精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

第一学期期末学情评估（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的值为（ ） A. 25 B. ±5 C. -5 D. 5 2. 小明5分钟内共投篮60次，共进球15个，则小明进球的频率是（ ） A. 0.25 B. 60 C. 0.26 D. 15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 5. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 6. 某农民在池塘里养了许多鱼，有草鱼、鲇鱼、鲤鱼、鲫鱼等，为了能更清楚地表示出各种鱼的条数，最适合使用的统计图是（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上都可以 7. 三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ） A. 4块 B. 6块 C. 9块 D. 12块 8. 如图，在中，，点D在边上，平分交于点E，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 10. 如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填“>”、“<”或“=”号） 12. 因式分解：____． 13. 如果，则______． 14. 如图，长方形纸片中，cm，cm，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为____________cm． 15. 如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为________． 三、解答题（20题9分，21题10分，22，23题每题12分，其余每题8分，共75分） 16. （1）因式分解 （2）先化简，再求值：，其中． 17. 聪聪在一次数学课外活动中发现一个奇特现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1，请你说明这其中的道理？ 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 19. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校八年级准备开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现对八年级所有学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求八年级学生的总人数； （2）把条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数）； （3）求A类人数占八年级学生总人数的百分比； （4）求扇形统计图中D类所对应扇形圆心角的度数． 20. 如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？ 21. 我们定义：顶角等于的等腰三角形为黄金三角形． 如图，中，且，则为黄金三角形． （1）利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法） （2）说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由． 22. 【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若面积为9，则与的面积之和为 ． 23. 如图，中，，，．点P从点C出发，沿折线运动，速度为2个单位长度秒．点D为的中点，连接、．点P运动时间为t秒． （1）的长度为______． （2）当时，求线段的长． （3）数学小组在探究“当t为何值时，为等腰三角形”． ①小彤推断：当点P在边上运动时，为直角，故若为等腰三角形，只能是．请你按照她思路，求出此时的t值． ②小园推断：当点P在边上运动时，有可能等于．请你延续她的思路，直接写出此时的t值． ③小南猜想：当点P在边上运动时，不可能出现的情况．请你证明她的猜想是正确的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一学期期末学情评估（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的值为（ ） A. 25 B. ±5 C. -5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得答案． 【详解】解：=5． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个． 2. 小明5分钟内共投篮60次，共进球15个，则小明进球的频率是（ ） A. 0.25 B. 60 C. 0.26 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵小东5分钟内共投篮60次，共进球15个， ∴小东进球的频率是： 故选：A. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，平方差公式，积的乘方运算，同底数幂出发运算，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 4. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，等边三角形的定义，全等三角形的概念等知识点，先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、等边三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题 B、逆命题：同位角相等，两直线平行 由平行线的判定可知，此逆命题是真命题 C、逆命题：如果一个三角形是锐角三角形，则这两个三角形是等边三角形 由等边三角形的定义可知，此逆命题是假命题 D、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形 由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题 故选：B． 5. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A和∠D对应，则EF=BC，可得到答案． 【详解】∵∠B=50°，∠C=60°， ∴∠A=70°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A和∠D对应， ∴EF=BC=30， ∴x=30， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键． 6. 某农民在池塘里养了许多鱼，有草鱼、鲇鱼、鲤鱼、鲫鱼等，为了能更清楚地表示出各种鱼的条数，最适合使用的统计图是（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上都可以 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 根据统计图的特点进行判断即可． 【详解】解：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目， ∴为了能更清楚地表示出各种鱼的条数，最适合使用的统计图是条形图； 故选：C． 7. 三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ） A. 4块 B. 6块 C. 9块 D. 12块 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算面积求出正方形的边长即可． 【详解】设C类地砖x块，则 因为小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形， 当时，可得 所以C类地砖9块． 故选：C． 【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是利用完全平方化简． 8. 如图，在中，，点D在边上，平分交于点E，若，则长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形和等腰三角形．熟练掌握勾股定理解直角三角形和等腰三角形三线合一性质，是解决问题的关键． 首先根据勾股定理求得斜边的长度，然后结合等腰三角形的性质来求的长度． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分． ∴． 故选：C． 9. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解． 【详解】解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3， ∴，故①错，②正确； ∵O为数轴原点， ∴点C对应的数是，故③错误； ∵，， ∴5＜AD＜6，故④正确； ∴正确的有②④； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键． 