2024年浙江省宁波市中考数学精准模拟试卷（六）

2024年浙江省宁波市中考数学精准模拟试卷（六） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）下列算式的结果等于﹣6的是（　　） A．12﹣（﹣2） B．12÷（﹣2） C．4+（﹣2） D．4×（﹣2） 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3•x4＝x7 4．（3分）设a，b，c均为实数，（　　） A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＝b，则ac＝bc C．若ac＞bc，则a＞b D．若ac＝bc，则a＝b 5．（3分）某中老年合唱团成员的平均年龄为52岁，方差为10岁2，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员的（　　） A．平均年龄为52岁，方差为10岁2 B．平均年龄为54岁，方差为10岁2 C．平均年龄为52岁，方差为12岁2 D．平均年龄为54岁，方差为12岁2 6．（3分）如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，AC＝3，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）在面积等于3的所有矩形卡片中，周长不可能是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 8．（3分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，E分别在边AB，AC上，CD．下列命题中，假命题是（　　） A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE 9．（3分）四名同学在研究函数y＝2x2+bx+c（b，c为已知数）时，甲发现该函数的图象经过点（1，0）；乙发现当x＝2时；丙发现x＝3是方程2x2+bx+c＝2的一个根；丁发现该函数图象与y轴交点的坐标为（0，6）．已知这四名同学中只有一人发现的结论是错误的（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（3分）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，C，E三点作⊙O，延长AD交⊙O于点G，GC．设AF＝5，DF＝3（　　） A．GB B．GD C．GO D．GC 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）分解因式：﹣x2+4y2＝　 　． 12．（3分）在一个不透明的纸箱中装有4个白球和n个黄球，它们只有颜色不同．为了估计黄球的个数，杨老师进行了如下试验：每次从中随机摸出1个球，杨老师发现摸到白球的频率稳定在附近　 　． 13．（3分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，设每箱中有凉茶x罐，则可列方程：　 　． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，则sin∠BAD＝　 　． 15．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β1和S2.若α+β＝90°，则S2：S1＝　 　． 16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有两个根x1，x2，且满足1＜x1＜x2＜2．记t＝a+b，则t的取值范围是 　 　． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）（1）计算：； （2）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值． 18．（6分）圆圆和方方在做一道练习题：已知0＜a＜b，试比较与的大小． 圆圆说：“当a＝1，b＝2时，有，；因为”． 方方说：“圆圆的做法不正确，因为a＝1，b＝2只是一个特例 19．（8分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制） a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，78． c．七．八年级成绩的平均数．中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 76.8 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 　 　人，表中m的值为 　 　； （2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前； （3）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.8分的人数． 20．（8分）某同学尝试在已知的▱ABCD中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形AECF是菱形吗？请说明理由． （2）若∠B＝60°，BA＝2，BC＝4 21．（10分）小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）（min）成反比例关系，当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）关于开机时间x（min） （2）求图中t的值． （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70min回到家时，饮水机中水的温度． 22．（10分）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，连接BE． （1）依题意补全如图． （2）若∠PAB＝20°，求∠ACE． （3）若0°＜∠PAB＜60°，用等式表示线段DE，EC 23．（12分）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ ②当x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，求a的值． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18 24．（12分）如图，作半径为3的⊙O的内接矩形ABCD，设E是弦BC的中点，交⊙O于点F，G是，CG分别交AB，AF于点H，P （1）求BH； （2）求AP：PE． （3）求tan∠APH． 2024年浙江省宁波市中考数学精准模拟试卷（六） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）下列算式的结果等于﹣6的是（　　） A．12﹣（﹣2） B．12÷（﹣2） C．4+（﹣2） D．4×（﹣2） 【分析】根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则计算出结果即可求解． 【解答】解：12﹣（﹣2）＝12+2＝14≠﹣7， 12÷（﹣2）＝﹣6， 6+（﹣2）＝4﹣3＝2≠﹣6， 8×（﹣2）＝﹣8≠﹣7， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质化简计算即可得出结论． 【解答】解：A.，故本选项正确； B.＝，故本选项错误； C.＝5； D.＝＝5； 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3•x4＝x7 【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【解答】解：A、x2和x不是同类项，不能进行合并； B、x6÷x5＝x3，原式计算错误，故选项不符合题意； C、（x3）8＝x12，原式计算错误，故选项不符合题意； D、x3•x4＝x5，运算计算正确，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则，解题的关键是熟记相关的运算法则并灵活运用． 4．（3分）设a，b，c均为实数，（　　） A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＝b，则ac＝bc C．若ac＞bc，则a＞b D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】利用基本性质判断即可． 【解答】解：A、a＞b，ac＝bc； B、a＝b，故选项符合题意； C、ac＞bc，a＜b； D、ac＝bc，不成立a≠b； 故选：B． 【点评】本题考查了等式和不等式的基本性质，掌握基本性质是解题的关键． 5．（3分）某中老年合唱团成员的平均年龄为52岁，方差为10岁2，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员的（　　） A．平均年龄为52岁，方差为10岁2 B．平均年龄为54岁，方差为10岁2 C．平均年龄为52岁，方差为12岁2 D．平均年龄为54岁，方差为12岁2 【分析】根据平均数和方差的定义求解即可． 【解答】解：两年后这批成员的平均年龄为：52+2＝54岁，方差不变2， 故选：B． 【点评】本题考查了平均数和方差的定义，熟记定义是解题的关键． 6．（3分）如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，AC＝3，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC，由切线的性质得到∠OCA＝90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC＝60°，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接OC， ∵⊙O与AC相切于C， ∴半径OC⊥AC， ∴∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝30°， ∴∠AOC＝∠B+∠OCB＝30°+30°＝60°， ∵tan∠AOC＝，AC＝3， ∴OC＝＝＝， ∴△ACB的面积＝AC•OC＝＝，扇形ODC的面积＝＝π， ∴阴影的面积＝△ACB的面积﹣扇形ODC的面积＝﹣π． 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式， 7．（3分）在面积等于3的所有矩形卡片中，周长不可能是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】设矩形的长为x，周长为m，则宽为，可得，由Δ＞0求出m的求值范围即可求解． 【解答】解：设矩形的长为x，周长为m， 则， 整理得，2x2﹣mx+5＝0， ∴Δ＝m2﹣7×2×6＝m7﹣48＞0， ∴m2＞48， ∵m＞5， ∴， ∴周长不可能是7， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 8．（3分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，E分别在边AB，AC上，CD．下列命题中，假命题是（　　） A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判断选项B是真命题；BD＝CE，判断选项D是真命题；根据BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，可判断选项A是假命题． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC， ∴△DCB≌△EBC（ASA）， ∴CD＝BE，故选项B是真命题； BD＝CE，故选项D是真命题； ∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB， ∴△DCB≌△EBC（SAS）， ∴∠DCB＝∠EBC，故选项C是真命题； 不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 9．（3分）四名同学在研究函数y＝2x2+bx+c（b，c为已知数）时，甲发现该函数的图象经过点（1，0）；乙发现当x＝2时；丙发现x＝3是方程2x2+bx+c＝2的一个根；丁发现该函数图象与y轴交点的坐标为（0，6）．