导数的概念和运算讲义--2023-2024学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

导数的概念和运算 学习目标： 1.导数的定义和几何意义 2.常用函数导数的推理过程 3.导数的运算 课堂引入 微积分的思想可以追溯到两千多年前，用分割的方法计算曲线的长度或者弯曲图形的面积，这样的方法一直面临的问题是：到底分割到什么程度？直到17世纪的牛顿、莱布尼兹创立了微分法、积分法，此后又有大量的数学家，如欧拉、柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯，等等，经过二三百年的努力，直到20世纪，终于走向成熟。 事实上，“积分”就是“微分”的逆运算，微分和积分是统一的；而“微分”就是我们要讲的“导数”。为了便于理解，我们可以把“导数”看成是“切线斜率”， 如图，在曲线上的两点E、F，分别设它们的坐标为（）、（），直线EF的斜率是 ，为了得到E点处的切线斜率，可以让F点向E点做运动，逐渐贴合在一起。 举个例子，设，这时候EF的斜率，当F点运动到与E贴合时，也就是，干脆我们就把代入得到,也就是E点的切线斜率为。 注意，不能一开始就让，因为这时候分母是，代入0没有意义；所以，我们先要把分母“处理掉”，处理掉之后再让。如果，这个策略可行，我们就称函数是“可导”的，得到的切线斜率称为函数的“导数”，记为，通常把上述过程简写成如下形式： 当然，对于抛物线，我们学过的方法是联立直线方程，判别式=0，那我们不妨用“判别式法”验证一下（但如果不是二次函数，判别式的策略就失效了）。 同学们现在可以模仿练习一下这个新的策略（把分母处理掉，再代入）： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 知识梳理 知识点一、导数的加减运算法则 通过上面的练习，我们不难发现导数的数乘、加减运算法则： 1、 ，其中C是一个常数 2、 知识点二、导数的乘法运算法则 3、 如果可导，那么它们的乘积求导可以这样计算: 简要证明： 用乘积求导法则计算下列导数： ① ② ③ ④ 知识点三、求导保持不变的函数 以及 4、 有没有一个函数，它的导数还是自身？也就是满足：，答案就是。至于e是如何得来的是一个很长的话题，其中，导数等于自身也是发现e的途径之一，分析学的书籍中一般用这样的定义： 或者：，以及。e像π一样是个无理数。 我们现阶段只需要掌握即可。 知识点四、复合函数求导 5、 先回忆一下复合函数，设，，则。 假如函数都是可导的，它们的复合函数求导，有如下法则： 注意上面的推导过程中，表示的正是两点直线的斜率，这样当时，得到的就是函数在点处的切线斜率。复合函数求导一般写成如下形式：，前者我们用“[]”括起来表示对的复合函数求导，后者’紧贴，表示先对求导、再与复合（即与复合）。 –例题分析– 例1、 求的导数： 例2、 用复合函数求导法则求解： –敏学思途– 求下列函数的导数： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 知识点五、对数函数求导 –知识概括– 根据复合函数求导法则，，这时候我们突然发现，代入上式得到，从而。 –例题分析– 例1、 求的导数； 例2、 求的导数； 例3、 求的导数； 例4、 求的导数； 例5、 求的导数； 例6、 对幂函数求导，其中是任意实数； –敏学思途– 求下列函数的导数： 1、 2、 （或者写成） 3、 4、 知识点六、三角函数求导 –知识概括– 关于三角函数，需要掌握，。对于这两个函数求导，我们只需证明，然后，所以。 ① 首先我们证明：。 观察右图，AB这段圆弧长，B点坐标对应，B点向X轴作垂线， 垂足为C，，再以OC 作圆弧CD。；△AOB的面积=，扇形COD的面积=，自然应该有，所以，当时，；根据“两边夹”的原理，。 这个极限可以理解为，当很微小时，弧长和正弦值是相当的。 ② 现在求的导数，，当时，就会得到。 –例题分析– 例1、 求导 例2、 求导 例3、 求导 知识点七、函数相除 –知识概括– 对于函数相除的情形，我们可以转化为，而可以利用复合函数求导， 即：，从而得到： –例题分析– 例1、 在定义域内求导； 例2、 在定义域内求导； –敏学思途– 求解下列函数的导数： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 知识点八、方程求导（隐函数） –知识概括– 有时候会遇到方程的情形，比如，它表示单位圆，对于圆我们不太喜欢写成函数形式：。但是，我们很清楚，这个方程隐含着这样的函数式。这时候我们也可以直接对方程两边关于x求导，需要注意，其中的“y”其实是隐藏在方程中函数，方程两边求导得到下式：，第一项理所当然求导得“”；第二项相当于“”，是个复合函数，求导得到，再把它改写成更方便的“”；方程的右边是“1”，它是个常数，求导得0。 –例题分析– 例1、 求证：椭圆在点P（）点处的切线方程是：。（P点在椭圆上） 例2、 求证：抛物线在点P（）点处的切线方程是：。（P在抛物线上） 例3、 求证：双曲线在点P（）点处的切线方程是：。（P点在双曲线上） –敏学思途– 1、 椭圆上的点到直线y=x+5距离的最小值是 、最大值是 。 2、 已知椭圆上的点P(1,)，求经过P点的切线方程。 3、 直线与抛物线交于M、N，若抛物线上有且仅有三个点P、Q、R满足△MNP、△ MNQ、△ MNR的面积相等，求P、Q、R的坐标。 勇攀高峰 1、 已知函数，求曲线过点P的切线的方程．（注意：点P并不在曲线上） 2、 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________． 3、 已知在点（1,f(1)）处的切线斜率为2，则的最小值为 。 4、 已知函数在（1,f(1)）处的切线经过点(a,b),a>0,b>0，则的最小值为 。 师生总结 本节介绍过去两千多年数学发展的“中心思想”：无限细分的办法解决曲线长度、弯曲图形面积的问题。这条路走通了，其核心是抓住了函数、导函数的概念，而函数的核心是，，，利用复合函数求导法则，可以求出幂函数的导数以及其他指对函数的导数，再熟练掌握加法、数乘、乘法、除法的运算法则。 自主巩固 1、 计算下列函数的导数： 1、 2、 3、ln(x+3) 4、ln(1-x) 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 2、 已知可导，求下列导数： 1、 2、 3、 4、 3、 已知函数，计算的值。 4、 已知函数，计算、的值。 10 学科网（北京）股份有限公司 $$