专题02 数列概念、等差与等比数列（考题猜想，易错必刷55题15种题型）高二数学上学期湘教版2019

专题02 数列的概念与等差、等比数列 （易错必刷55题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 数列的概念（3小题） 1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D. 【详解】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 3．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】C 【分析】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示. 【详解】对A，数列可为常数数列，A错误； 对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误； 对C，当时，，C正确； 对D，数列中的第一项不能用表示，D错误. 故选：C 2、 数列项的最值问题（4小题） 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【详解】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，令，数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．数列的第七项最小､第八项最大 B．使的项共有6项 C．满足的的值共有4个 D．使取得最小值的为7 【答案】C 【分析】把化简成，由复合函数的单调性可得最大值和最小值，得到A正确；由分式的整除可得结合为正整数可判断B正确；由的正负得到符合条件的个数，可判断C错误；用列举法判断的最小值，可得D正确. 【详解】对于A：化简得 故在上单调递减，显然最小值为最大值为. 又当时即的最大值为的最小值为故A正确； 对于B：易知当时故 结合为正整数，则共6项，故B正确； 对于C：当或时当时；当时 故当时，满足共有6个这样的故C错误； 对于D：可知时所以当时取得最小值，故D正确. 故选：C. 7．（23-24山东高二联考）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 【答案】A 【分析】利用的单调性可得答案. 【详解】因为，所以当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减，且， 所以最小项为，最大项为. 故选：A. 3、 数列的周期性（3小题） 8．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数列递推式推理得到，知数列周期为3，利用周期性易求得. 【详解】由可得①， 当时，②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列的项的周期为，故. 故选：A. 9．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 又，， 所以. 故选：B 10．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案. 【详解】因为数列中，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 故选：B 4、 等差数列定义（4小题） 11．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（    ） A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列 B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列 D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列 【答案】C 【分析】A、B、D选项可以通过特值法排除，C选项直接翻译得到，用等比中项的方法可判断C对. 【详解】解：当，，时，,A错误； 当，， 时，,，B错误； 若a，b，c成等差数列，则， 所以， 故，，构成等比数列，C正确； 当，，时，D显然错误． 故选：C． 12．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 13．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 【答案】D 【分析】首先判断数列是等差数列，从而求得，即可判断AB；写出数列的前n项和，并去绝对值，即可判断CD. 【详解】对于A，由，得，， 可知数列是首项为8，公差为的等差数列， 则，则， 所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误； 对于B，， 而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误； 对于CD，当时，；当时，；当时，； 所以 ，故C错误，D正确. 故选：D 14．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义、之间的关系，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是等差数列时，设公差为，由， 因此， 当时，因为， 所以为等差数列； 当为等差数列时，设公差为，则有， 所以当时，， 两式相减，得， ，或，因为该数列是正项数列，所以舍去， 因此，显然当时，成立， 当时，因为， 所以是等差数列，因此“是等差数列”是“为等差数列”的充要条件， 故选：C 5、 等差数列基本量的计算（5小题） 15．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是等差数列的前项和，且，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故选：C. 16．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组求出，从而可求出 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：B 17．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 18．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 19．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解． 【详解】解：， 故选：C 6、 等差数列项的性质（3小题） 20．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 又，即，解得， 所以. 故选：C 21．（23-24高二下·福建厦门·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得. 故选：D 22．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由等差数列的公差为1，， 所以， 所以. 故选：B. 7、 等差数列和的性质（5小题） 23．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 24．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 25．（23-24高二下·云南·期中）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 27．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 8、 等差数列前n项和的最值（4小题） 28．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 【答案】D 【分析】将分别代入等差数列的通项公式和前项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出在或时取最小值. 【详解】设公差为，由，， 所以，解得，所以， 令，解得，则数列单调递增，且， 所以当或时取得最小值. 故选：D 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4045 B．4046 C．4035 D．4034 【答案】A 【分析】由题可知数列是递减的等差数列，再由前n项和公式和下角标和的性质即可求解. 【详解】因为数列的前n项和有最大值，所以数列是递减的等差数列， 又，，所以， 即数列的前2023项为正数，从第2024项开始为负数， 由等差数列求和公式和性质可知， ， ， 所以当取最小正值时，． 故选：A. 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 31．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 9、 等差数列的应用（3小题） 32．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（    ） A．3000棵 B．3100棵 C．3200棵 D．3300棵 【答案】B 【分析】由题意可知这13天中每天植树数量为等差数列，设公差为，由前项和公式求解出，然后求即可. 【详解】由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列，则， 设数列的公差为，则， 解得，所以. 故选：B. 33．（23-24高二下·河南·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设十二个节气分别对应等差数列中的前12项，且的公差为， 根据题意，有，则，解得， 所以立夏的影长为． 故选：C． 34．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C 10、 等比数列的定义（3小题） 35．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，则 【答案】ACD 【分析】首先由求出，根据各个选项的条件及等比等差数列的性质即可判断． 【详解】当时，； 当时，， 所以， 对于A，若，则， 故，则，故A选项正确； 对于B，若，则， 故，则，故B选项错误； 对于C，若为等差数列，则当时，是与无关的常数， 故只能有，即； 同时也是与无关的常数，且根据等差数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故， 所以，C选项正确； 对于D，若为等比数列，则当时，，这是一个与无关的常数； 同时也是与无关的常数，且根据等比数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故，得，故D选项正确， 故选：ACD． 36．（多选）（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，，则数列（    ） A．有可能是常数数列 B．有可能是等差数列 C．有可能是等比数列 D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】BCD 【分析】将已知等式变形为，利用反证法可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；利用等比数列的定义可判断C选项；举特例可判断D选项. 【详解】由可得， 即， 若对任意的，有且，此时数列是公比为的等比数列， 若对任意的，有且，此时数列是公差为的等差数列， 取数列各项为：、、、、、、，则数列满足条件， 此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对， 若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立， 由可得，可得，与矛盾， 故数列不可能是常数列，A错. 故选：BCD. 37．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可; （2）先根据第（1）问的求出数列的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. （2）由（1）知,, 则, 故 . 11、 等比数列基本量计算（3小题） 38．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列，若成等差数列，则的公比q等于（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】结合等比数列的通项公式，利用等差中项列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知，因为成等差数列， 所以，解得或（舍去）. 故选：D 39．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由及通项公式，列出方程组求解即可. 