程的两根分别为2和4， 可得，即， 由可得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 题型剖析 题型九　一元二次不等式恒成立问题 【例9】若不等式的解集为，则实数的取值范围是________. 【解析】当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当，即时，不等式的解集为， 则 解得.综上可得，实数的取值范围是. 技巧点拨 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论. 举一反三 【变式】已知若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由题意可转化为，在上恒成立， 令，则有①或②③ 解①得，解②得， 解③得. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是. 题型十　不等式与实际问题 【例10】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元．进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中． （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值． 【解析】（1）由题意，得， 整理得，解得，又，所以，故x的取值范围为． （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立． 又，则恒成立． 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6．5． 举一反三 【变式】（2024·高一·上海·随堂练习）限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 【解析】由题意得，对于甲车： ，即，所以 对于乙车： ，即，所以， 因为限速40 km/h， 所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任． 03易错易混 易错点1 误用不等式的性质而致错 【错解】B 针对训练 ACD 易错点2 忽视基本不等式的应用条件 2.函数y＝x＋ 的值域是________. 【错解 】y＝x＋＝x－1＋ ＋1≥2 ＋1＝2＋1， 当且仅当x－1＝ ，即x＝1± 时等号成立 【错因】　错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x－1>0． 03易错易混 2.函数y＝x＋ 的值域是__________________________. 【正解】当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝2＋1， 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立； (－∞, 1－2]∪[1＋2, ＋∞) 当x<1时，－y＝－x＋ ＝1－x＋ －1≥2 －1＝2－1， ∴y≤1－2；当且仅当1－x＝ ，即x＝1－时等号成立． ∴原函数的值域为(－∞, 1－2]∪[1＋2, ＋∞)． 易错点2 忽视基本不等式的应用条件 36 易错点3 解含参数不等式讨论不当 【错因】　解本题容易出现的错误是： (1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a＝0时的讨论； (2)在不等式两端约掉系数a时，若a<0，忘记改变不等号的方向； (3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论； (4)分类讨论后，最后对结论不进行整合． 2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【错解】　原不等式化为a(x－ )(x－1)<0. ∴当a>1时，不等式的解集为(, 1)，当a<1时，不等式的解集为(1, ). 2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【正解】　 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}．当a≠0时，不等式化为a(x－)(x－1)<0. 当a<0时，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，不等式的解集为{x|x>1或x< }； 当0<a<1时，1< ，不等式的解集为{x|1<x< }； 当a>1时， <1，不等式的解集为{x| <x<1}； 当a＝1时，不等式的解集为∅. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为(－∞, )∪(1,＋∞)； 当a＝0时，不等式的解集为(1,＋∞)；当0<a<1时，不等式的解集为(1,)； 当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为(,1). 易错点3 解含参数不等式讨论不当 2.解不等式 >1(a∈R). 针对训练 04押题预测 C ABD ABC 谢谢观看！ 【解析】， 由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立， 而，故， 所以最大值为， 故选：D 【例4】若，则函数最大值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【解析】由题意得，， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9 【变式2】若，，，则的最小值为 ． 【变式】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式： (1) ；(2) ；(3) . 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为，不等式的解集为）. （2）原不等式可化为，此不等式对应的一元二次方程的根的判别式，原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. 【正解】对于A：若，，则，则，故A错误； 对于B：若，，例如，则，故B错误； 对于C：若，可得，则，无法得出，故C错误； 对于D：若，则，可得，则， 所以，故D正确．故选：D． 1. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（ ） A．若 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml5884\\wps1.png" \* MERGEFORMATINET ， B．若， C．若， D．若， 【错因】运用不等式的性质判断命题真假时常可以选择特殊值来排除错误选项，其余选项用不等式的性质来证明或推导结论，此时一定要注意不等式的性质成立的条件，准确记住每一条性质，才能推导正确，错选B的原因，是忽略同向不等式相乘的前提是都大于零。 1.（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 解 原不等式等价于-1>0,即>0,所以[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0. ① 当a=1时,①式可以转化为x>2; 当a>1时,①式可以转化为(x-2)>0; 当a<1时,①式可以转化为(x-2)<0. 又当a≠1时,2-, 所以当a>1或a<0时,2>; 当a=0时,2=;当0<a<1时,2<. 综上所述,当a=1时,原不等式的解集是{x|x>2}; 当a>1时,不等式的解集是; 当0<a<1时,原不等式的解集是; 当a=0时,不等式的解集是⌀; 当a<0时,不等式的解集是. 1．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）下列命题不正确的是（ ） A．，，则 B．的解集是全体实数 C．，则的最大值是 D．，，则 2．（23-24高一下·湖南·期中）下列命题为真命题的有（ ） A．若，则 B．不等式对任意的x，恒成立 C．已知实数a，b满足，则 D．若关于x的不等式的解集是，则 3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． $$