北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月阶段性诊断练习数学试题

北京交通大学附属中学2025届高三数学9月阶段诊断性练习 命题人 贺善菊 审核人 李剑 一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=40 1. 设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 已知定义域为的奇函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 5. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 1 D. e 6. 设，则“”是“”的条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（ ） （参考数据：，） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 二、填空题（5×5=25） 11. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______． 12. 在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为___________. 13. 已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为___________. 14. 设函数 ，若函数存在最小值，则a的一个取值为___________；a最大值为___________. 15. 已知数列的各项均为正数，的前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于1； ②为常数列； ③为递增数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题 16. 设的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 第①组条件：，； 第②组条件：边上的高，； 第③组条件：，． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点.已知，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 18. 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户(人数) 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.5 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等. （1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率； （2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； （3）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示不满意.写出方差，，，，的大小关系. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 20. 已知函数（）． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立． （i）求实数的取值范围； （ii）试比较与的大小，并给出证明（为自然对数的底数，）． 21. 已知无穷数列满足：.记(，表示3个实数x，y，z中的最大值). （1）若，求； （2）若，求； （3）设是有理数，数列中是否一定存在无穷个0？请说明理由. 北京交通大学附属中学2025届高三数学9月阶段诊断性练习 命题人 贺善菊 审核人 李剑 一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=40 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（5×5=25） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 4 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2）选①不符合题意；选②；选③ 【17题答案】 【答案】（1）连接交于，连接. 因为底面是矩形，所以是线段的中点. 是线段的中点，. 又平面，平面， 平面. （2） （3）存在，的长为 【18题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 0.4 0.5 0.1 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由题意知，直线的斜率不为0， 故设过点的直线的方程为：，， 联立得：， 故，， 易知，故， 所以直线的方程为：， 同理可得，直线的方程为：， 联立得：， 即，化简得：， 因为， 故，即，故， 所以直线的交点在垂直于轴的定直线上. 【20题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii） 时，“比较与的大小”等价于“比较与的大小”， 设，（）， 则， ∴在上单调递增，因为， 当时，，即，所以， 当时，，即，∴， 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【21题答案】 【答案】（1）； （2）或； （3）证明:数列中一定存在无穷个0. 设的最小公分母为，将均改为原来的倍， 则均为整数，题目的其他条件仍然成立，且问题不变. 于是对任意的，均为整数，，，，均为自然数， 反证法：假设中没有0，或者有有限个0， 则存在，对任意的，均有，，，， 设()，则 ， 由（2）知，，故， 假设对任意的，均不为0，则，， 令，则与矛盾. 所以存在，使得，即， 由（2）知，中至少有一项为0，与矛盾， 所以假设不成立，数列中一定存在无穷个0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $