第三章 位置与坐标章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第三章 位置与坐标章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．在平面直角坐标系中，，，，三角形的面积为4，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键．对于多种情况的问题，要注意分类讨论． 当点在轴右侧时，过点作轴于，梯形的面积，列出含的方程求解即可；当点在轴左侧时，记为，列出含的方程求解即可． 【详解】    ①当点在轴右侧时，过点作轴于， 则，，，． 梯形的面积为：， 又， ，． 梯形的面积， ． ②当点在轴左侧时，记为，即， ． 连接，则轴， ， 又， ， ． 由①可知，，轴，， ， ， 解得：． 综上所述，或． 故答案为：2或． 2．已知：，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】将变形为，从而转化为点到与的距离，再利用几何法求最值即可得． 【详解】解：∵， ∴， 如图，这个式子可以理解为在平面直角坐标系中，x轴上的点到与的距离之和，    作点A关于x轴的对称点，连接， 则与x轴的交点即为点P，此时的值最小，最小值为的长， 由两点之间的距离公式得：， 即的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间的距离公式等知识点，把代数问题转化成几何问题是解题关键． 3．在中，，，，，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】过点作轴于点，作轴于点，结合，可得，．分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，，可得，即有；②当点在右侧时，证明，由全等三角形的性质可得，，，即有．即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点，如下图，    ∵，， ∴，， 分两种情况讨论： ①当点在左侧时，过点作于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当点在右侧时， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、点的坐标、全等三角形的判定与性质等知识，结合题意作出图形，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，，，连接．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ．    【答案】或 【分析】由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，再分两种情况进行讨论，可得出P点的坐标． 【详解】解：如图所示：    ①若， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形， ∴； ②若，则有 连接，交于点，过点E作于点F， ∴是的垂直平分线，点E是的中点， ∵， 由勾股定理得， 又，即：,∴ 在中，， 又，即，解得，， 由勾股定理得， ∴ ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面积法等知识，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握． 5．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角得到另一条轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系，规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是 ；线段的长度是 ． 【答案】 【分析】作轴交x轴于A，轴于H．轴交x轴于M，连接交x轴于N，证明，再根据勾股定理求出和的值，即可得到线段PG的长度． 【详解】如图，连接，作轴交x轴于A，轴于H．轴交x轴于M，连接交x轴于N， ∵，， ∴， ，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题以及勾股定理，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，为直角三角形，其中，，，点、均在轴上且在轴上左右移动，则移动过程中的周长最小值为 ．      【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求出，作点A关于直线的对称点D，过点D作轴，过点B作于E，连接，证明三点共线，则可求出，利用对称性得到，则由勾股定理得到，由三角形周长公式推出当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，作点A关于直线的对称点D，过点D作轴，过点B作于E，连接， ∴点D在直线上，轴， 又∵， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，轴对称最短路径问题，平移的性质，正确利用对称性把求线段之和的最小值转换为两动点到一定点的距离之和的最小值是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的点，以为边作等腰，使，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查坐标与图形，解答本题的关键在于构造合适的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，要明确，只能为直角边作出等腰直角三角形，本题即可求解． 【详解】解：∵点，点， 又∵， ∴只能为直角边． 如图，过点作，使得， 过点作已知直线l的垂线交于点，过点作轴， 过点作已知直线l的垂线交于点． 为等腰直角三角形， ， ， 又， ， ． ， ． ． 同理，可证， ； ． ． 故答案为：或． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于， 点的坐标为， 点为的中点， 是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， 当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值， 的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 9．在一单位为的方格纸上，依图所示的规律，设定点，，，，……，连接点，，组成三角形，记为，连接，，组成三角形，记为……，连接点，，组成三角形，记为（n为正整数），请你推断，若的面积为，则坐标为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律再求解即可．根据计算前几个三角形面积，可发现由，，组成得三角形面积的底边等于的角标加的角标，高为的角标，由此可求出的面积，再根据轴上角标的规律，以及角标与小方格的长度对应关系即可求解． 【详解】解：由题意可得规律： 第一个三角形由点，，组成，面积是， 第二个三角形由，，组成，面积是， 第三个三角形由，，组成，面积是， ∴第n个图形由，，组成，面积是， 若的面积为，即， 解得或（舍去）， 由图上规律可知，当角标为奇数时，点都在轴上，在轴正半轴的数依次是…，，在轴负半轴的数依次是，，其中为正整数， ， 解得， 在轴负半轴，且的角标与小方格是对应的，即对应99个小方格， 的坐标为：． 故答案为：． 10．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系，可以假设，则，，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值的长． 