广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2023-2024学年高一下学期第二次段考测试数学试题

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高一第二次段考测试卷 满分 150分，考试时间 120分钟。 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1．在复平面内，复数 1 i i   对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知甲、乙两名同学在高三的 6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试 成绩），则下列说法不正确的是（ ） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第 25百分位数大于乙成绩的第 75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 第 2题 第 3题 3．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒 尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶 是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为 6 m，顶角为 2 3  的等 腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( ) A． 26 m B． 26 3 m C． 23 3 m D． 212 3 m 4．某社区为迎接 2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比 为 12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个 80人的样本进行调查，则应抽取的青年人 的人数为（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 5．已知一组数据 3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的 35%分位数是（ ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．在△ ���中，角�、�、�对的边分别为�、�、�．若� = 4，� = 5，� = 61，则角�等于（ ） A．120° B．90° C．60° D．45° 7．已知向量 (2, 1), (1,3)a b     ，则向量 2a b   在向量 a  方向上的投影向量为（ ） A． (6, 3) B． (2 5, 5) C． 6 5 3 5, 5 5       D． 6 3, 5 5      学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北 30°的方向上，行驶600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 60°，求此山的高度CD  A．300 6 B．100 6 C．100 D．300 二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分） 9．已知 ，  是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ） A．若 l ∥ ，m ∥ ，则 l m∥ B．若 l ∥ ， ∥ ， l  ，则 l ∥ C．若 l  ，m  ，  ，则 l m D．若  ， m   ， l m ，则 l  10．如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH的中心，且 1AB  uuur ，则（ ） A． AH  与CF  能构成一组基底 B． 0OA OC    C． 2OA OC OB     D． 2 2 AC CD     第 10题 第 11题 第 12题 11．某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并 根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为 0.004 B．如果规定年利润低于 600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有 80%的小微企业能享受该 政策 C．样本的中位数为 520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为 460 12．如图，在直三棱柱�1�1�1 − ���中，�� ⊥ ��，�� = �� = 2，��1 = 4，D是 BC的中点．则下列 判断正确的是（ ） A．�1�∥平面��1� B．异面直线�1�与�1�所成角的余弦值为 3 10 10 C．�1� ⊥ �� D．平面���1与平面���1所成角的正弦值为 5 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 第Ⅱ卷(非选择题 共 90分) 三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13．已知 i为虚数单位，则 2020 2021 2022i i i   _________． 14．已知平面向量  3, 2a   ，  1,b m   且 a b  与  2,1c  共线，则 m的值为______． 15．某中学为了估计该校高一年级全体学生的平均身高和方差，现采用样本量按比例分配的分层抽样方 法抽取了容量为 90 的样本，经计算得男生抽取 50 人，样本的均值为 170，方差为 19，女生抽取 40 人， 样本的均值为 161，方差为 28，依据以上数据，若用样本的方差估计高一全体学生身高的方差，则高一 年级学生身高方差的估计值为_________． 