专题02 数列的概念、等差与等比数列（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高二数学上学期湘教版2019

高二湘教版（24-25学年）数学选修一期中考点大串讲 串讲02 数列的概念、等差与等比数列 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　数列的单调性与最值 A 技巧点拨 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）函数法，将数列视为函数，即当 时所对应的一列函数值， 根据的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大（小）项. （2）利用 确定最大项，利用 确定 最小项. 举一反三 D 【解析】因为数列{an}是递增数列，所以由n≤7时，an＝(3－a)n－3知3－a＞0，即a＜3；由n＞7时，an＝an-6知a＞1.又a7＜a8，即(3－a)×7－3＜a8-6，解得a＞2或a＜－9.综上，2＜a＜3，故实数a的取值范围为(2，3). 题型剖析 题型二　数列的周期性 技巧点拨 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而 求有关项的值或者前 项的和. 举一反三 D 【解析】因为a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，所以an＋2＝2－an＋1－an，则a3＝2－a2－a1＝－4，a4＝2－a3－a2＝2，a5＝2－a4－a3＝4，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，则a2 025＝a675×3＝a3＝－4. 【变式】已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，则a2 025＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 题型剖析 题型三　等差数列基本量的计算 例3 [2023全国卷甲]记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a 2＋ a 6＝10， a 4 a 8＝45，则 S 5＝(　C　) A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 [解析]　解法一　由 a 2＋ a 6＝10，可得2 a 4＝10，所以 a 4＝5，又 a 4 a 8＝45，所以 a 8＝9.设等差数列{ an }的公差为 d ，则 d ＝ ＝ ＝1，又 a 4＝5，所以 a 1＝2， 所以 S 5＝5 a 1＋ × d ＝20，故选C. 解法二　设等差数列{ an }的公差为 d ，则由 a 2＋ a 6＝10，可得 a 1＋3 d ＝5　①，由 a 4 a 8＝45，可得( a 1＋3 d )( a 1＋7 d )＝45　②，由①②可得 a 1＝2， d ＝1，所以 S 5 ＝5 a 1＋ × d ＝20，故选C. 技巧点拨 举一反三 B 【变式】已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由，，得，解得， 则等差数列的公差，于是， 由，得，所以．故选：B   题型剖析 题型四　等差数列的性质 【例4】（1）记等差数列的前项和为，，则 ． 【答案】78 【解析】因为为等差数列，所以． 故答案为：78．   （2）已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以 ．故答案为： 举一反三 【变式】已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 则． 故答案为：． 题型剖析 题型五　等差数列和的最值问题 【例5】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】在等差数列中，，由，可得， ，，且数列为递减数列， 所以使得前n项的和最大的n值为8． 故选：B． 举一反三 【变式】已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【答案】B 【解析】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，． 故选：B． 题型剖析 题型六　等差数列的应用 【例6】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0．1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25．7m B．30．6m C．35．3m D．40．4m 【答案】C 【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：， 可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为： ， 且． 由等差数列的求和公式得： 故选：C 举一反三 【变式】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 题型剖析 题型七　等比数列的定义 【例8】已知数列中，，.证明：是等比数列. 【解析】因为数列 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2 题型剖析 题型八　等比数列性质 【例8】已知数列为正项等比数列，若，，则 ． 【答案】 【解析】由， 由等比数列的性质可得：， 所以， ∴，又，∴． 举一反三 【变式】在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 【答案】3 【解析】． 故答案为：3 题型剖析 题型九　等比数列和的性质 【例9】记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】或 【解析】设的公比是， ，同理， 由已知，否则公比，，与已知矛盾， 所以也成等比数列，， 又，，所以，解得或， 又，所以与同号，因此， 所以，，， 若，则，，即， 若，则，，即． 举一反三 【变式】设等比数列的前项和是．已知，，则 ． 【答案】13 【解析】因为是等比数列的前项和且， 所以，， 也成等比数列， 则． 因为，， 所以，解得． 所以． 故答案为：．   题型剖析 题型十　等比数列中的最值问题 【例10】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【解析】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，． A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误．故选：ABC． 举一反三 【变式】（多选题）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意，在时取得最小值，所以为单调递增数列， 所以，所以A正确，B错误； 当时，，满足题意，所以C错误； 由可得，即， 所以，所以D正确． 故选：AD． 03易错易混 易错点1　应用等比数列的求和公式忽略q=1的讨论出错 针对训练 C 03易错易混 易错点2　混淆数列与函数的区别出错 【错因】忽略数列中的n是不连续的，其取值只能是正整数，在解题中要注意数列与函数的区别． 针对训练 D 03易错易混 易错点3　等比数列中忽略项的符号而致错 【错因】忽略a3,a5,a7同号而出错. 04押题预测 D BC 5 谢谢观看！ 【例1】 已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则数列{an}的前30项中的最大项和最小项分别是(　　) A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9 【解析】an＝＝1＋，当n≥10时，an＝＝1＋＞1，为正值且随n的增大而减小，则{an}递减； 【变式】 已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 (　　) A． B． C．(1，3) D．(2，3) 【例2】已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则 T2 024＝_____． 【解析】因为a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2 024＝3×674＋2，所以T2 024＝(－1)674·a2 023·a2 024＝1×2×＝1. （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 1.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn. 【错解】由已知得，即，解得a1＝3，d＝－1， 所以an＝4－n， 则bn＝n·qn－1， 所以Sn＝1＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， qSn＝1·q＋2·q2＋3·q3＋…＋n·qn， 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＋n·qn＝-n·qn. 所以Sn＝-. 【错因】未对q＝1或q≠1分别讨论． 【正解】设{an}的公差为d，则由已知得，即， 解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n. 则bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， (1) 若q≠1，上式两边同乘以q. qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn， 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝－n·qn. 所以Sn＝－＝. (2)若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝， 由上可知，所以Sn＝. 1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( ) A．1 B．－EQ \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1),2) C．1或－EQ \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1),2) D．－1或EQ \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1),2) 2.等差数列 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml8384\\wps1.png" \* MERGEFORMATINET 中，，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【正解】， 由于，故当n取4或5时，取得最小值，故选：B. 【错解】设等差数列的首项为，公差为d， 则，解得，则， 所以，故当时，最小值为 2.（22-23高三下·云南·月考）已知等差数列{ INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml8384\\wps19.png" \* MERGEFORMATINET }的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在等比数列 中， ，则 为 . 【错解】因为，故. 【正解】8 1．（23-24高二上·湖南·期中）已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D．3 2．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在递增的等比数列中，，，则下列说法正确的是（ ） A． B．数列是首项为，公比为等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 3．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）设是等比数列，且，则 ． $$