专题02 不等式（含基本不等式）与一元二次函数、一元二次不等式（4类经典基础+2类优选提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江西专用）

专题02 不等式（含基本不等式） 与一元二次函数、一元二次不等式 不等式的性质 1．（多选题）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（22-23高一上·江西·期中）对于实数a、b、c，下列命题正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 4．（多选题）（23-24高一上·江西新余·期中）下列表述正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的取值范围是 ． 基本不等式 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）若，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．7 D．3 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 4．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江西上饶·期中）已知，则的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（多选）（23-24高一上·江西九江·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数、，都有 D．若正实数、满足，则 7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式．现有一个三角形的三边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西新余·期中）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知是正数，且满足，求的最小值． 求解一元二次不等式 1．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）不等式的解集是 . 4．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 5．（22-23高一上·江西九江·期中）下列关于的不等式的解集，其中是常数， (1) (2) 一元二次不等式的实际应用 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 基本不等式的应用 1．（23-24高一上·江西·期中）若，，且，则的最小值是（    ） A．43 B．49 C．39 D．36 2．（23-24高一上·江西·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．25 B． C．5 D． 3．（23-24高一上·江西·期中）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 5．（多选）（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）设，则的最小值为 . 7．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是 . 8．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的最大值为 . 9．（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 二次函数及一元二次不等式的综合应用 1．（23-24高一上·江西·期中）若集合，则的取值范围为 . 2．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知不等式的解集为 (1)求证：方程必有两个不同的根； (2)若方程的两个根分别为，，求的取值范围． 3．（23-24高一上·江西·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 4．（23-24高一上·江西九江·期中）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的定义域是. (1)当时，求函数的值域； (2)若，都有，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江西·期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 7．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 8．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 9．（23-24高一上·江西·期中）已知不等式，其中x，k∈R． (1)若x＝4，解上述关于k的不等式； (2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式（含基本不等式） 与一元二次函数、一元二次不等式 不等式的性质 1．（多选题）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质结合特殊值法及作差法一一判定选项即可. 【详解】因为，故A正确； 若，故B、C错误； ，由题意可知，即成立， 故D正确； 故选：AD 2．（多选题）（23-24高一上·江西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用作差法判断C. 【详解】对于A：因为，所以，又，由加法性质知，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，因为，所以， 但是的正负号不确定，所以与大小关系不确定，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，又，所以， 又，由加法性质知，故D错误； 故选：AB 3．（多选题）（22-23高一上·江西·期中）对于实数a、b、c，下列命题正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，，则， 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项. 【详解】A.当时，，故A错误； B.若，则，且，即，故B正确； C. ， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； D.若，，则，且，则，可知，故D正确. 故选：BCD 4．（多选题）（23-24高一上·江西新余·期中）下列表述正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】BD 【分析】通过反例判断选项A、C；根据不等式的性质及作差法可判断选项B、D. 【详解】对于选项A：令， 则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B：因为 所以. 又因为， 所以，故选项B正确； 对于选项C：当时，无意义，故选项C错误； 对于选项D：因为 所以，即，故选项D正确. 故选：BD. 5．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，所以， 故答案为:. 基本不等式 1．（23-24高一上·江西赣州·期中）若，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．7 D．3 【答案】C 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可得解. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】把化为，利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 4．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 5．（多选）（23-24高一上·江西上饶·期中）已知，则的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BCD 【分析】利用拼凑法变形，再利用基本不等式求出最小值，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以观察选项，知的取值可以是，即BCD正确，A错误. 故选：BCD. 6．（多选）（23-24高一上·江西九江·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数、，都有 D．若正实数、满足，则 【答案】BD 【分析】取可判断A选项；解方程，可判断B选项；取，，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，由可得，解得，B对； 对于C选项，不妨取，，则，C错； 对于D选项，若正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，D对. 故选：BD. 7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式．现有一个三角形的三边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，代入公式，结合基本不等式可得解. 【详解】，，，又由三角形边长关系可得，， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：C. 8．（23-24高一上·江西新余·期中）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知是正数，且满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）根据不等式的性质即可求解. （2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 利用不等式的性质得，即， 又因为，所以. （2）由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以的最小值为. 求解一元二次不等式 1．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 2．（多选）（23-24高一上·江西赣州·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项. 【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或， 那么，所以， 所以，且，故A、C正确，B错误； 不等式， 即，解得:, 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】移项通分转化为一元二次不等式即可. 【详解】.解得或. 则解集为， 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（22-23高一上·江西九江·期中）下列关于的不等式的解集，其中是常数， (1) (2) 【答案】(1) (2)解集见解析 【分析】（1）因式分解可得，再求解即可. （2）讨论得出解集即可. 【详解】（1）， 所以不等式的解集为； （2）不等式可化为， 进一步得， 所以当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 一元二次不等式的实际应用 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【答案】(1)80； (2)14. 【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解. （2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得， 所以调整后技术人员的人数x最多为80. （2）依题意，，整理得：， ，而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以正整数t的最大值为14. 基本不等式的应用 1．（23-24高一上·江西·期中）若，，且，则的最小值是（    ） A．43 B．49 C．39 D．36 【答案】B 【分析】通过已知条件等式，结合“1”的代换，利用基本不等式求解最值. 【详解】因为，所以， 已知， 由，得， 则 ， 当且仅当，则由，解得， 即当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·江西·期中）已知，，则的最小值为（    ） A．25 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】由，可得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B 3．（23-24高一上·江西·期中）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再利用重要不等式计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 即，故，当且仅当时取等号， 又，所以，故，当且仅当时取等号. 故选：D 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可. 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 5．（多选）（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断. 【详解】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，所以A正确，B错误， 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式性质的应用，解题的关键是对已知的等式进行恰当的变形，利用完全平方的非负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，借助“”的代换将所求式子变形，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是 . 【答案】 【分析】依题意可得、是关于的一元二次方程的两根且，，利用韦达定理可得且，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 所以、是关于的一元二次方程的两根且，， 所以，所以且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 8．（23-24高一上·江西·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】分式上下同除以变形，再将分母配凑为三项的完全平方式与的形式，最后利用基本不等式与平方的非负特点求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，则. 因为 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 即的最大值为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，且，由对称性可得：， 由勾股定理可得： , 又,, 设，的周长为,则, ，. 故的周长为定值2. （2）由（1）问可知：，且 ，， . 当且仅当，即，的面积S取到最大值. 二次函数及一元二次不等式的综合应用 1．（23-24高一上·江西·期中）若集合，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意得恒成立，当时，满足题意；当时，则需.结合上面两种情况即可求解. 【详解】因为， 所以恒成立， 当，即时，原不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得即解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 2．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知不等式的解集为 (1)求证：方程必有两个不同的根； (2)若方程的两个根分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意结合韦达定理可得，根据根的判别式求证即可； （2）由韦达定理可得，进而根据转化为，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）证明：由题意得，和为方程的两根，且，， 所以，即， 对于方程， 其， 所以方程必有两个不同的根. （2）由（1）知，即， 又方程的两个根分别为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 即， 所以的取值范围为． 3．（23-24高一上·江西·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【详解】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 4．（23-24高一上·江西九江·期中）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立，结合二次函数的性质，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然，故舍去， 则当时有，解得， 即实数的取值范围是． （2） 整理得，因为， 则由分离参数法，得对任意恒成立， 令，则，且， 当且仅当时，等号成立，即， 因此，即实数的取值范围是． 5．（23-24高一上·江西·期中）已知函数的定义域是. (1)当时，求函数的值域； (2)若，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的性质求解即可； （2）由题意可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，对称轴为， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为. （2）因为，都有，则， 则，解得或， 所以的取值范围为. 6．（23-24高一上·江西·期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案； （2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案. 【详解】（1）命题为假命题， 则，解得， 所以实数x的取值范围为； （2）由题意，命题或， 设其对应的集合为，则或， 命题或， 设其对应的集合为，则或， 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可. （2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解. 【详解】（1）若方程两根为，，则，且，， 所以，即， 所以或，经检验满足，故或. （2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或. 8．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式和其对应一元二次方程根的关系确定，解得答案. （2）变换得到，根据均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）不等式的解集为，则，解得. （2）若，则， 对任意，都有恒成立，即， （当且仅当时等号成立），故， 即. 9．（23-24高一上·江西·期中）已知不等式，其中x，k∈R． (1)若x＝4，解上述关于k的不等式； (2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值． 【答案】(1)或或} (2) 【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案． 【详解】（1）若x＝4，则不等式变形为 即， 解得或， 所以 或或， 故不等式的解集为或或}； （2）令， 则不等式对任意k∈R恒成立， 等价于对任意t≥1恒成立， 因为， 当且仅当，即t＝时取等号， 所以x≤， 故x的最大值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$