【详解】解：建立如图坐标系， 在中，，，， ， ， 斜边上的高， ， ，斜边上的高为， 可以假设，则，， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中， 作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 11．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE，再进一步证明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G，证明△COG访问团等腰直角三角形，可可求出OC=7；过点C作CH⊥x轴，垂足为H，设C（m，n），则OH=m，CH=n，AH=5-m，根据勾股定理可得方程组 ，求出方程组的解，取正值即可． 【详解】解：取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，如图， ∵，OC平分∠ACB， ∴ ∵均为直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 由勾股定理得， ∴ ∴ 过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G， ∵∠OCA=45°， ∴∠G=45°， ∴△COG为等腰直角三角形， ∴OC=OG， ∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°， ∴∠BOC=∠AOG， ∵∠OCB=∠OEA=45°， ∴△COB≌△GOA（ASA）， ∴BC=AG=， ∵CG=AC+AG= ∵△OCE为等腰直角三角形， ∴OC=7 过点C作CH⊥x轴于点H，设C（m，n）， ∴OH=m，CH=n，AH=5-m 在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得， 解得，，（负值舍去） ∴C（） 故答案为：（） 【点睛】本题主要考查了图形与坐标的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 12．如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为 ． 【答案】/ 【分析】先根据对称性得出，说明点在以点A为圆心，4为半径的圆上，当、、在同一直线上时，最小，根据最小值，求出，得出点的坐标为，设点P的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴点在以点A为圆心，4为半径的圆上，如图所示： ∴当、、在同一直线上时，最小， ∵的最小值为1， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 当轴时，连接，，如图所示： ∵过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点， ∴点P的横坐标为3， 设点P的坐标为：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，坐标与图形，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是根据对称性，求出点B的坐标． 二、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4) 【分析】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）根据可得点P在上，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点， ∴， 又∵是正方形，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； 点在线段上时，； 故答案为：，； （2）当时，点在线段上， ∴； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：∵， ∴点P在上，即，解得． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系有长方形，其两边长的比值为，点，点，其中，点是边的中点，直线交直线于点．    (1)若的坐标为，则______，______． (2)当，点恰好是边的中点时，三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标． (3)若长方形沿着轴正方向平移个单位，当，时，点到轴的距离是1，求长方形两边长的比值． 【答案】(1)， (2) (3)或6 【分析】本题考查了坐标与图形， （1）根据长方形的性质得出，进而可得出，根据点是边的中点，的坐标为，得出，，即可求解； （2）根据三角形的面积与三角形的面积相等，点是边的中点，得出，根据是的中点，得出，进而根据得出，即可求解； （3）分点在轴的两侧，根据题意得出点的坐标，进而得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形 ∴ ∵点，点， ∴， ∵点是边的中点，的坐标为， ∴， 解得： 故答案为：，． （2）解：∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ 解得： 又∵，则 ∴即， 将代入 解得： ∴ （3）∵长方形 ∴ ∵点，点， ∴， 当时， ∵长方形沿着轴正方向平移个单位， ∴，，， ∵点到轴的距离是1， ∴， 当时，， ∵是的中点， ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴ 解得:， ∴ 当时，在轴的右侧，则 当时，， ∵ ∴①或② ①；解得，②得： 当时，， ∵是的中点， ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴ 解得:， ∴ ∵当在轴的右侧，则 当时，， ∵ ∴①或② ①；解得，②得： ∴或 ∴原长方形中或， ∴或     或6 16．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得、的值即可； （2）由知．连，作轴，轴，则，据此列出方程组求得，而，解得，则可得出答案； （3）过点、分别作轴，轴，分点P在G上方和点P在G下方进行画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图， 由， ， ， 连接，作轴于轴于，，      即， ∵， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点分别作轴，轴， 依题意，设， 则， 当点在上方时，如图1，，    ∵平分， ∴， ∵轴， ∴，即， ∴； 当点在下方时，如图，    ∵平分轴， ， ， 综上，的度数为或． 【点睛】考查了三角形的面积，坐标与图形性质，非负数的性质以及算术平方根，解题的关键是利用三角形的面积公式求得相关线段的长度．添加平行线进行求解是解答的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)当时，为定值． 【分析】（）利用非负数的性质求出点的坐标即可求解； （）分点分别在线段上；点在的延长线上，点在线段上和点在线段上，点在的延长上三种情况，画出图形解答即可求解； （）由平分，是的三等分线，可得，，过点作，即到，可得，， 进而得到，同理可得，即可得到，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， 当点分别在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在的延长线上，点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段上，点在的延长上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，与之间的数䞢关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，； （3）解：能为定值，理由如下： ∵平分，是的三等分线， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，     同理可得， ∴ ， ， ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 18．