16. 如图，圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，��是圆锥的高，点 C是底面直径��所对弧的中点，点 D 是母线��上的点，�� = 2��，则直线��与平面���所成的角的正切值为 ． 四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） ABC 的内角 , ,A B C的对边分别是 , ,a b c，已知 4cos 5 B  ，且 ABC 的面积为 24. (1)求 BA BC   ；(2)若 5 4 c a ，求b . 18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段 40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回 答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； (3)估计这次考试的众数、平均分． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 19．（12分）已知 a = 1， a ⋅ b = 1 4 ， a + b ⋅ a − b = 1 2 . (1)求 b 的值； (2)求向量a − b 与a + b 夹角的余弦值． 20．（12分）如图，正方形 ABCD与平面 BDEF交于 BD，DE 平面 ABCD， / /EF 平面 ABCD，且 2 2 DE EF AB  . (1)求证： //BF 平面 AEC；(2)求证：DF 平面 AEC. 21．（12分） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设  3 sin 2 cosb A a B  ． (1)求 B；(2)若 ABC 的面积等于 3，求 ABC 的周长的最小值． 22．（12分）如图，在四棱锥� − ����中，底面����是正方形，侧面 QAD是正三角形，侧面��� ⊥底 面����，M是 QD的中点． (1) 求证：�� ⊥平面���；(2)求侧面 QBC与底面����所成二面角的余弦值； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高一第二次段考测试卷 说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 答案无效。 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。 第 I卷(选择题 共 60分) 一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求.） 1．（2023春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）在复平面内，复数 1 i i   对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数除法法则得到 1 i 1 i i     ，从而确定所在象限. 【详解】       1 i i1 i 1 i i i i           ，故 1 i i   在复平面内对应的点坐标为  1,1 ，位于第一象限. 故选：A 2．（2022秋·广东汕头·高三统考期末）已知甲、乙两名同学在高三的 6次数学测试的成绩统计如图（图标 中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第 25百分位数大于乙成绩的第 75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确； 将甲成绩进行排序，又 0 06 25 1.5  ，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第 25百分位数，估计 值为 90分， 将乙成绩进行排序，又 0 06 75 4.5  ，故从小到大，选择第 5个成绩成绩作为乙成绩的第 75百分位数， 估计值大于 90分， 从而甲成绩的第 25百分位数小于乙成绩的第 75百分位数，B错误； 甲成绩均集中在 90分左右，而乙成绩大多数集中在 60分左右，故 C正确. 故选：B 3．（2023秋·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋 代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多 见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过 圆锥旋转轴的截面)是底边长为 6 m，顶角为 2 3  的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( ) A． 26 m B． 26 3 m C． 23 3 m D． 212 3 m 【答案】B 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径 r和母线 l，根据侧面积公式πrl即可 求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面， 由题意，底面圆半径为 3r m＝ ，母线 2 3 sin 3 rl m  ＝ ＝ ，侧面积πrl＝π×3× 2 3＝6 23m ﹒ 故选：B. 4．（2022春·广东韶关·高一统考期末）某社区为迎接 2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的 老年人、中年人、青年人的人数比为 12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个 80人的 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】D 【分析】由分层抽样抽样比可得答案. 