2023-2024学年山东省德州市宁津第四实验中学、第五实验中学八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年山东省德州市宁津第四实验中学、第五实验中学八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（48分） 1．（4分）下列长度的三条线段组成三角形的是（　　） A．2，11，13 B．5，12，13 C．5，5，11 D．5，12，7 2．（4分）22022+（﹣2）2023的计算结果是（　　） A．22022 B．﹣1 C．﹣22022 D．﹣2 3．（4分）若a+b＝3，ab＝1，则（a﹣b）2＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（4分）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．2x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y） D．a2+b2＝（a+b）2 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．（m﹣n）2＝m2﹣n2 C．2x•2x2＝2x3 D．（﹣b2）3＝﹣b6 6．（4分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，则AD的值可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（4分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝BD．如果AC＝3cm，那么AE+DE＝（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．（4分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处 9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 10．（4分）如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，跑步方向改变的角之和是（　　） A．540° B．360° C．180° D．108° 11．（4分）下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（4分）若分式的值为0，则（　　） A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2 二、填空题（24分） 13．（4分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1），则ba的值是　 　． 14．（4分）等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 　 　． 15．（4分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝　 　度． 16．（4分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，BC＝7，则△APC周长的最小值是　 　． 17．（4分）若a﹣＝，则a2+值为　 　． 18．（4分）4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若＝17，则x＝　 　． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（18分）计算 （1）； （2）； （3）（x﹣3y）（x+7y）； （4）． 20．（10分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC 21．（10分）如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，若∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD （1）∠E＝∠C； （2）△ABC≌△ADE． 22．（8分）先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中． 23．（8分）分解因式： （1）3ax2﹣3ay2； （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 24．（10分）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 25．（14分）阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1） （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ①x2+3x﹣4； ②x2﹣8x﹣9． （2）深入研究：说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数？ （3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 2023-2024学年山东省德州市宁津第四实验中学、第五实验中学八年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（48分） 1．（4分）下列长度的三条线段组成三角形的是（　　） A．2，11，13 B．5，12，13 C．5，5，11 D．5，12，7 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得， A、2+11＝13，不符合题意； B、5+12＞13，符合题意； C、5+5＜11，不符合题意； D、5+3＝12，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．（4分）22022+（﹣2）2023的计算结果是（　　） A．22022 B．﹣1 C．﹣22022 D．﹣2 【分析】利用有理数的相应的法则进行运算即可． 【解答】解：22022+（﹣2）2023 ＝22022+（﹣2）2022×（﹣2） ＝62022+22022×（﹣2） ＝42022×（1﹣2） ＝32022×（﹣1） ＝﹣22022． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（4分）若a+b＝3，ab＝1，则（a﹣b）2＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴原式＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣2＝5， 故选：B． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（4分）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2 C．2x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y） D．a2+b2＝（a+b）2 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可． 【解答】解：由于﹣2a2+8a＝﹣2a（a﹣2），所以选项A不符合题意； 由于x2﹣6xy+9y7＝（x﹣3y）2，所以选项B符合题意； 由于8x2﹣y2＝（4x+y）（2x﹣y），所以选项C不符合题意； 由于a2+4ab+b2＝（a+b）2，所以选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．（m﹣n）2＝m2﹣n2 C．2x•2x2＝2x3 D．（﹣b2）3＝﹣b6 【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a3+a3＝5a3，故A不符合题意； B、（m﹣n）2＝m3﹣2mn+n2，故B不符合题意； C、2x•2x2＝7x3，故C不符合题意； D、（﹣b2）6＝﹣b6，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（4分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，则AD的值可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD． 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB． 在△ACE中，EC﹣AC＜AE＜AC+CE， 即7﹣5＜AE＜3+7， 2＜AE＜12． 2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜3， 故选：A． 【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 7．（4分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝BD．如果AC＝3cm，那么AE+DE＝（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】首先证明Rt△BDE≌Rt△BCE进而得到ED＝CE，再由AE+ED＝AE+CE＝AC即可得到答案． 【解答】解：∵DE⊥AB于D， ∴∠BDE＝90°， 在Rt△BDE和Rt△BCE中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）， ∴ED＝CE， ∴AE+ED＝AE+CE＝AC＝3cm， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的判定定理． 8．（4分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处 【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到． 9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B． 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线． 10．（4分）如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，跑步方向改变的角之和是（　　） A．540° B．360° C．180° D．108° 【分析】根据多边形的外角和定理可直接求解． 【解答】解：由题意可得：他每跑完一圈，跑步方向改变的角之和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角之和为360°， 故选：B． 【点评】本题主要考查多边形的外角和，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 11．（4分）下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【解答】解：，，这三个式子分母中含有字母． 其它式子分母中均不含有字母，是整式． 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的定义，π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 12．（4分）若分式的值为0，则（　　） A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：∵分式的值为3， ∴x2﹣4x+4＝0且（x﹣1）（x﹣5）≠0， ∴x＝3， 故选：B． 【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件． 二、填空题（24分） 13．（4分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1），则ba的值是　1　． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3， ∴a＝3，b＝7， ∴ba＝1， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 14．（4分）等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 　12cm　． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+7＜5，舍去； 当腰长是5cm时，因为4+5＞5，此时周长是12cm． 故答案为：12cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 15．（4分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝　36　度． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k， ∴∠A：∠B＝8：2， 即5∠A＝180°， ∴∠A＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°是解此题的关键． 16．（4分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，BC＝7，则△APC周长的最小值是　10　． 【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【解答】解：∵直线m垂直平分AB， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小， ∴△APC周长的最小值是6+4＝10． 故答案为10． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 17．（4分）若a﹣＝，则a2+值为　8　． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：∵a﹣＝ ∴（a﹣）2＝6 ∴a3﹣2+＝6 ∴a2+＝8 故答案为：6 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18．（4分）4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若＝17，则x＝　﹣2　． 【分析】根据新定义得到（x﹣2）2﹣（x+1）（x+3）＝17，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得（x﹣2）2﹣（x+5）（x+3）＝17， 整理得，﹣8x+2＝17， 解得x＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，掌握运算法则是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（18分）计算 （1）； （2）； （3）（x﹣3y）（x+7y）； （4）． 【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算； （2）利用单项式乘多项式的运算法则进行计算； （3）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算； （4）利用多项式除以单项式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2） ＝ ＝﹣6x5y3+4x4y2﹣3x2y； （3）（x﹣3y）（x+2y） ＝x2+7xy﹣5xy﹣21y2 ＝x2+3xy﹣21y2； （4） ＝ ＝． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题根本和关键． 20．（10分）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC 【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明． 【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，∠C＝90°， ∴EC＝EF， ∵EB＝EC， ∴EF＝BE， 又∵∠B＝90°， ∴EB⊥AB， ∵EF⊥AD， ∴AE是∠DAB平分线． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记两个性质并作出辅助线是解题的关键． 21．（10分）如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，若∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD （1）∠E＝∠C； （2）△ABC≌△ADE． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠E＝∠C； （2）由已知可得∠BAC＝∠DAE，又因为AB＝AD，所以根据ASA可判定△ABC≌△ADE． 【解答】证明：（1）∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD， ∴180°﹣∠6﹣∠AFE＝180°﹣∠3﹣∠CFD， 即∠E＝∠C． （2）∵∠1＝∠5， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE． ∵AB＝AD，∠E＝∠C， ∴△ABC≌△ADE． 【点评】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用． 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 22．（8分）先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中． 【分析】先算乘方，乘法，然后再合并同类项进行化简，最后代入求值． 【解答】解：（a+2b）（a﹣2b）+（a+5b）2﹣4ab ＝a8﹣4b2+a5+4ab+4b6﹣4ab ＝2a7， 当时，原式＝2×18＝2． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 23．（8分）分解因式： （1）3ax2﹣3ay2； （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 【分析】（1）首先提取公因式3a，再利用平方差公式因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算后，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣y2） ＝3a（x+y）（x﹣y）； （2）原式＝x2﹣x﹣3x+3+1 ＝x5﹣4x+4 ＝（x﹣3）2． 【点评】此题主要考查了公式法因式分解以及提取公因式法因式分解，需要注意分解因式一定要彻底． 24．（10分）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 【分析】将a+b＝5的两边同时平方，然后将ab＝3代入即可求得a2+b2的值． 【解答】解：∵a+b＝5， ∴a2+b7+2ab＝25． 将ab＝3代入得：a6+b2+6＝25． ∴a8+b2＝19． 【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，平方法的应用是解题的关键． 25．（14分）阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1） （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ①x2+3x﹣4； ②x2﹣8x﹣9． （2）深入研究：说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数？ （3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）先配方，再用平方差分解． （2）先配方，利用平方的非负性即可说明． （3）先因式分解已知等式，找到a，b，c之间的关系即可． 【解答】解：（1）①． ②x6﹣8x﹣9＝x6﹣8x+43﹣42﹣4 ＝（x﹣4）2﹣25 ＝（x﹣3+5）（x﹣4﹣5） ＝（x+1）（x﹣9）． （2）x8﹣6x+12＝x2﹣8x+9+3＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣3）2≥0． ∴（x﹣3）2+3＞8． ∴多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数． （3）△ABC为等边三角形． 理由如下： ∵a6﹣2ab+2b4﹣2bc+c2＝4． ∴（a2﹣2ab+b7）+（b2﹣2bc+c2）＝0． ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0． ∴a﹣b＝0，b﹣c＝5． ∴a＝b＝c． ∴△ABC为等边三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用，配方再用平方差公式是（1）问因式分解的关键，配方后利用平方的非负性是求解（2）（3）题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 13:06:55；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$