专题02 不等式（三大模块+章末仿真测试卷）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

专题02 不等式（三大模块+章末仿真测试卷） 模块一：等式与不等式 1．如果实数满足，那么（    ）． A． B． C． D． 2．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 7．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 模块二：基本不等式 8．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 10．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 12．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 13．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 19．若，且，则的最小值是 . 20．命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 21．已知正数a，b满足2a+b＝1， (1)求ab的最大值. (2)求的最小值. 22．（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 23．（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 模块三：二次函数与一元二次方程、不等式 24．不等式x2－3x－10>0的解集是（    ） A．(－2，5) B．(5，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞) 25．不等式的解集为 . 26．不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 27．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 29．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 30．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 31．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 32．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 33．已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 34．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 35．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 36．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 一、单选题 1．若，则下列命题不一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D． 5．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则（    ） A．xy的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 7．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知a > 0，b > 0，3a + b = 1，则（　　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 11．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的取值范围为 ． 13．设实数，，且满足，则的最小值为 14．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 16． (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 17．已知，（其中实数）. (1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18．实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19．设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式（三大模块+章末仿真测试卷） 模块一：等式与不等式 1．如果实数满足，那么（    ）． A． B． C． D． 2．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 7．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 模块二：基本不等式 8．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 10．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 12．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 13．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 19．若，且，则的最小值是 . 20．命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 21．已知正数a，b满足2a+b＝1， (1)求ab的最大值. (2)求的最小值. 22．（1）若，求的最大值； （2）求在时的最小值． （3）已知，且，求的最小值． （4）已知正数满足．求的最大值． 23．（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 模块三：二次函数与一元二次方程、不等式 24．不等式x2－3x－10>0的解集是（    ） A．(－2，5) B．(5，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞) 25．不等式的解集为 . 26．不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 27．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 29．二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 30．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 31．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 32．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 33．已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 34．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 35．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 36．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 一、单选题 1．若，则下列命题不一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D． 5．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则（    ） A．xy的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 7．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知a > 0，b > 0，3a + b = 1，则（　　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 11．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的取值范围为 ． 13．设实数，，且满足，则的最小值为 14．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 16． (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 17．已知，（其中实数）. (1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18．实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19．设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 一、单选题 1．若，则下列命题不一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质一一判断即可求解. 【详解】对于A, 因为,所以,故A一定正确; 对于B,因为 ,所以,所以,故B一定正确; 对于C, 因为,所以, 所以,所以,故C一定正确; 对于D,因为,所以,所以, 所以, 若则不等式成立, 但若,则, 故D不一定成立. 故选:D. 2．不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先将分式不等式化为一元二次不等式，再求解一元二次不等式即可. 【详解】解：因为，所以，则，解得：或 所以不等式的解集是或 故选：D. 【点睛】本题考查求解分式不等式，是基础题. 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 4．已知，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D． 【答案】D 【分析】将转化为已知等式分母的形式，利用常数1代换，进而用基本不等式求得的最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为为， 故选：D. 5．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集确定是方程的两个实数根，且，进而得，化简为，即可求得答案. 【详解】由题意关于的不等式的解集是， 可知是方程的两个实数根，且， 则，则， 故即，即或 ， 即不等式的解集是， 故选：C. 6．已知，，且，则（    ） A．xy的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 【答案】D 【分析】A选项，利用基本不等式，得到，解出； B选项，根据，得到，解得，再得到，求出的取值范围是，B错误； C选项，用来表示，并求出，化简整理得到，利用基本不等式求出最值，验证是否等号成立，得到C错误； D选项，用来表示，并求出，化简整理得到，利用基本不等式求出最值，验证是否等号成立，得到D正确. 【详解】，因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 即，令，则，解得：， 则，A错误； 因为，所以，解得：或， 因为，，所以， 又，所以，所以的取值范围是，B错误； 因为，所以， 因为，即，解得：， 又因为，所以 故， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立，但，故等号取不到，C错误； ， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，D正确. 故选：D 7．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 【详解】解：由得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式 则不等式的解集是的子集， 又由得， 当，，符合； 当，，则，， 当，，符合， 故实数的取值范围为. 故选：C. 8．若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、多选题 9．已知a > 0，b > 0，3a + b = 1，则（　　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，结合A选项的分析可知：， 当且仅当时等号成立，B选项错误. C选项，， 当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD 10．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意可得，且，然后对选项逐一判断即可. 【详解】关于x的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确； 因为是方程的根，所以，解得， 所以 也即，解得，故选项B错误； 不等式等价于，也即，解得或，故选项C正确， 因为或，所以，故选项D错误， 故选:AC． 11．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 三、填空题 12．已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为： 13．设实数，，且满足，则的最小值为 【答案】 【分析】由已知等式可得，将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：， ， ，，，， （当且仅当，时取等号）， . 故答案为：. 14．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，即，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且， 解得； 综上知，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）配方法求解即可； （2）配方法求解即可； （3）先看判别式正负，确定有没有解； （4）因式分解即可求解. 【详解】（1）， ， 解得：. 所以解集为： （2）， ， 解得：. 所以解集为： （3）， ， 所以方程无解，解集为. 所以解集为： （4）， ， 解得：. 所以解集为： 16． (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值； （2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 17．已知，（其中实数）. (1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接根据一元二次不等式的解法可得答案； （2）先把必要不充分条件转化为集合的包含关系，然后列出不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】（1）由，得； ， ∵，∴， ∴. （2）∵p是q的必要不充分条件，∴， ∴或 解得， 又，∴， 即实数m的取值范围为. 18．实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 19．设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$