【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为 1380 26 12 15 13     . 故选：D． 5．（5分）（22-23高一上·河南安阳·期末）已知一组数据 3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的 35% 分位数是（ ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【解题思路】根据百分位数的计算方法求解. 【解答过程】 因为有 8个数，且 8 × 35% = 2.8，所以 35%分位数是第三个数 5． 故选：D. 6.在△ ���中，角�、�、�对的边分别为�、�、�．若� = 4，� = 5，� = 61，则角�等于（ ） A．120° B．90° C．60° D．45° 【解题思路】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由余弦定理可得 cos� = � 2+�2−�2 2�� =− 1 2 ，∵ 0° < � < 180°，故� = 120°. 故选：A. 7．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知向量 (2, 1), (1,3)a b     ，则向量 2a b   在向量 a  方向上 的投影向量为（ ） A． (6, 3) B． (2 5, 5) C． 6 5 3 5, 5 5       D． 6 3, 5 5      【答案】D 【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可. 【详解】因为 (2, 1), (1,3)a b     ，所以  2 4 5a b    ， ， (2, 1)a    ， 向量 2a b   在向量 a  方向上的投影向量为      2 2, 18 3 3 6 32, 1 , 5 5 55 5 a b a a a a                    . 8．（2023春·广东广州·高一广州市第七中学校考期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行 驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北 30°的方向上，行驶600m后到达 B处，测得此山顶在 西偏北 75°的方向上，仰角为 60°，求此山的高度CD （ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．300 6 B．100 6 C．100 D．300 【答案】A 【分析】求出 75 30 45ACB     ，由正弦定理求出 300 2BC  ，进而利用三角函数求出高度CD . 【详解】如图由题意得： 30 , 75BAC HBC     ， 600AB  ， 在 BCD△ 中， 60CBD  ， 在 ABC 中， 75 30 45ACB     ， 由正弦定理得： sin sin AB BC ACB BAC    ，即 600 sin 45 sin 30 BC   ， 解得： 300 2BC  ， 由于 CD⊥平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 CD⊥BC， 则 tan 60 300 2 3 300 6CD BC     （m）. 故选：A 二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分） 9．（2022春·广东韶关·高一统考期末）已知 ，  是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列 说法正确的有（ ） A．若 l ∥ ，m ∥ ，则 l m∥ B．若 l ∥ ， ∥ ， l  ，则 l ∥ C．若 l  ，m  ，  ，则 l m D．若  ， m   ， l m ，则 l  【答案】BC 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可． 【详解】对于 A，若 l ∥ ，m ∥ ，l和 m可以相交，故错误； 对于 B，若 l ∥ ， ∥ ， l  ，则 l ∥ ，正确； 对于 C，若 l  ，  ，则 //l  或 l在  内，又m  ，则 l m 正确； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，若  ， m   ， l m ，可能 l  ，故不一定成立． 故选：BC． 10．（2022·广东惠州·统考一模）如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH的中心，且 1AB  uuur ，则（ ） A． AH  与CF  能构成一组基底 B． 0OA OC    C． 2OA OC OB     D． 2 2 AC CD     【答案】BC 【分析】对 A，由正八边形性质可证 AH  与CF  平行，即可由基底定义判断； 对 B，由正八边形性质可证OA OC ，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断； 对 C，由OA OC ，利用平行四边形法则即可计算； 对 D，由 AC CD AB CD BC CD           ，即可根据向量数量积定义计算 【详解】 连接 BG，CF，由正八边形的性质可知， AH BG∥ ，CF BG∥ ，所以 AH CF∥ ，所以 AH  与CF  是共线 向量，所以 AH  与CF  不能构成一组基底，A项错误； 1 2 4 2 AOC     ，所以OA OC ，所以 0OA OC    ，B项正确； 因为OA OC   ，由平行四边形法则可知， 2OA OC OB     ，C项正确； 正八边形的每一个内角为  1 38 2 8 4     ， AB CD ， 所以   2 3 2cos 4 2AC CD AB BC CD AB CD BC CD BC                          ，D项错误（或者从正八边形 的性质可知 AC  与CD  的夹角为锐角，则有 0AC CD    可判断 D错误）. 故选：BC 11．（5分）（22-23高一上·河南安阳·期末）某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小 微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为 0.004 B．如果规定年利润低于 600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有 80%的小微企业能享受 该政策 C．样本的中位数为 520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为 460 【解题思路】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【解答过程】 由 0.0005 + 0.0015 + 0.002 + 0.0015 + 0.0005 + � × 100 = 1，得� = 0.004，故样本数 据落在区间 500,600 内的频率为 0.4，A错误； 样本数据低于 600的频率为 0.8，B正确； 200,500 对应的频率为 0.4， 200,600 对应的频率为 0.8，所以中位数在 500,600 内，故中位数为 500 + 0.5−0.4 0.4 × 100 = 525，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为 200 × 0.05 + 300 × 0.15 + 400 × 0.2 + 500 × 0.4 + 600 × 0.15 + 700 × 0.05 = 460，D正确． 故选：BD. 12．12．（5分）（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱�1�1�1 − ���中，�� ⊥ ��，�� = �� = 2， ��1 = 4，D是 BC的中点．则下列判断正确的是（ ） A．�1�∥平面��1� B．异面直线�1�与�1�所成角的余弦值为 3 10 10 C．�1� ⊥ �� D．平面���1与平面���1所成角的正弦值为 5 3 【解题思路】 由线面平行的判断即可判断 A，由异面直线夹角的定义以及余弦定理即可判断 B，由线面垂直的性质定理 即可判断 C，由二面角的定义即可判断 D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答过程】如图，连接�1�交��1于 E，连接 DE，易知 E为��1中点， 则��∥�1�，且�� ⊂面��1�，�1� ⊄面��1�，所以�1�∥面��1�，选项 A正确； 因为�� = ��，D是 BC的中点，所以�� ⊥ ��，且�1�1�1 − ���为直三棱柱， 则��1 ⊥平面���，又�� ⊂平面���，所以��1 ⊥ ��，且��1 ∩ �� = �， ��1, �� ⊂平面��1�，所以�� ⊥平面��1�， 又�1� ⊂平面��1�，所以�1� ⊥ ��，故 C正确； 延长�1�交�1�于点 P，连接 PA．则 PA为平面���1与平面���1的交线， 由于 D为 BC中点．∴�� = ��1．四边形���1�为平行四边形． ∴��∥��1，即∠APD为异面直线�1�与�1�所成角， ∴�� = �� = 2，�� = 4，�� = ��2 + ��2 = 2 5，�� = ��2 + ��2 = 3 2， 可得 cos∠��� = �� 2+��2−��2 2��⋅�� = 3 10 10 ，故 B正确； 关于选项 D，�� ⊥平面 ABD．则平面��� ⊥平面 ABD．从而三面角� − ���为“直三面角”． 分离后设∠��� = �，∠��� = �，∠��� = �，二面角� − �� − �的平面角为�， 且�� = 2�� = �� = 2，�� = 4． 则在 Rt △ ���中，�� = 3 2．在 Rt △ ���中，�� = 2 5． 在 Rt △ ���中，cos∠��� = 3 2 2 5 = 3 10 10 ．∴sin� = sin� sin� = 1 2 3 2 2 5 = 5 3 ．故 D正确. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故选：ABCD． 第Ⅱ卷(非选择题 共 90分) 三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）已知 i为虚数单位，则 2020 2021 2022i i i   _________． 【答案】i 【分析】根据虚数单位的定义，可得 4i 1n  ， 4 1i in  ， 4 2i 1n   ， 4 3i in   ，根据其周期性，可得 2020 2021 2022i i i  每一项结果，可得答案. 【详解】由 4i 1n  ， 4 1i in  ， 4 2i 1n   ， 4 3i in   ，得 2020 2021 2022i i i 1 i 1 i      ． 故答案为：i. 14．（2022春·广东深圳·高一校考期中）已知平面向量  3, 2a   ，  1,b m   且a b  与  2,1c  共线，则 m的值为______． 【答案】3 【分析】根据平面向量的坐标运算可得 (2, 2)a b m     ，结合共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】由 (3, 2) (1, )a b m      ， ， 得 (2, 2)a b m     ， 因为 a b   与 c  共线， (2,1)c   ， 所以 2 1 2( 2)m   ，解得 3m  . 故答案为：3. 15．