吉林省吉林市亚桥中学书院班2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年吉林省吉林市亚桥中学书院班八年级（上）期中数学试卷 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）“五十六个民族五十六朵花”，某设计师提取了每个民族的特色元素，设计了56幅“似图似字”的标志，如图所示四幅图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）与结果相同的是（　　） A．±3 B．3 C．32 D．﹣9 3．（2分）下列运算结果不是m4的是（　　） A．（﹣m2）2 B．m•m3 C．m2+m2 D．m6÷m2 4．（2分）如果□×3ab＝﹣27a2b3，则□内应填的代数式是（　　） A．9ab2 B．﹣9a2b C．﹣9ab2 D．9a2b 5．（2分）已知，关于A的值，下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，其值为1 B．当x＝﹣1时，其值为1 C．当x＜2时，其值为正数 D．当x＞2时，其值小于1 6．（2分）如图，在等边三角形ABC中，点D为BA边上一点，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，交BC于点E，连接DE（　　） A． B． C．5 D．4 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）黄金是自然界中延展性最好的金属．最薄的金箔的厚度为0.000000091m，数据0.000000091用科学记数法表示为 　 　． 8．（3分）已知ax＝3，ay＝4，则ax+y＝　 　． 9．（3分）把4x2﹣16因式分解的结果是　 　． 10．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　 　． 11．（3分）计算：＝　 　． 12．（3分）在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）重合　 　． 13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，分别以A，AC为半径画弧，两弧分别交于E，F，连接AD，则△ACD的周长等于　 　． 14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，点B在AC边上的落点记为点E，若AC＝8，则BD的长为 　 　． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）计算：． 16．（5分）计算：﹣． 17．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）， 18．（5分）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF所在直线折叠，求证：△EFG是等腰三角形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等． 20．（7分）已知，，求下列代数式的值． （1）a2+b2+2ab； （2）a2﹣b2． 21．（7分）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝3x……第一步； 解得：……第二步； ∴原分式方程的解是……第三步； （1）小丽解答过程从第 　 　步开始出错，正确结果是 　 　，这一步的依据是 　 　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是 　 　． （3）请写出正确的解题过程． 22．（7分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请求演出票价为多少元． 如果今天看演出，我们每人一张票，则会差两张票的钱． 过几天就是“十一国庆节”了，那时候来看演出，票价会打六折 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），即p为△ABC的周长的一半△ABC＝表示△ABC的面积），把这个公式称为海伦公式． 【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为a＝3米，c＝4米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求 24．（8分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9），当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25； ③当a＝3时，352＝1225＝　 　；… （2）归纳：（）2＝　 　． 论证：请证明你归纳所得的结论． （3）运用：若（）2与100a的差为2525，求a的值． 26．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝2时， ①BP＝　 　cm； ②请你在图中画出此时的△CDP； ③请你在线段AB上再找一个不与点P重合的点O，使得△CDP≌△DCO，并在图中标出AO的长度； （2）当点P在AB﹣BC上运动时，用含t的式子表示BP的长； （3）当t为何值时，连接CP，DP 七、解答题（每小题15分，共30分） 27．（15分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1（a＞b），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形 （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　，方法2：　 　，可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　； （2）若a﹣b＝5，ab＝3，则（a+b）2＝　 　； 【知识迁移】： （3）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝8，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和． 28．（15分）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，那么小明比小齐早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 2023-2024学年吉林省吉林市亚桥中学书院班八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）“五十六个民族五十六朵花”，某设计师提取了每个民族的特色元素，设计了56幅“似图似字”的标志，如图所示四幅图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案． 【解答】解：A、此图形不是轴对称图形； B、此图形不是轴对称图形； C、此图形不是轴对称图形； D、此图形是轴对称图形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴． 2．（2分）与结果相同的是（　　） A．±3 B．3 C．32 D．﹣9 【分析】先将进行化简，再根据选项进行选择即可． 【解答】解：＝7， A、±3； B、3，不符合题意； C、82＝9，符合题意； D、﹣5； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2分）下列运算结果不是m4的是（　　） A．（﹣m2）2 B．m•m3 C．m2+m2 D．m6÷m2 【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则解答即可． 【解答】解：A．（﹣m2）2＝m2，故本选项不符合题意； B．m•m3＝m4，故本选项不符合题意； C．m2+m2＝2m8，故本选项符合题意； D．m6÷m2＝m4，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4．（2分）如果□×3ab＝﹣27a2b3，则□内应填的代数式是（　　） A．9ab2 B．﹣9a2b C．﹣9ab2 D．9a2b 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵□×3ab＝﹣27a2b7， ∴□＝﹣27a2b3÷7ab＝﹣9ab2． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 5．（2分）已知，关于A的值，下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，其值为1 B．当x＝﹣1时，其值为1 C．当x＜2时，其值为正数 D．当x＞2时，其值小于1 【分析】先利用分式的除法法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解： ＝• ＝， A、当x＝1时，分式无意义； B、当x＝﹣1时，分式无意义； C、当x＜8且x≠±1，其值是正数或负数； D、当x＞2时，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2分）如图，在等边三角形ABC中，点D为BA边上一点，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，交BC于点E，连接DE（　　） A． B． C．5 D．4 【分析】连接OE，根据等边三角形性质得∠B＝60°，再由作图可知OE＝OB＝5，则△OBE为等边三角形，然后再根据边三角形性质可得BE的长． 【解答】解：连接OE，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵BD＝10，点O为线段BD的中点， ∴OD＝OB＝BD＝10， 由作图可知：OE＝OB＝5， 又∵∠B＝60°， ∴△OBE为等边三角形， ∴BE＝OB＝5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形点的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）黄金是自然界中延展性最好的金属．最薄的金箔的厚度为0.000000091m，数据0.000000091用科学记数法表示为 　9.1×10﹣8　． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000091用科学记数法表示为：9.5×10﹣8． 故答案为：9.8×10﹣8． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8．（3分）已知ax＝3，ay＝4，则ax+y＝　12　． 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【解答】解：ax+y＝ax•ay＝3×4＝12， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是熟练掌握计算法则． 9．（3分）把4x2﹣16因式分解的结果是　4（x+2）（x﹣2）　． 【分析】根据因式分解的方法即可求出答案． 【解答】解：原式＝4（x2﹣5）＝4（x+2）（x﹣3） 故答案为：4（x+2）（x﹣6） 【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型． 10．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣2且x≠　． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知 x+2≥0且6x﹣5≠0， 解得x≥﹣5且x≠． 故答案为：x≥﹣8且x≠． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 11．（3分）计算：＝　　． 【分析】利用二次根式的减法的法则进行运算可． 【解答】解： ＝6 ＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．（3分）在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）重合　4　． 【分析】根据点关于x轴对称的点的坐标特点可求出点A的坐标，即可求出A、B两点之间的距离． 【解答】解：∵点A与B关于x轴对称，点B坐标为（﹣1， ∴点A坐标为（﹣1，﹣8）， ∴A、B两点之间的距离＝2﹣（﹣2）＝4． 故答案为4． 【点评】本题主要考查了点关于x轴对称的特点，以及两点之间的距离的计算，难度适中． 13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，分别以A，AC为半径画弧，两弧分别交于E，F，连接AD，则△ACD的周长等于　7　． 【分析】由作图过程可得，直线EF为线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝7． 【解答】解：由作图过程可得，直线EF为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD． ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝3+4＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，点B在AC边上的落点记为点E，若AC＝8，则BD的长为 　3　． 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AE＝AB＝5， ∵AC＝8， ∴EC＝AC﹣AE＝8， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE＝2， ∴BD＝DE＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意证明DE＝EC是解题关键． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）计算：． 【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解答】解：原式＝4﹣2+ ＝4﹣7+ ＝7． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 16．（5分）计算：﹣． 【分析】先通分，然后根据同分母分式减法运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝﹣ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查分式的减法运算，理解分式的基本性质，掌握分式减法运算法则是解题关键． 17．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）， 【分析】利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝4﹣a2+a8+a ＝a+4， 当a＝﹣8时﹣4+3＝． 