特训06 圆的基本性质 解答题（含基础+重点+压轴，浙江精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训06 圆的基本性质 解答题（含基础+重点+压轴，浙江精选） 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，，是的两条弦，且，求证：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，弦交于点E，且．求证：． 3．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，于E，，求的长． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，交弦于点D．若，求的长． 6．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点． (1)求证：； (2)若，求圆的半径长． 8．（2021·浙江宁波·一模）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成下列问题： (1)画出绕点O逆时针旋转后的，点的坐标为 ； (2)在（1）的旋转过程中，点B运动的路径长是多少？ 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规求作的外接圆（保留作图的痕迹） (2)若，，求弧的长． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点C顺时针旋转后得到的图形．    (1)在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：（ 　　，　　），（ 　　，　　）； (2)在旋转过程中，点B经过的路径长为 　　． 13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是的对应点）．    (1)在图中画出； (2)求弧的长； (3)可以通过绕着旋转中心点E（________，________），按逆时针方向旋转________而得． (4)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则的纵坐标的取值范围为________． 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，为的半径，点C为优弧的中点，．求证：．    15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为2，求的长． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)求的度数． (2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，点C，点D是圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，． (1)求证：； (2)若点P为的中点，求证：． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求弦的长． 24．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 26．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分弓形的面积． 27．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 28．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 29．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 30．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 31．（2024·浙江温州·三模）如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知． (1)证明：为等腰直角三角形． (2)若点C平分弧，求的面积． (3)当的某一边的长度是的2倍时，求的长． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 圆的基本性质 解答题（含基础+重点+压轴，浙江精选） 一、解答题 1．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【解析】， ， ， ． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，弦交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，根据弧、弦之间的关系证明得到，再由可证明，据此可证明． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，于E，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，如图，先计算出，再利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【解析】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， 在中，， ∴． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键； (1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； (2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； 【解析】（1）解：如图，连接 是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， （2）解：是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故的半径为 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，交弦于点D．若，求的长． 【答案】的长为4 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解． 【解析】解：∵E是弧的中点， ∴， ∴ ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为4． 6．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【解析】解：如图，连接，，，，，    ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点． (1)求证：； (2)若，求圆的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）与交于，连接，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可得证； （2）可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由余弦函数得，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，判定出是等边三角形是解题的关键． 【解析】（1）解：与交于，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， 同理可证：， ； （2）解：由（1）得 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 圆的半径为． 8．（2021·浙江宁波·一模）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论； 【解析】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【解析】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成下列问题： (1)画出绕点O逆时针旋转后的，点的坐标为 ； (2)在（1）的旋转过程中，点B运动的路径长是多少？ 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】本题考查了作图—作旋转图形，扇形弧长公式，勾股定理等知识； （1）作出三个顶点旋转后的对应点，依次连接即可；即可写出旋转后点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，由弧长公式即可求解． 【解析】（1）解：旋转的图形如下；点的坐标为 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴点B运动的路径长是． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规求作的外接圆（保留作图的痕迹） (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)弧的长为． 【分析】（1）利用直尺和圆规作斜边的垂直平分线确定圆心即可； （2）根据弧长公式即可求解． 【解析】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：， 是的直径， 连接， ∵， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ， 的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、直角三角形斜边的性质、三角形的外接圆与外心、弧长的计算，解决本题的关键是综合运用以上知识． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点C顺时针旋转后得到的图形．    (1)在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：（ 　　，　　），（ 　　，　　）； (2)在旋转过程中，点B经过的路径长为 　　． 【答案】(1)1；1；3； (2) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【解析】（1）如图，即为所求． 由图可得，，(3，-1)． 故答案为：1；1；3；．    （2）由勾股定理得，， ∴点B经过的路径长为． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是的对应点）．    (1)在图中画出； (2)求弧的长； (3)可以通过绕着旋转中心点E（________，________），按逆时针方向旋转________而得． (4)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则的纵坐标的取值范围为________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据旋转性质求出旋转后的点坐标依次连接即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理计算出扇形半径，再利用弧长公式即可得到本题答案； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可判断； （4）根据题意可得，继而可得． 