某中学为了估计该校高一年级全体学生的平均身高和方差，现采用样本量按比例分配的分层抽样方 法抽取了容量为 90 的样本，男生抽取 50 人，经计算得样本的均值为 170，方差为 19，女生抽取 40 人， 经计算得样本的均值为 161，方差为 28，依据以上数据，若用样本的方差估计高一全体学生身高的方差， 则高一年级学生身高方差的估计值为_________． 【答案】43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 抽取的样本的均值为 50 40170 161 166 50 40 50 40       ，抽取的样本的方差为     2 21 50 19 170 166 40 28 161 166 4390           16．（5分）（22-23高一下·甘肃临夏·期末）如图，圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，��是圆锥的高，点 C是底面直径��所对弧的中点，点 D是母线��上的点，�� = 2��，则直线��与平面���所成的角的正 切值为 9 43 43 ． 【解题思路】作出直线��与平面���所成的角，求出 OD的长，解直角三角形即可求得答案. 【解答过程】连接��, ��， 因为��是圆锥的高，故�� ⊥平面���，�� ⊂平面���， 故�� ⊥ ��，又点 C是底面直径��所对弧的中点，则�� ⊥ ��， �� ∩ �� = �, ��, �� ⊂平面���，故�� ⊥平面���， 则∠���即为直线��与平面���所成的角， 因为圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，故 cos∠��� = 3 4 ， �� = 2��，则�� = 4 3 , 故�� = ��2 + ��2 − 2�� ⋅ �� ⋅ cos∠��� = ( 4 3 )2 + 9 − 2 × 4 3 × 3 × 3 4 = 43 3 , 在 Rt △ ���中，tan∠��� = �� �� = 343 3 = 9 43 43 , 即直线��与平面���所成的角的正切值为9 43 43 ， 故答案为： 9 43 43 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习） ABC 的内角 , ,A B C的对边分别是 , ,a b c，已 知 4cos 5 B  ，且 ABC 的面积为 24. (1)求 BA BC   ； (2)若 5 4 c a ，求b . 【答案】(1)64 (2)6 【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系得到 3sin 5 B  ，然后利用三角形面积 80ac  ，然后代入向量的 数量积即可求解； (2)结合（1）知 80ac  ，可得到 ,a c，然后利用余弦定理即可求出结果. 【详解】（1）因为 4cos 5 B  ，所以 3sin 5 B  . 因为 ABC 的面积为 24，所以 1 3 24 2 5 ac  ，即 80ac  ， 所以 4cos 80 64 5 BA BC ac B       . （2）由（1）知 80ac  ，又 5 4 c a ， 所以 25 80 4 a  ，解得 8a  ，从而 10c  ， 在 ABC 中，由余弦定理可得： 2 2 2 48 10 2 8 10 36 5 b        ， 解得 6b  . 18．（12分）（22-23高一下·新疆喀什·期末）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60名学生，将 其成绩（均为整数）分成六段 40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 后，画出如图所示部分频 率分布直方图．观察图形，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)估计这次考试的众数、平均分． 【解题思路】（1）根据频率和等于 1，即可求解；（2）根据中位数平分直方图的面积，列出方程求解即可； （3）根据众数的定义及平均数的计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为各组的频率和等于 1， 故第四组的频率：�4 = 1 − 0.025 + 0.015 × 2 + 0.01 + 0.005 × 10 = 0.3 直方图如图所示． （2）成绩在 40,70 的频率为 0.01 + 0.015 + 0.015 × 10 = 0.4, 成绩在 40,80 的频率为：0.4 + 0.03 × 10 = 0.7，∴中位数在 70,80 内. 设中位数为�， ∵中位数要平分直方图的面积 ∴ 0.4 + 0.03 × � − 70 = 0.5， 解得� ≈ 73.即中位数为 73. （3）频率最大的是 70,80 组，则众数是 75； 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 45�1 + 55�2 + 65�3 + 75�4 + 85�5 + 95�6 = 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.05 = 71 估计这次考试的平均分是 71分． 19．已知 a = 1， a ⋅ b = 1 4 ， a + b ⋅ a − b = 1 2 . (1)求 b 的值； (2)求向量a − b 与a + b 夹角的余弦值． 【解题思路】（1）由 � + � ⋅ � − � = � 2 − � 2 = 1 2 ，可求 � 的值； （2）利用向量数量积求出 � + � = 2， � − � = 1，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【解答过程】（1） � + � ⋅ � − � = � 2 − � 2 = 1 2 ， 由 � = 1，得 1 − � 2 = 1 2 ，所以 � = 2 2 . （2）因为 � + � 2 = � 2 + 2� ⋅ � + � 2 = 1 + 2 × 1 4 + 1 2 = 2， � − � 2 = � 2 − 2� ⋅ � + � 2 = 1 − 2 × 1 4 + 1 2 = 1， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以 � + � = 2， � − � = 1. 