已知这四名同学中只有一人发现的结论是错误的（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】假设甲和丁正确，利用假设法逐项判断即可求解， 【解答】解：假设甲和丁正确，由甲可得， ∴b+c＝﹣2， 由丁可得，c＝6， ∴b＝﹣5， ∴函数为y＝2x2﹣4x+6， ∴对称轴为直线x＝2， ∵a＝2＞0， ∴当x＝2时，该函数有最小值， 故乙发现的结论是正确的， 当x＝8时，代入方程2x2﹣3x+6＝2得： 左边＝5×32﹣7×3+6＝6≠右边， ∴丙发现的结论是错误的， ∴符合四名同学中只有一人发现的结论是错误， ∴丙发现的结论是错误的， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10．（3分）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，C，E三点作⊙O，延长AD交⊙O于点G，GC．设AF＝5，DF＝3（　　） A．GB B．GD C．GO D．GC 【分析】连接CF交⊙O于点H，则BH⊥AB，设BF＝a，∠CAD＝α，则BD＝acosα，DF＝asinα，EF＝5sinα，AE＝5cosα，设⊙O的半径为r，则BE＝BF+EF＝a+5sinα＝BCcosα＝2rcosα，在Rt△GDO中，GD2＝OG2﹣DO2得出GD2＝DF•AD，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接CF交⊙O于点H， 设BF＝a，∠CAD＝α， 依题意，∠EBC+∠BCE＝∠CAD+∠DCA， ∴∠EBC＝∠CAD＝α， ∴BD＝acosα，DF＝asinα，AE＝5cosα， 设⊙O的半径为r，则BE＝BF+EF＝a+5sinα＝BCcosα＝2rcosα， ∴a2+5asinα＝5racosα①， 在Rt△GDO中，GD2＝OG2﹣DO5 ＝r2﹣（r﹣acosα）2 ＝2racosα﹣a2cosα ＝a2+5asinα﹣a2cos2α ＝a7（1﹣cos2α）+5asinα ＝a2sin2α+7asinα ＝asinα（asinα+5） ＝DF•AD； ∵AF＝5，DF＝4， ∴AD＝AF+DF＝8， ∴GD2＝7×8＝24， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）分解因式：﹣x2+4y2＝　（2y+x）（2y﹣x）　． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（2y+x）（2y﹣x）， 故答案为：（3y+x）（2y﹣x） 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．（3分）在一个不透明的纸箱中装有4个白球和n个黄球，它们只有颜色不同．为了估计黄球的个数，杨老师进行了如下试验：每次从中随机摸出1个球，杨老师发现摸到白球的频率稳定在附近　8　． 【分析】根据概率与频率的关系求解． 【解答】解：由题意得：＝， 解得：n＝8， 经检验：n＝5是原分式方程的解， 故答案为：8． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率与概率的关系是解题的关键． 13．（3分）某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，设每箱中有凉茶x罐，则可列方程：　　． 【分析】设每箱中有凉茶x罐，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程即可． 【解答】解：设每箱中有凉茶x罐， 依题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系，列出方程是解答本题的关键． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，则sin∠BAD＝　　． 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°，设CD＝a，BD＝3a，则BC＝4a，由可得，，利用勾股定理求出AD、DE，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°， ∵3CD＝BD， ∴设CD＝a，BD＝3a， ∴BC＝3a， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 15．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β1和S2.若α+β＝90°，则S2：S1＝　　． 【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，EF＝b﹣a，（b＞a），得出tan∠EBF＝tanα，即，求出，，即可解答． 【解答】解：设AE＝a，DE＝b，AF＝b，（b＞a） ∵在Rt△BEF中，∠EBF+β＝90°， ∵α+β＝90°， ∴∠EBF＝α， ∴tan∠EBF＝tanα，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证∠EBF＝α是关键． 16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有两个根x1，x2，且满足1＜x1＜x2＜2．记t＝a+b，则t的取值范围是 　﹣1＜t＜0　． 【分析】由根和系数的关系可得，x1+x2＝﹣a，x1x2＝b，得到t＝（x1﹣1）（x2﹣1）﹣1，由1＜x1＜x2＜2可得0＜（x1﹣1）（x2﹣1）＜1，即得到﹣1＜（x1﹣1）（x2﹣1）﹣1＜0，即可求解． 【解答】解：由根和系数的关系可得，x1+x2＝﹣a，x4x2＝b， ∴a＝﹣（x1+x7），b＝x1x2， ∴t＝a+b＝﹣（x3+x2）+x1x7＝（x1﹣1）（x4﹣1）﹣1， ∵5＜x1＜x2＜3， ∴0＜x1﹣6＜1，0＜x7﹣1＜1， ∴6＜（x1﹣1）（x3﹣1）＜1， ∴﹣5＜（x1﹣1）（x2﹣1）﹣1＜7， 即﹣1＜t＜0， 故答案为：﹣4＜t＜0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）（1）计算：； （2）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值． 【分析】（1）根据负整指数幂的性质，化简绝对值，特殊角的锐角三角函数值计算即可； （2）由已知求得x2﹣4x＝1，再对所求式子利用乘法公式化简，再整体代入求解即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝3； （2）∵x8﹣4x﹣1＝4， ∴x2﹣4x＝3， ∴（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1） ＝4x2﹣12x+9﹣x5+1 ＝3x6﹣12x+10 ＝3（x2﹣2x）+10 ＝3×1+10 ＝13． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则． 18．（6分）圆圆和方方在做一道练习题：已知0＜a＜b，试比较与的大小． 圆圆说：“当a＝1，b＝2时，有，；因为”． 方方说：“圆圆的做法不正确，因为a＝1，b＝2只是一个特例 【分析】计算﹣，若差值大于0，说明＞；若差值等于0，说明＝；若差值小于0，说明＜． 【解答】解：﹣ ＝ ＝， ∵0＜a＜b， ∴a﹣b＜0，b（b+8）＞0， ∴﹣＝＜0， ∴＜． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键． 19．（8分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制） a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，78． c．七．八年级成绩的平均数．中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 76.8 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 　23　人，表中m的值为 　77　； （2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前； （3）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.8分的人数． 【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得，根据中位数的定义求解可得； （2）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （3）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.8分的人数所占比例可得． 【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人， 七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数、26个数据分别为77， ∴m＝＝77， 故答案为：23；77； （2）甲学生在该年级的排名更靠前， ∵七年级学生甲的成绩大于中位数77分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数79.8分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后， ∴甲学生在该年级的排名更靠前． （3）估计七年级成绩超过平均数76.8分的人数为400×＝224（人）． 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 20．（8分）某同学尝试在已知的▱ABCD中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形AECF是菱形吗？请说明理由． （2）若∠B＝60°，BA＝2，BC＝4 【分析】（1）四边形AECF是菱形．由作图痕迹可得，∠FAC＝∠EAC，∠FCA＝∠ECA，由▱ABCD可得AD∥BC，得到∠FAC＝∠ECA，进而得到∠FAC＝∠EAC＝∠FCA＝∠ECA，推导出AE∥CF，AE＝CE，即可求证； （2）过点A作AM⊥BC于M，由∠B＝60°，得到∠BAM＝30°，进而得到BM＝1，，再由勾股定理得到ME＝1，求出CE＝2，由平行四边形面积公式即可求解； 【解答】解：（1）四边形AECF是菱形． 理由：由作图痕迹可得，∠FAC＝∠EAC， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ECA， ∴∠FAC＝∠EAC＝∠FCA＝∠ECA， ∴AE∥CF，AE＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形； （2）过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∴， ∴CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝5，， 设ME＝x，则CE＝AE＝3﹣x， ∵AM3+ME2＝AE2， ∴， 解得x＝1， ∴CE＝3﹣1＝2， ∴四边形AECF的面积＝． 【点评】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定方法，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，看懂作图是解题的关键． 21．（10分）小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）（min）成反比例关系，当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）关于开机时间x（min） （2）求图中t的值． （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70min回到家时，饮水机中水的温度． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再由y的值求出t的值； （3）根据居饮水机的反复工作的特点求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+20（0≤x≤10）， 则：10k+20＝100， 解得：k＝8， ∴y＝6k+20； （2）设当10＜x≤t时，y＝， ∴a＝xy＝10×100＝1000， ∴y＝， 当y＝20时，x＝50， 即t＝50； （3）由题意得：饮水机50分钟一个循环， 70﹣50＝20， 当x＝20时，y＝1000÷20＝50， ∴小丽散步70min回到家时，饮水机中水的温度为50°． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 22．（10分）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，连接BE． （1）依题意补全如图． （2）若∠PAB＝20°，求∠ACE． （3）若0°＜∠PAB＜60°，用等式表示线段DE，EC 【分析】（1）依题意补全图形； （2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解； （3）连接AD、BE，BE交AC于点F，根据全等三角形的判定与性质可求解． 【解答】解：（1）过点B作直线AP的垂线，交于点O，使得OD＝OB、BE， 则点D为点B关于直线AP的对称点，图1为所求的图．   （2）如图2：连接AD，   ∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD＝AB，DE＝BE， ∴∠ADB＝∠ABD，∠EDB＝∠EBD， ∴∠ADB﹣∠EDB＝∠ABD﹣∠EBD，即∠EDA＝∠EBA， ∵AB＝AC，AB＝AD， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠ABE＝∠ACE， 在△FAB与△FEC中， ∠FCE＝∠FBA，∠CFE＝∠BFA， ∴∠BAC＝∠BEC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BEC＝∠BAC＝60°， ∵∠PAB＝20°，BD⊥AP， ∴∠ABO＝90°﹣∠PAB＝70°， ∵∠EDB＝∠EBD， ∴， ∴∠ABE＝∠ABO﹣∠EBD＝70°﹣30°＝40°， ∴∠ACE＝∠ABE＝40°． （3）DE＝EC＝CA；理由如下： 如图3，连接AD，BE交AC于点F， ∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD＝AB，DE＝BE， ∴∠ADP＝∠ABP，∠EDP＝∠EBP， ∴∠EDP﹣∠ADP＝∠EBP﹣∠ABP 即∠EDA＝∠EBA， ∵AB＝AC，AB＝AD， ∴AD＝AC， ∴∠ADE＝∠ACE， ∴∠ABE＝∠ACE， ∵∠AFB＝∠CFE， 在△FAB与△FEC中，∠FCE＝∠FBA， ∴∠BAF＝∠CEF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CEF＝∠BAF＝60°， ∵AB＝BC，ED＝BE， ∴由线段AB，CE，则AB＝CE＝ED， 又∵AB＝CA， ∴DE＝EC＝CA， 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23．（12分）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ ②当x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，求a的值． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18 【分析】（1）①当t＝0时，求出点A坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴x＝2b，由二次函数图象经过原点O和点A（8+t，0），可得，分t≤8和t＞8两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【解答】解：（1）①当t＝0时，A（8， 把A（3，0），0）代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当x＝4时，y有最大值； ②∵x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等， ∴， 整理得，a2﹣3a+12＝0， 解得a＝2（不合题意，舍去）或a＝2， ∴a的值为6； （2）∵二次函数的图象经过原点O， ∴c＝0， ∴二次函数， ∴对称轴为直线x＝4b， ∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t， ∴， 当t≤8时，对称轴x＝4b≤8， ∵0≤x≤6， ∴x＝2b时，y有最大值18， 即， 整理得，b2＝18， ∴或， ∵4＜2b≤8 ∴5＜b≤4， ∴或不合； 当t＞2时，对称轴x＝2b＞8， ∵， ∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大， ∵6≤x≤8， ∴当x＝8时，y有最大值18， 即， 解得， ∴， ∴t＝9； 综上，t＝6． 【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 24．（12分）如图，作半径为3的⊙O的内接矩形ABCD，设E是弦BC的中点，交⊙O于点F，G是，CG分别交AB，AF于点H，P （1）求BH； （2）求AP：PE． （3）求tan∠APH． 【分析】（1）连接OG，利用垂径定理求得ON∥BC，利用相似三角形的判定和性质求得OM＝MN＝NG＝1，再证明△GHN∽△CHB，结合勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求得AE的长，证明，再证明△GMP∽△CEP，推出，据此求解即可； （3）连接AG，推出∠AGP＝90°，利用勾股定理分别求得AG和PG的长，据此即可求解． 【解答】解：（1）连接OG，分别交AF、N，如图1， ∵G是的中点， ∴ON⊥AB， ∴， ∵矩形ABCD内接于⊙O， ∵∠B＝90°，AC为⊙O的直径， ∵E是弦BC的中点，BC＝4， ∴， ∴ON∥BC， ∴△AMN∽△AEB，△AOM∽△ACE， ∴，， ∴MN＝4，OM＝1， ∵半径为3， ∴OM＝MN＝NG＝3， ∵GN∥BC， ∴△GHN∽△CHB， ∴， ∴BH＝4NH， ∵， ∴， ∴； （2）∵，BE＝2， ∴， ∵△AOM∽△ACE， ∴， ∴， ∵GM∥EC， ∴△GMP∽△CEP， ∴， ∴， ∴， ∴AP：PE＝3：5； （3）连接AG，如图2， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AGP＝90°， ∵，GN＝2， ∴， 又， ∴， ∴． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 13:01:46；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$