黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期 高三年级数学学科第1次考试（导数、三角函数） 班级：___________姓名：___________ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知α的终边与单位圆交于点,则cos 2α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B. C.- D.-1 2. cos 125°cos 5°+cos 35°sin 5°= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C. D.- 3.已知函数f(x)=sin x+ax在x=处取得极值,则a= (　 ) A.- B.- C. D. 4.若cos=,则sin= (　 ) A.- B.- C. D. 5.将函数f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 (　 ) A.g(x)=sin B.g(x)=sin C.g(x)=sin D.g(x)=sin. 6. 函数g(x)=x-sin x的零点个数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.3 C.2　　　 D.4 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=,n=, p=共线,则△ABC的形状为(　 ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.有一个内角是的直角三角形 D.等腰直角三角形 8．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为R,且f(x+1)为偶函数,f(x+2)为奇函数,则 (　 ) A.f(1)=0 B.f'(2)=0 C.f'(2022)+f(2021)=0 D.f(2022)+f'(2021)=0 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9.已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　 ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 10.如图所示是y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)在区间(-1,2),(4,+∞)上单调递增 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上单调递减 D.x=2是f(x)的极小值点 11.下列结论正确的有 (　 ) A.>　 B.3ln 4<4ln 3 C.>ln π　　 D.3<eln 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 函数y=x++2ln x的单调递减区间是　　　.  13.在△ABC中,已知AC=1,C=,△ABC的面积为2,则边AB的长为　　　. 14.已知实数a,b,c,d成等比数列,且当x=b时函数f(x)=ln(x+2)-x取得极大值c,则ad=　　　.  四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（13分）蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.如图,某学生为测量蜚英塔的高度CD,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=35米,∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°,求蜚英塔的高度CD。 16.（15分）已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的最小值. 17．（15分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=b, 求△ABC的面积。 18.（17分）已知函数f(x)=ln x+ -1,a∈R. (1)当a=4时,求函数f(x)在区间[e,e3]上的取值范围; (2)若关于x的不等式f(x)>1-x在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. 19．（17分）已知函数f(x)=aex-1-ln x-1. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)≥0. 参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.D 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9．BCD　10．ABC　11．BC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12.答案：(0,1) 13.答案：5 14.答案：-1 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（13 分）解： 设CD=x米,在△ACD中,∠CDA=90°,∠CAD=45°,则AD=x米.在△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=30°,则BD=x米.因为∠ADB=150°,所以由余弦定理得x2+3x2-2x·xcos 150°=,整理得7x2=,得x=35.蜚英塔的高度为35米. 16.（15 分）解：因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以f(x)的最小正周期T==π,最小值为-2. 17．（15 分）[解析] 由余弦定理得cos A=,即cos==-,又c=b,所以b=2,c=2,所以S△ABC=bcsin A=×2×2×= 18.（17 分）解:(1)当a=4时,f(x)=ln x+ -1, f'(x)=-=, 当e≤x<4时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 当4<x≤e3时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, ∴函数f(x)在区间[e,e3]上的最小值为f(4)=ln 4. 又f(e)=ln e+-1=,f(e3)=ln e3+-1=2+,2+>, ∴函数f(x)在区间[e,e3]上的最大值为f(e3)=2+, 因此函数f(x)在区间[e,e3]上的取值范围为. (2)由f(x)>-x+1,得ln x+ -1>-x+1, ∴a>-xln x-x2+2x对任意x∈[1,+∞)恒成立. 设m(x)=-xln x-x2+2x,x≥1,则m'(x)=-ln x-2x+1, ∵x∈[1,+∞),∴-ln x≤0,-2x+1<0, ∴m'(x)=-ln x-2x+1<0, ∴函数m(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴m(x)≤m(1)=1, 因此a>1,即a的取值范围是(1,+∞). 19．（17 分）解:(1)当a=1时,f(x)=ex-1-ln x-1(x>0),则f'(x)=ex-1-,得f'(1)=0, 又f(1)=0, 所以所求的切线方程为y=0. (2)证明:因为a≥1,所以aex-1≥ex-1,所以f(x)≥ex-1-ln x-1. 令φ(x)=ex-1-ln x-1(x>0),所以φ'(x)=ex-1-, 令h(x)=ex-1-(x>0),所以h'(x)=ex-1+>0, 所以φ'(x)在(0,+∞)上单调递增,又φ'(1)=0, 所以当x∈(0,1)时,φ'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0, 所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以φ(x)min=φ(1)=0, 所以φ(x)≥0,所以f(x)≥φ(x)≥0, 所以f(x)≥0. 学科网（北京）股份有限公司 $$