【详解】在等比数列中，，，， 由，及通项公式， 可得，解得. 故选：B. 40．（23-24高二下·四川雅安·期中）已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的通项公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得，所以. 故选：A. 12、 等比数列项的性质（4小题） 41．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：C 42．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出. 【详解】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 43．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用等比数列性质即可得出答案. 【详解】成等比数列，， 因为与-2和-4符号一样，所以， . 故选：B. 44．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 13、 等比数列和的性质（3小题） 45．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值. 【详解】由，得， 因为数列为等比数列，所以成等比数列， 所以， 所以，整理得，, 解得或， 因为等比数列的各项为正数，所以， 所以， 故选：D 46．（23-24高二下·湖南·阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，，， 故． 故选：B. 47．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】用等比数列基本量列方程组求解. 【详解】由题意，，设公比为q，，. 故选:D. 十四、等比数列前n项积的最值（3小题） 48．（多选）（23-24高二下·四川南充·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质， 则或，，，所以，，推得公比，即可依次求解． 【详解】由，则或， ，，和同号，且同为正，且一个大于1，一个小于1， ，，，即数列的前2022项大于1， 而从第2023项开始都小于1， 对于A，公比，故A正确， 对于B，，，即，故B错误， 对于C，， ，，即，故C正确． 对于D，等比数列的前项积为， 且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1， 故是数列中的最大项，故D正确. 故选：ACD. 49．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．存在最大值 【答案】ACD 【分析】先通过条件确定和的取值情况判断AB，然后利用等比数列的性质计算即可判断C，再根据数列的单调性判断D. 【详解】由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ，所以，C正确； 因为且，所以等比数列递减数列， 于是，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 50．（多选）（23-24高二下·浙江杭州·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，且，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列无最大值 D．是数列中的最大值 【答案】ABD 【分析】根据题中，分析出公比，得出等比数列为正项的递减数列，再根据等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，等比数列的公比为，， 所以. 又因为，所以， 所以等比数列的各项均为正数. 由可知，， 则必有，所以等比数列为正项的递减数列. 依次分析选项： 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，D，根据，可知是数列中的最大值，故C错误，D正确. 故选：ABD. 十五、等比数列的应用（5小题） 51．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 52．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 53．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 54．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【答案】A 【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解不等式即可求解. 【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由，可得，两边取对数得， 所以，所以，故需要的天数约为. 故选：A 55．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里. 故选：A. $$专题02 数列的概念与等差、等比数列 （易错必刷55题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 数列的概念（3小题） 1．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 3．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 2、 数列项的最值问题（4小题） 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，令，数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．数列的第七项最小､第八项最大 B．使的项共有6项 C．满足的的值共有4个 D．使取得最小值的为7 7．（23-24山东高二联考）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 3、 数列的周期性（3小题） 8．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 9．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 4、 等差数列定义（4小题） 11．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（    ） A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列 B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列 D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列 12．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 14．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5、 等差数列基本量的计算（5小题） 15．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是等差数列的前项和，且，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 18．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 6、 等差数列项的性质（3小题） 20．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 21．（23-24高二下·福建厦门·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 22．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 7、 等差数列和的性质（5小题） 23．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 24．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·云南·期中）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 27．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 8、 等差数列前n项和的最值（4小题） 28．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4045 B．4046 C．4035 D．4034 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 31．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 9、 等差数列的应用（3小题） 32．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（    ） A．3000棵 B．3100棵 C．3200棵 D．3300棵 33．（23-24高二下·河南·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 34．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 10、 等比数列的定义（3小题） 35．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，则 36．（多选）（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，，则数列（    ） A．有可能是常数数列 B．有可能是等差数列 C．有可能是等比数列 D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列 37．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 11、 等比数列基本量计算（3小题） 38．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列，若成等差数列，则的公比q等于（    ） A．2 B． C． D．3 39．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 40．（23-24高二下·四川雅安·期中）已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12、 等比数列项的性质（4小题） 41．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 42．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 43．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 13、 等比数列和的性质（3小题） 45．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 46．（23-24高二下·湖南·阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 47．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 十四、等比数列前n项积的最值（3小题） 48．（多选）（23-24高二下·四川南充·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 49．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．存在最大值 50．（多选）（23-24高二下·浙江杭州·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，且，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列无最大值 D．是数列中的最大值 十五、等比数列的应用（5小题） 51．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 52．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 53．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 55．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 $$