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 18．（5分）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF所在直线折叠，求证：△EFG是等腰三角形． 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质证得∠GEF＝∠GFE，根据等腰三角形的判定即可证得结论． 【解答】证明：由题意知AD∥BC， ∴∠GFE＝∠FEC， 由折叠的性质得∠GEF＝∠FEC， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴△EFG是等腰三角形． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据折叠的性质和平行线的性质证得∠GEF＝∠GFE是解决问题的关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作． （3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求作． （2）如图，点P即为所求作． （3）如图，点Q即为所求作． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，角平分线的性质，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（7分）已知，，求下列代数式的值． （1）a2+b2+2ab； （2）a2﹣b2． 【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵a＝+2﹣2， ∴a+b＝（+4）+（， ∴a7+b2+2ab ＝（a+b）6 ＝（2）4 ＝28； （2）∵a＝+2﹣2， ∴a﹣b＝（+8）﹣（， ∴a2﹣b3＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝8． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 21．（7分）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝3x……第一步； 解得：……第二步； ∴原分式方程的解是……第三步； （1）小丽解答过程从第 　一　步开始出错，正确结果是 　2x+2﹣（x﹣3）＝6x　，这一步的依据是 　等式的基本性质　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是 　检验　． （3）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据等式的两边同乘2（x+1），即可判断； （2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案； （3）根据解分式方程正确的步骤求解即可． 【解答】解：（1）小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2﹣（x﹣4）＝6x， 这一步的依据是等式的性质， 故答案为：一，2x+5﹣（x﹣3）＝6x； （2）小丽解答过程缺少的步骤是检验， 故答案为：检验； （3）， 去分母得：7x+2﹣（x﹣3）＝8x， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， ∴原分式方程的解是x＝8． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 22．（7分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请求演出票价为多少元． 如果今天看演出，我们每人一张票，则会差两张票的钱． 过几天就是“十一国庆节”了，那时候来看演出，票价会打六折 【分析】设演出票价为x元，则“十一国庆节”期间演出票价为0.6x元，利用数量＝总价÷单价，结合360元钱在“十一国庆节”期间可多购买2张票，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设演出票价为x元，则“十一国庆节”期间演出票价为0.6x元， 根据题意得：﹣＝2， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是所列方程的解． 答：演出票价为120元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），即p为△ABC的周长的一半△ABC＝表示△ABC的面积），把这个公式称为海伦公式． 【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为a＝3米，c＝4米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求 【分析】代入海伦公式进行计算，再与5平方米比较即可． 【解答】解：这块三角形空地不能满足学校的需求．理由如下： ∵a＝3米，b＝3米， ∴p＝（a+b+c）＝， ∴S△ABC＝＝2， ∵2＜6， ∴这块三角形空地不能满足学校的需求． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 24．（8分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米． （1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度． （2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时，则哪一辆车先到达C城，并说明理由． 【分析】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x﹣12）千米/时，再根据时间＝即可得出结论； （2）先求出甲乙两车到达C城时间的表达式，再比较其大小即可． 【解答】解：（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x﹣12）千米/时， ∵A、C两城的距离为450千米，B，两辆车同时到达C城， ∴＝， 解得x＝108， x﹣12＝96． 答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时； （2）∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时 ∴乙车到达C的时间＝＝，甲车到达C的时间＝＝＝， ∵÷＝＜1， ∴乙车先到达C城． 【点评】本题考查的是分式方程的应用，熟知时间＝是解答此题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9），当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25； ③当a＝3时，352＝1225＝　3×4×100+25　；… （2）归纳：（）2＝　100a（a+1）+25　． 论证：请证明你归纳所得的结论． （3）运用：若（）2与100a的差为2525，求a的值． 