10. 如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，发现全等三角形是解题的关键． 连接，先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵在等边三角形中，为高，D是上一动点 ∴大小不变， ∴大小不变， ∴点E的运动轨迹为一条线段． ∵， ∴点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填“>”、“<”或“=”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，涉及二次根式性质，二次根式比较大小的方法等知识，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 12. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接利用提公因式法，提取公因式，即可得出答案，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如果，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，灵活对完全平方公式进行变形是解题的关键． 由可得，，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为9． 14. 如图，长方形纸片中，cm，cm，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理；设，则，由折叠的性质及勾股定理，建立方程可求得结果． 【详解】解：由题意知：，， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 故答案为：． 15. 如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并分别求出、的长是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 三、解答题（20题9分，21题10分，22，23题每题12分，其余每题8分，共75分） 16. （1）因式分解 （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先提公因式，然后用完全平方公式进行分解因式即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入得：原式． 17. 聪聪在一次数学课外活动中发现一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1，请你说明这其中的道理？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 设这个有理数为a，根据题意列出算式化简后可得结论． 【详解】解：设这个有理数为a， 根据题意得：． 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）125° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“SSS”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 19. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校八年级准备开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现对八年级所有学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求八年级学生的总人数； （2）把条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数）； （3）求A类人数占八年级学生总人数的百分比； （4）求扇形统计图中D类所对应扇形圆心角的度数． 【答案】（1）120人； （2）见解析； （3）25%； （4）18°． 【解析】 【分析】（1）将B组人数除对应的百分比即可算出总人数； （2）总数减去除E组外的所有人数即可； （3）将组人数与总人数的比即百分比； （4）求出D类百分比再乘即可． 【小问1详解】 （人），所以八年级学生的总人数为120人． 【小问2详解】 E组（人），条形统计图如下， 【小问3详解】 ，所以A类人数占八年级学生总人数的． 【小问4详解】 ，所以D类所对应扇形圆心角的度数为． 【点睛】此题考查条形统计图和扇形图，解题关键是先求出总数，再求出每组数据的百分比，圆心角需先求出百分比，然后再计算． 20. 如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？ 【答案】（1）此时梯子的顶端A距地面的高度为m （2）梯子底端B外移距离不是m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）由题意得求出即可求解； 【小问1详解】 解：∵mm， ∴ ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为m 小问2详解】 解：由题意可知梯子的顶端A沿墙下滑m后， ∴m ∴ ∴梯子底端B外移距离不m 21. 我们定义：顶角等于的等腰三角形为黄金三角形． 如图，中，且，则为黄金三角形． （1）利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法） （2）说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及角平分线的作图是解答本题的关键． （1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为．因此满足条件的黄金三角形不唯一，例如以为一个角构造黄金三角形，只需作的平分线交于点D，则是黄金三角形； （2）由及三角形内角和定理可知，由角平分线的定义可得，则，所以，故是黄金三角形． 【小问1详解】 如图，就是所求作的黄金三角形； 【小问2详解】 ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 所以是黄金三角形． 22. 【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【答案】探究：见解析；应用：6 【解析】 【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可； 应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案． 【详解】探究 证明：∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； 应用 解：∵， ∴， ∴， ∵，的面积为9， ∴， ∴与的面积之和为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 23. 如图，中，，，．点P从点C出发，沿折线运动，速度为2个单位长度秒．点D为的中点，连接、．点P运动时间为t秒． （1）的长度为______． （2）当时，求线段的长． （3）数学小组在探究“当t何值时，为等腰三角形”． ①小彤推断：当点P在边上运动时，为直角，故若为等腰三角形，只能是．请你按照她的思路，求出此时的t值． ②小园推断：当点P在边上运动时，有可能等于．请你延续她的思路，直接写出此时的t值． ③小南猜想：当点P在边上运动时，不可能出现情况．请你证明她的猜想是正确的． 【答案】（1）10 （2）10 （3）①2；②4.8；③见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据求出点P的位置，从而得解； （3）①按照小彤的思路，根据列出方程求解即可； ②按照小彤的思路，根据列出方程求解即可； ③按照小南的思路，利用垂线段最短和②中的结论可知，从而证明． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴， 故答案为：10； 【小问2详解】 当时，路程为， 又∵，， ∴， ∴此时点P即为点B， ∴； 【小问3详解】 ∵点D为的中点，， ∴， ①当点P在边上运动时，为直角， 故若为等腰三角形，只能是， 又依题意得到：， ∴， 解得：， ②当点P在边上运动时，， ∴，． 连接， 假设等于成立，则有， ∴， 又∵ ∴， 即 ∴，即， ∴， ∴， 解得：， 即有可能等于，此时的t值为； ③由②可知点C到AB的距离为4.8， ∴当点P在边上运动时，， 又∵， ∴， ∴当点P在边上运动时，不可能出现的情况． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作图和作辅助线，以及掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$