令向量� − � 与� + � 的夹角为θ， 则 cos� = � +� ⋅ � −� � +� � −� = 1 2 2×1 = 2 4 ， 即向量� − � 与� + � 夹角的余弦值是 2 4 . 20．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，正方形 ABCD与平面 BDEF交于 BD， DE 平面 ABCD， / /EF 平面 ABCD，且 2 2 DE EF AB  . (1)求证： //BF 平面 AEC； (2)求证：DF 平面 AEC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由条件可证四边形 BOEF为平行四边形，则 / /OE BF，再由线面平行的判定定 理即可证明； （2）根据题意，先由线面垂直的判定定理可证 AC 平面 BDEF，从而可得 AC DF ，即可得到证明. 【详解】（1） 如图，设 AC与 BD交于点 O，则 O为正方形 ABCD的中心，连接 OE，不妨令 2AB  . 则 1DE EF  . ∵四边形 ABCD为正方形，∴ 2 2 2BD AB BO   . ∵ / /EF 平面 ABCD，且平面 ABCD平面 BDEF BD ， EF 面 BDEF， ∴ / /EF BD， ∴ / /EF OB， EF OB ，即四边形 BOEF为平行四边形， ∴ / /OE BF . 又OE 平面 AEC， BF 平面 AEC， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ //BF 平面 AEC. （2）连接 OF. ∵ / /EF DO，且 EF DO ，DE EF ，∴四边形 ODEF为菱形. ∵DE 平面 ABCD， ∴四边形 ODEF为正方形，∴DF OE . 又四边形 ABCD为正方形， ∴ BD AC . ∵DE 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， ∴DE AC . 而BD DE D  ，且 BD 平面 BDEF，DE 平面 BDEF， ∴ AC 平面 BDEF. ∵DF 平面 BDEF， ∴ AC DF . 又OE AC O  ，OE， AC 平面 AEC， ∴DF 平面 AEC. 21． ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设  3 sin 2 cosb A a B  ． (1)求 B； (2)若 ABC 的面积等于 3，求 ABC 的周长的最小值． 【答案】(1) 2π 3 B  (2) 4 2 3 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得 ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）解：因为 3 sin (2 cos )b A a B  ， 所以 3 sin sin sin (2 cos )B A A B  ， 因为 sin 0A  ， 所以 3sin cos 2B B  ， 所以 π2sin 2 6 B      ， ∵ (0, π)B ，所以 π π 5π, 6 6 6 B        ， 所以 π π 6 2 B   ，∴ 2π 3 B  ； （2）解：依题意 3 3 4 ac  ，∴ac＝4， 所以 2 4a c ac   ，当且仅当 2a c  时取等号， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos 3 12b a c ac B a c ac ac         ， ∴ 2 3b  ，当且仅当 a＝c＝2时取等号， 所以 ABC 的周长最小值为 4 2 3 ． 22．（12分）如图，在四棱锥� − ����中，底面����是正方形，侧面 QAD是正三角形，侧面��� ⊥底 面����，M是 QD的中点． (1)求证：�� ⊥平面���； (2)求侧面 QBC与底面����所成二面角的余弦值； 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可得�� ⊥面���，再根据线面垂直的性质可得�� ⊥ ��，再根据 线面垂直的判定定理即可得证； （2）取��的中点�，��的中点�，连接��, ��, ��，证明�� ⊥平面���，从而可得∠���即为侧面 QBC 与底面����所成二面角的平面角，进而可得答案； 【解答过程】（1）因为侧面 QAD是正三角形，M是 QD的中点， 所以�� ⊥ ��， 因为�� ⊥ ��，面��� ⊥面����，面��� ∩面���� = ��，�� ⊂面����， 所以�� ⊥面���， 又�� ⊂面���，所以�� ⊥ ��， 又�� ∩ �� = �, ��, �� ⊂平面���， 所以�� ⊥平面���； （2）取��的中点�，��的中点�，连接��, ��, ��， 则��//��且�� = ��，�� ⊥ ��， 故�� ⊥ ��， 因为面��� ⊥面����，面��� ∩面���� = ��，�� ⊂面���， 所以�� ⊥面����， 因为��, �� ⊂面����，所以�� ⊥ ��, �� ⊥ ��， 又�� ∩ �� = �, ��, �� ⊂平面���，所以�� ⊥平面���， 又�� ⊂平面���，所以�� ⊥ ��， 则∠���即为侧面 QBC与底面����所成二面角的平面角， 设�� = 2，则�� = 2, �� = 3，故�� = 4 + 3 = 7， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以 cos∠��� = �� �� = 2 7 = 2 7 7 ， 即侧面 QBC与底面����所成二面角的余弦值为2 7 7 ；