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①点的坐标为；② 【分析】本题是三角形综合题，考查的是平行线的性质，非负数的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，由非负性可求，，的值，再由列出等式，即可求解； （2）①过点B作，由可得，从而得出，求得，可得，得出点的坐标为； ②过点作，交轴于点，则，由可得，再由得出，从而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，从而得出． 【详解】（1）解：连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，， 依题可得，解得， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∴点的坐标为， （2）解：①过点B作， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为， ②过点作，交轴于点， 则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵EM平分 ∴ ∴ ∵AM平分，∴ ∴ 19．在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形面积，清晰的分类讨论是解本题的关键. （1）由非负数的性质先求解的值，可得的坐标，进一步可得三角形的面积； （2）过E作，如图2，证明，可得，，证明，从而可得结论； （3）当P在时，如图①，则，由题意得，当P在上时，，如图②，，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴三角形的面积； （2）解：过E作，如图2， ∵， ∴， 如图所示， ∵，分别平分，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵轴，， ∴，， 即， ∴． （3）解：当P在时，如图①，则， 由题意得 ， 解得， 即． 当P在上时，，如图②， 由题意得 ， 解得， ∴， 即， 综上，或． 20．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1) (2)当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即 (3)当与全等时， 【分析】（1）根据题意，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作于点，根据全等三角形的判定方法可得，再根据角平分线的性质即可求解； （3）根据题意，可得，分别用含的式子表示出的值，根据全等三角形的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴，且， ∴四边形是矩形， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是角平分线， ∴， ∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即； （3）解：已知， ∴，，且， ∴在中，， ∴， 由（1）的证明可得，， ∴，则， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位， ∴，，则点从的时间为：， 第一种情况，当在上时，，则， ∴，且， ∴， 解得，； 第二中情况，当在的延长线上时，如图所示， ∵，且，即， ∴， ∴不存在； 综上所述，当与全等时，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，动点与线段和差的计算方法，掌握平面直角坐标系的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，注意分类讨论． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 位置与坐标章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．在平面直角坐标系中，，，，三角形的面积为4，则的值为 ． 2．已知：，则的最小值是 ． 3．在中，，，，，则点的坐标为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，，，连接．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ．    5．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角得到另一条轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系，规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是 ；线段的长度是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，为直角三角形，其中，，，点、均在轴上且在轴上左右移动，则移动过程中的周长最小值为 ．      7．如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的点，以为边作等腰，使，则点Q的坐标是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ． 9．在一单位为的方格纸上，依图所示的规律，设定点，，，，……，连接点，，组成三角形，记为，连接，，组成三角形，记为……，连接点，，组成三角形，记为（n为正整数），请你推断，若的面积为，则坐标为 ．    10．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 ． 11．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为 ． 12．如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为 ． 二、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 15．如图，在平面直角坐标系有长方形，其两边长的比值为，点，点，其中，点是边的中点，直线交直线于点．    (1)若的坐标为，则______，______． (2)当，点恰好是边的中点时，三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标． (3)若长方形沿着轴正方向平移个单位，当，时，点到轴的距离是1，求长方形两边长的比值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 17．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 18．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 19．在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 20．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$