广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期八年级数学期中考试卷 一、单项选择题：（每小题3分，共30分） 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各组数中，是勾股数的一组是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.下列说法正确的是(    ) A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5.已知平行四边形中，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.在四边形中、相交于点，下列说法错误的是(    ) A. ，，则四边形是平行四边形 B. ，且，则四边形是菱形 C. ，则四边形是矩形 D. 且，则四边形是正方形 8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形如图拼成的一个大正方形如图设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则图中的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其周长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，四边形是矩形纸片，翻折，，使边，与对角线重叠，且顶点，恰好落在同一点上，折痕分别是，，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11.化简的结果是______． 12.如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为，，写出数轴上点所表示的数是______． 13.如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则           ．第13题图 14.如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为          ． 15.如图，菱形的周长为，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则周长的最小值是______． 第14题图 16.如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，下列结论： ≌； 点到直线的距离为； ； ． 其中正确的是            ． 第16题图 第15题图 三、解答题：（本题共7小题，共72分） 17.分计算下列各小题： ； （2） 18.分如图，在矩形中，为的中点，过点作分别交，于点，求证：四边形是菱形． 19.分如图，在四边形中，，为上一点，且，，，求证：四边形为平行四边形． 20.分如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点的米远的点处同时开始测量，点为终点．小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了．亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？ 21.分老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．文文通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以，得到的值，再利用完全平方公式求出． 【类比探究】参考上文的思路，解决下列问题： 已知，求的值． 已知，求的值． 22.本小题分 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 23.本小题分 已知正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，且． 如图，分别连接、、，则的形状是______； 如图，连接交对角线于点，若，求的长； 如图，若点、分别在、上，且，连接交于点，当与的夹角为时，求的长． 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. 解：   18. 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， 为的中点， ， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形．  19. 证明：， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形．  20. 解：中，， 设米，米，米， 则， ， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即米 米，米，米， 设这个直角三角形的花台斜边上的高为米， ， 解得， 答：这个直角三角形的花台斜边上的高为米．  21. 解：等式两边都除以，得， 即， 两边平方，得， ， ； 等式两边都除以，得， 所以， ．  22. 证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ， 由得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ．  23. 解：等腰直角三角形； 如图，过点作，交于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ，，， ≌， ， ，， ， ，， ； 如图，连接，， 由可知：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ．  【解析】 1. 解：、不是最简二次根式，故本选项错误； B、是最简二次根式，故本选项正确； C、，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：． 化简得到结果，即可作出判断． 此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键． 2. 略 3. 解：、，，都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； C、，， ， 本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； D、，， ， 正整数，，是勾股数，符合题意； 故选：． 根据勾股数的概念判断即可． 本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 4. 解：、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意； 故选：． 利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解． 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 5. 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 解得：， ， 故选：． 先根据平行四边形的性质可得，，再由已知条件计算出的度数，即可得出的度数． 此题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对角分别相等． 6. 解：由折叠可得， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故选：． 在中，由，得到，即可求解． 本题考查的是翻折变换折叠问题和勾股定理，明确是本题解题的关键． 7. 【分析】 本题考查特殊四边形的判定，记住特殊图形如筝形，等腰梯形等的形状，可以帮助解决问题． 根据菱形，平行四边形、矩形及正方形的判断方法判断． 【解答】 解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意； B、，且，则四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； C、，则四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； D、且，则四边形是正方形，此选项正确，不符合题意； 故选：． 8. 解：由图形可知，中间四边形的边长为的小正方形， 大正方形的面积为， ， 又大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ， ， ， 负值已舍， 即图中小正方形的边长为， ， 故选：． 由图形可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键． 9. 【分析】 本题考查了菱形面积的计算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据、的值求的值是解题的关键．根据菱形的面积和可以计算的长，在中，已知、根据勾股定理即可求得的值，即可解题． 【解答】 解：菱形的面积，，， ， ，， 在中， ， 菱形的周长， 故选A． 10. 由折叠可知，，由矩形的性质可知，，所以，，所以，所以因为，，所以垂直平分，所以，所以，所以． 11. 解：． 故答案为：． 利用二次根式乘除运算法则求出即可． 此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 12. 解：， 则， 在原点右侧． 则点所表示的数是． 故答案为：． 首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号，再根据运算法则进行判断． 13. 【分析】 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上中线的性质，此题中，是联系线段和间数量关系的一条关键性线段． 首先由直角三角形的性质求得，然后根据三角形中位线定理得到，此题得解． 【解答】 解：在中，，为的中点，， ． 又、分别为、的中点， 是的中位线， ． 故答案是：． 14. 略 15. 解：如图，菱形的周长为， ， 连接，与交于点，连接，此时，值最小． 四边形是菱形，， ， ， 为等边三角形， ， 是中点， ，， ， ． 周长的最小值是 16. 【分析】 利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；过作，交的延长线于，利用中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． 【解答】 解：，， ， 在和中， ， ≌故正确； ≌， ， 又，， ， ，故正确； 过作，交的延长线于， ，， ， 又中，， ， ， ， ，故不正确； ，， 在中，， ，故正确， 故答案为：． 17. 先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可． 先展开完全平方式，再进行加减运算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键． 18. 根据矩形的性质证明≌，得，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解决问题． 此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌． 19. 证明≌，得出，由平行四边形的判定可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键． 20. 本题考查了勾股定理的应用，面积法的应用，熟练正确勾股定理是解题的关键． 设米，米，米，得到，，根据勾股定理列方程解得，根据三角形的面积即可得到结论． 21. 把已知等式两边除以可得到，再把等式两边平方，然后利用完全平方公式展开即可得到的值； 把已知等式两边除以可得到，再利用完全平方公式得到，然后利用算术平方根的定义求解． 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用完全平方公式是解决问题的关键． 22. 【分析】 根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； 由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 23. 解：四边形是正方形， ，， ， 又， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 见答案； 见答案． 由“”可证≌，可得，，可证，即可求解； 过点作，交于，由“”可证≌，可得，由勾股定理和直角三角形的性质可求解； 连接，，由可知：是等腰直角三角形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，由勾股定理可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． $$