【解析】（1）解：∵，，将绕原点顺时针旋转得到， ∴点， ∴ 将依次连接即可得到图形，见下图所示：    （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由图可知，连接和的对应点，并同步画出对应点连线的垂直平分线，如下图所示：    通过图像可知，旋转中心点，且旋转按逆时针方向旋转而得到； 故答案为：，； （4）解：∵点位于内（不含边界）， ∴， ∵点为点绕原点顺时针旋转的对应点，点的纵坐标 为 n， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转性质，画旋转图形，弧长公式，勾股定理，垂直平分线性质． 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，为的半径，点C为优弧的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定，通过点为优弧的中点，得，即证明，难度较小． 【解析】证明：如图，连接，    ∵点为优弧的中点， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【解析】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． （1）由，可知，得到； （2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 【解析】（1）证明：， ； （2）证明：， ， 又， ， 即． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【解析】（1）解：如图，连接， ， 设半径， 是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； （2）解：由（1）得：直径， ， ， ， ． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧、线与圆周角之间的关系，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据勾股定理即可求出答案． 【解析】（1）证：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)求的度数． (2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理， （1）由圆周角定理得，根据得，根据得，根据三角形内角和定理即可得； （2）连结，根据得，根据的半径为1得，根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得； 掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：连结， ∵是直径， ， ∵， ， ∵， ， ． （2）解：如图所示，连结， ∵， ， ∵的半径为1， ， ． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【解析】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，点C，点D是圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，． (1)求证：； (2)若点P为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】对于（1），根据垂径定理得，，再根据直径所对的圆周角是直角得，进而得出，即可得出答案. 对于（2），先证明，可得，再证明是的中位线，可得答案. 【解析】（1）∵OC为半径，， ∴，， ∴． ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴． （2）若点P为AC中点，则． ∵AB是直径， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，中位线的定义和性质，全等三角形的性质和判定，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【解析】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； （1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用即可得到结论； （2）先根据垂径定理得到，再计算出，然后利用勾股定理可计算出，从而得到的长． 【解析】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 在中， ， ． 24．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆中的弧和圆周角之间的关系． （1）连接后，证明这两条弧所对的圆周角相等，即，该题得证； （2）由这两条弧度数之比为4:5，分别求出它们的度数，再根据，求出和的度数，即可求出和，利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角的度数． 【解析】（1）解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，与的度数之比为， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【解析】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 26．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可． 【解析】（1）解：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 27．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【解析】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 28．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：的最大值分别为2.4和2.9 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式求解，垂径定理，勾股定理以及线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式； 任务二：设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解； 任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解． （2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可求解； 【解析】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，， ， 故设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：． ． 任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结． 由题意得垂直平分， ， ，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 即劣弧所在圆的半径为． 任务三： （1）按方案一改造． 解：当时，， 解得：． ． 从而的最大值为2.4． （2）按方案二改造． 解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为， ， 作于点． 由任务二知半径． 当时，． 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 从而的最大值为2.9． 综上所述，的最大值分别为2.4和2.9． 29．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【解析】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 30．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证； （）．由（）得，，再利用即可求证； （）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， 同理（）可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键． 31．（2024·浙江温州·三模）如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知． (1)证明：为等腰直角三角形． (2)若点C平分弧，求的面积． (3)当的某一边的长度是的2倍时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）先得出是直径，进而根据角平分线的定义可得，根据得出，即可得证； （2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）连接，得出是等腰直角三角形，进而分三种情况讨论，即可求解． 【解析】（1）解：∵是矩形的外接圆， ∴， ∴是直径， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，连接，过点作于点， 同（1）可得是直径， ∵点C平分弧， ∴， ∴,垂直平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，， 由（1）可得，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 又∵是直径， ∴是等腰直角三角形， ①当时， 则， ∴； ②当时， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时， ∵，， ∴，则， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或， 即， 综上所述，或或． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论； （2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到； ②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）①证明：连接、，如图， ， ， ， ∵为直径， ， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ， ∴为的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 在中， ∵， ， 整理得， 解得(舍去)， 即的长为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$