【分析】（1）根据规律直接得出结论即可； （2）根据＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论； （3）根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝3×2×100+25；②当a＝2时7＝625＝2×3×100+25； ∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25， 故答案为：3×4×100+25； （2）＝100a（a+1）+25 ＝（10a+5）（10a+2）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25； 故答案为：100a（a+7）+25． （3）由题知，﹣100a＝2525， 即100a3+100a+25﹣100a＝2525， 解得a＝5或﹣5（舍去）， ∴a的值为6． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出＝100a（a+1）+25的结论是解题的关键． 26．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A运动，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝2时， ①BP＝　2　cm； ②请你在图中画出此时的△CDP； ③请你在线段AB上再找一个不与点P重合的点O，使得△CDP≌△DCO，并在图中标出AO的长度； （2）当点P在AB﹣BC上运动时，用含t的式子表示BP的长； （3）当t为何值时，连接CP，DP 【分析】（1）①当t＝2时，AP＝2×2＝4cm，即可得到BP的长度； ②根据题意即可作图； ③当AO＝2cm时，由①可知，AO＝BP＝2cm，AP＝BO＝4cm，进而可知△AOD≌△BPC（SAS），△APD≌△BOC（SAS），得OD＝PC，OC＝PD，再由SSS即可得结论； （2）由题意可知，点P运动的路程为2t，分两种情况：当P在AB上时，当P在BC上时，即可求解； （3）分三种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，当点P在AD上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）①当t＝2时，点P走过的路程为：AP＝2×4＝4（cm）， ∵AB＝6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣4＝2（cm）， 故答案为：3； ②如图1所示： ③当AO＝2cm时，△CDP≌△DCO 由①可知，AO＝BP＝2cm， 在长方形ABCD中，AD＝BC＝8cm， ∴△AOD≌△BPC（SAS），△APD≌△BOC（SAS）， ∴OD＝PC，OC＝PD， ∵C D＝D C， ∴△CDP≌△DCO（SSS）； （2）由题意可知，点P运动的路程为2t， 当P在AB上时，即7≤t≤3时，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t； 当P在BC上时，即3＜t≤7时，则BP＝5t﹣6； 即：； （3）当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形， ∴PD＝CP， 在长方形ABCD中，AD＝BC， ∴△DAP≌△CBP（HL）， ∴AP＝BP， ∴， ∴t＝3÷2＝4.5（秒）， ②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形， ∵∠C＝90°， ∴CD＝CP＝6cm， ∴BP＝CB﹣CD＝8cm， ∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+4）÷2＝4（秒）， ③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形， ∵∠D＝90°， ∴DP＝CD＝2cm， ∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+7+6+6）÷3＝13（秒）， 综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定及性质，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 七、解答题（每小题15分，共30分） 27．（15分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1（a＞b），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形 （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　（a+b）2﹣4ab　，方法2：　（a﹣b）2　，可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　； （2）若a﹣b＝5，ab＝3，则（a+b）2＝　37　； 【知识迁移】： （3）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝8，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和． 【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为（a﹣b）的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； （2）根据完全平方公式变形求值即可求解． （3）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣3ab，方法2：（a﹣b）2， （a+b）5﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）8﹣4ab，（a﹣b）2；（a+b）8﹣4ab＝（a﹣b）2； （2）∵a﹣b＝2，ab＝3， ∴（a+b）2＝（a﹣b）6+4ab＝25+12＝37， 故答案为：37； （3）阴影部分面积和＝ ＝ ＝ ＝， ∵a+b＝8，ab＝5， ∴（a﹣b）3＝（a+b）2﹣4ab＝32﹣4×3＝44， ∴阴影部分面积和等于． 【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 28．（15分）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，那么小明比小齐早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【分析】（1）设小齐的跑步速度为每分钟x m，则小明的跑步速度为每分1.2x m．根据小齐的跑步时间﹣小明的跑步时间＝5列分式方程求解即可； （2）设小明从B地到C地用时y分钟，根据前30分钟消耗的热量+30分钟后的热量＝2300列方程解答即可． 【解答】解：（1）设小齐的跑步速度为每分钟x m，则小明的跑步速度为每分1.2x m， 根据题意，得﹣＝5， 解得x＝400， 经检验x＝400是原方程的解， ∴原方程的解为x＝400， 答：小明的跑步速度为每分480m； （2）由（1）知，小明的跑步速度为每分480m， 则小明从A地到B地所用时间为＝25（分钟）． 设小明从B地到C地用时y分钟， 根据题意，得30×10+（y﹣4）×（10+y﹣5）＝2300， 解得y＝45或y＝﹣45（舍去）， 则25+45＝70（分钟）． 答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟． 【点评】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 13:04:13；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$