小升初典型奥数：多次相遇问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后20分钟又与丙相遇，则甲乙相遇时，乙丙相距（60+80）×20＝2800米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲乙相遇时，他们行驶的时间为：2800÷（70﹣60）＝280分钟，然后乘甲乙的速度和，可得AB两地相距（80+70）×280＝42000（米）． 【解答】解：（60+80）×20÷（70﹣60）×（80+70） ＝2800÷10×150 ＝42000（米） ＝42（千米） 答：A、B两城的距离42千米． 【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲乙相遇时乙丙的距离差是完成本题的关键． 例题2：育才中学有80名学生租了一辆40座的车去海边观日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？ 【答案】8千米。 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比；设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边，则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米；然后求出汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程，再根据汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程是x千米的9倍，列出方程，求解即可． 【解答】解：设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边， 则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米， 从汽车返回到和步行的人相遇，汽车行驶的路程是： （48x）38.4﹣0.8x（千米）， 所以2（38.4﹣0.8x）+x＝9x 76.8﹣1.6x+x＝9x 76.8﹣0.6x＝9x 76.8﹣0.6x+0.6x＝9x+0.6x 9.6x＝76.8 9.6x÷9.6＝76.8÷9.6 x＝8 答：汽车应在距离海边8千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边。 【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；注意时间一定时，路程和速度成正比； （2）此题还考查了列方程解应用题的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 例题3：有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7：9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙的速度比是7：9，那么相遇时甲乙行驶的路程比也是7：9；所以当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离；此时甲车行了A、B两地距离的3；那么80千米就相当于A、B两地距离的（31），然后根据分数除法的意义即可求出A、B两地的距离． 【解答】解：80÷（31） ＝80 ＝256（千米） 答：A、B两地的距离是256千米． 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离． 例题4：甲、乙两车分别从相距450米的A、B两地同时出发，相向而行，在直道A、B之间往返跑，甲每分钟走15米。乙每分钟走30米，甲、乙两人第二次相遇距离B地多远？ 【答案】0米。 【分析】甲乙两人第一次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地的距离；第二次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地距离的3倍；即两人所走的路程和是3个全程，由此解答即可。 【解答】解：由题意得：甲、乙两车的速度比为15：30＝1：2， 第一次相遇时，甲乙两车路程之和为450米，则甲行了：450÷（1+2）＝150（米），乙行了：150×2＝300（米），即甲乙两车在相距B地300处相遇。 第二次相遇时，甲乙两车路程之和为450×2＝900（米），因为是各自跑到A、B处，然后再返回才能相遇；450×2＝900（米），900÷（1+2）＝300（米）， 则甲行了：150+300＝450（米），即甲到达B点时与乙相遇。 答：甲、乙两人第二次相遇距离B地0米。 【点评】此题考查多次相遇问题，明确距离总和是来回路程的3倍，是解题的关键。 第三部分 高频真题 1．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 2．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 3．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 5．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇） 6．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？ 7．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ （3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外） 8．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 9．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？ 10．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 11．甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如此往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算，1分50秒内两人共相遇多少次？ 12．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 13．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 14．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？ 15．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？ 16．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离． 17．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 18．游乐园里有A、B两地，两地相距10千米，一个班有学生45人，由A地去B地，现在有一辆马车，车速是人步行的3倍，马车每次可以乘坐9人，在A地先将第一拨学生送到B地，其余的学生同时向B地前进；车到B地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再接9名学生前往B地，余下的学生继续向B地前进……多次往返后，当全体学生到达B地时，马车共行了多少千米？ 19．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？ 20．甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？ 21．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 22．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？ 23．小徐和小马在相距120米的跑道上来回跑步，小马每秒跑3.5米，小徐每秒跑2.5米，两人同时从跑道两端相向而行，来回共跑了3分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？ 24．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 25．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？ 26．美美和丽丽两人从学校、文具店同时出发，相向而行，在距离学校500米处两人第一次相遇，相遇后两人继续以原速前进，各自到达文具店和学校后，立即沿原路返回；在距离文具店200米处两人第二次相遇，学校与文具店相距多远？ 27．甲、乙两辆汽车同时从A、B两城出发，相向而行，在离A城65千米处相遇，两车各自到达对方城市后，都立即以原速沿原路返回，又在离A城23千米处相遇。求A、B两城之间的距离。 28．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？ 29．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 30．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 31．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？ 32．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 33．2015年的某一天，智康的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练．跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一．已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 34．A、B两地相距1000米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米。那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有多远？ 35．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？ 36．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇．各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇．A、B两地相距多少千米？ 37．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　 　 38．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 39．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 40．晚饭后，妈妈在一条长400米的小路上匀速散步，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．然后龙一鸣返回与妈妈相向而行，遇到妈妈后再调转车头向小路另一端骑行，到达小路的另一端后再与妈妈相向而行……直到妈妈到达小路的另一端，龙一鸣从出发开始，一共骑了多少米？ 41．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？ 42．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 43．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 44．在一条公路上，甲、乙两地相距600米，小甬和小真进行竞走训练，小甬每小时走4千米，小真每小时走5千米。8时整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1分钟后二人掉头反向而行，又过3分钟，二人又都掉头相向而行，依次按照1、3、5，7……（连续奇数）分钟数掉头行走，那么二人相遇时是几时几分？ 45．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？ 46．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？ 47．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 48．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!） 49．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 50．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。 51．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？ 52．小东和小光绕圆形湖跑步，小东跑一圈用8分钟，小光跑一圈用12分钟，如果两人同时从起点沿同一方向出发，至少要多少分钟后两人在起点处相遇？这时，小东跑了多少圈？小光跑了多少圈？ 53．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 54．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 参考答案与试题解析 1．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 【答案】1.35小时，2.7小时。 【分析】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。 【解答】解：270÷（80+120） ＝270÷200 ＝1.35（小时） 270×3÷（80+120） ＝810÷200 ＝4.05（小时） 4.05﹣1.35＝2.7（小时） 答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。 【点评】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。 2．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，甲乙两车每次相遇都共行了2个A、B之间的全程，画图如下：（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）； 由图可知：第一次相遇时甲走了AP，乙走了AP+2BP；第二次相遇时，甲走了2BP，即AP＝2BP；这样即可求出AP+2BP与AP的数量关系，那么就可以每次相遇两车行驶的路程比，继而可以求出每次相遇乙车行驶的路程，然后再进一步解答． 【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的） 由图可知：第一次相遇，甲走了AP的路程；第二次相遇甲走了PB+BP，则 AP＝2BP，那么AB＝3BP； 第一次相遇：甲车路程：乙车路程＝AP：（AB+BP）＝2BP：4BP＝1：2； 第一次相遇乙车行驶了：540÷（1+2）×2×2＝720（千米）； 每次相遇，乙车都行驶了720千米； 所以，第三次相遇乙车共行了3个720千米，即720×3＝2160（千米）． 答：到两车第三次相遇为止，乙车共走了2160千米． 【点评】此题利用画图便于理清思路和其中的数量关系，然后即可轻松作答． 3．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 【答案】20次。 【分析】分别求出甲、乙两人跑一个全程所需要的时间，然后画出柳卡图，根据柳卡图总结规律从而找出10分钟内相遇多少次。 【解答】解：甲跑全程的时间为： 30÷1＝30（秒） 乙跑全程的时间为： 30÷0.6＝50（秒） 柳卡图如下： 根据柳卡图可知，每300秒为一个周期，每个周期相遇10次， 10分钟＝600秒 600÷300＝2 2×10＝20（次） 答：共相遇20次。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图求解是本题解题的关键。 4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间＝相遇路程。 【解答】解：1千米＝1000米 2个AC的距离+1000＝2个BC的距离 BC的距离﹣AC的距离＝500，即第一次相遇乙比甲多走了500米。 第一次相遇用时： 500÷（100﹣60） ＝500÷40 ＝12.5（分钟） （100+60）×12.5 ＝160×12.5 ＝2000（米） 2000米＝2千米 答：AB两地相距2千米。 【点评】解此题的关键是“根据两次相遇时，甲或乙的行程关系，得到第一次相遇时乙比甲多走了多少米”，之后即可轻松作答。 5．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇） 【答案】20。 【分析】甲跑一个全程需30÷1＝30（秒） 乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒） 如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）： 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了20（次）。 【解答】解：甲跑一个全程需30÷1＝30（秒） 乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒） 如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）： 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒。 在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟。 正好是四个周期，也就相遇了20（次）。 答：他们跑了10分钟后，共相遇20次． 【点评】在两人同时从两地相向而行并不断往返的多次相遇问题中，计算出一个周期的用时，以及每个周期内相遇的次数，是本题解题的关键。 6．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设甲与乙x分钟相遇，有根据东西两村的距离不变，列方程为：（70+60）x＝（70+50）（x+6），解得：x＝72．加上6即可。 【解答】解：设甲与乙x分钟相遇， （70+60）x＝（70+50）（x+6） 130x＝120x+120×6 10x＝720 x＝72 72+6＝78（分钟） 答：甲、丙从出发到相遇用了78分钟． 【点评】本题主要考查相遇问题的实际应用，根据甲乙的路程差求出甲丙的相遇时间是解答本题的关键． 7．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ （3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）第一次相遇，两人共走了两个道路总长，根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入数值求解即可； （2）（3）分别计算两人跑一个道路总长所用的时间，画出柳卡图，做出判断即可。 【解答】解：（1）120×2÷（5+3） ＝240÷8 ＝30（秒） 答：经过30秒，两人第一次相遇。 （2）（3）甲跑一次全程用时： 120÷5＝24（秒） 24秒分钟 乙跑一次全程用时： 120÷3＝40（秒） 40秒分钟 柳卡图如下： 由图可知，2分钟时两人第一次在端点相遇， 甲走了5个全程，120×5＝600（米） 每4分钟为一个周期，每个周期内，迎面相遇6次， 15÷4＝3……3（分钟） 3分钟时，可以确定发生了4次相遇，第五次无法直接判断， 可以确定的相遇次数为： 3×6+4 ＝18+4 ＝22（次） 第五次相遇，两人走了12个全程， 12×120÷（5+3） ＝1440÷8 ＝180（秒） 3分钟＝180秒 所以，第五次相遇刚好发生， 22+1＝23（次） 答：两人第一次在端点相遇时，甲跑了600米；若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇23次。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，运用柳卡图来直观反映问题是本题解题的关键。 8．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，从A城出发的甲行驶了32千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的甲就应该行驶了32×3＝96千米，此时甲行驶了两城路程多44千米，就行驶96﹣44＝52千米的距离，也就是两城间的距离，依据除法意义即可解答． 【解答】解：32×3﹣44 ＝96﹣44 ＝52（千米） 答：原来两城相距52千米 【点评】明确第二次相遇时从A城出发的汽车就应该行驶了32×3＝96千米，是解答本题的关键． 9．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】90。 【分析】第一次迎面相遇，两车共走了一个全程，第二次迎面相遇，两车共走了（1+2）个全程，第三次迎面相遇，两车共走了（1+2+2）个全程，设A、B两地相距x千米，分别计算第二次和第三次迎面相遇所用时间，再求出相遇地点距离A地的距离，作差即为相遇点的间距，据此列出方程求解。 【解答】解：设A、B两地相距x千米， 第二次迎面相遇所用时间为： （1+2）x÷（45+36） ＝3x÷81 （小时） 第二次相遇地点距A地： 36﹣x x﹣x x（千米） 第三次迎面相遇所用时间为： （1+2+2）x÷（45+36） ＝5x÷81 x（小时） 第三次相遇地点距A地： x×45﹣2x x﹣2x x（千米） 可得方程： xx＝40 解得：x＝90 答：A、B两地相距90千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算每次相遇的总路程是本题解题的关键。 10．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 【答案】第三次相遇点距A地10千米。 【分析】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。 【解答】解：线段图如下： 设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米， 第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程， 根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比， x+30＝50×2 x＝70 所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米）， 从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程， 所以，甲车又走了100千米， 此时相遇点到A的距离为： 100﹣（50+70﹣30） ＝100﹣90 ＝10（千米） 答：第三次相遇点距A地10千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。 11．甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如此往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算，1分50秒内两人共相遇多少次？ 【答案】3次。 【分析】先分别求出甲乙单程所需要的时间，画出柳卡图，从而求出1分50秒内相遇次数即可。 【解答】解：甲单程时间： 30÷37.5×60＝48（秒） 乙单程时间： 30÷52.5×60（秒） 柳卡图如下： 1分50秒＝110秒 因为110＜144， 所以，从图可知，他们相遇了3次。 答：1分50秒内两人共相遇3次。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图可以有效的简化问题。 12．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 【答案】A、B两地的距离是200千米。 【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。 【解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。 第一次相遇时，甲行了全程的； 第三次相遇时，甲行了：5＝1，即走了1个全程，还多； 第四次相遇时，甲行了：7＝2，即走了2个全程，还多； 第三次、第四次相遇地点相差： 1 1 全程：100200（千米） 答：A、B两地的距离是200千米。 【点评】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。 13．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】210。 【分析】分别求出两车走一个全程所需要的时间，画出柳卡图，找出相遇点的规律，再根据相遇问题中，路程比等于速度比来求解即可。 【解答】解：设A、B两地相距100a千米 甲车走全程的时间： 100a÷20＝5a（小时） 乙车走全程的时间： 100a÷50＝2a（小时） 柳卡图如下： 所以，每20a小时为一个周期，每个周期内迎面相遇6次， 所以，第10次迎面相遇点与第4次迎面相遇点相同，第18次迎面相遇点与第6次迎面相遇点相同， 第4次迎面相遇，共走了9个全程， 相遇时间： 100a×9÷（20+50） ＝900a÷70 a（小时） 甲走的总路程为： a×20a（千米） 距离A地的距离为： a﹣100a×2 a﹣200a a（千米） 第6次迎面相遇，共走了13个全程， 相遇时间： 100a×13÷（20+50） ＝1300a÷70 a（小时） 乙走的总路程： a×50a（千米） 相遇点距离A地： a﹣100a×9 a﹣900a a（千米） 可得方程：aa＝60 解得：a＝2.1 100a＝100×2.1＝210 答：A、B两地相距210千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图从而得出相遇点之间的距离与A、B两地之间距离的关系是本题解题的关键。 14．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？ 【答案】两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【分析】两人第一次相遇时距A、B的中点100米，说明两人相遇的路程差是100×2＝200米，根据和差公式可以求出速度慢的人第一次相遇时行了（1000﹣200）÷2＝400米，当两个人第二次相遇时速度慢的人共行了400×3＝1200米，两人第二次相遇的地点距A、B的中点是1000÷2﹣（1200﹣1000）；据此解答即可。 【解答】解：（1000﹣100×2）÷2 ＝800÷2 ＝400（米） 400×3＝1200（米） 1000÷2﹣（1200﹣1000） ＝500﹣200 ＝300（米） 答：两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【点评】解答本题关键是理解两人第二次相遇共行了3个A、B两地之间的路程。 15．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？ 【答案】700千米。 【分析】两车第1次相遇共走了1个全程，第2次相遇共走了3个全程，第3次相遇共走了5个全程，……两车第101次相遇比第100次相遇一共多走了2个全程，轿车比货车多走200千米，据此先计算出两车合走一个全程需要的时间，再根据“速度和×时间＝路程”计算出1个全程的路程。 【解答】解：200÷2÷（80﹣60） ＝100÷20 ＝5（小时） （80+60）×5 ＝140×5 ＝700（千米） 答：东、西两村相距700千米。 【点评】明确两车第100次相遇到第101次相遇共走的路程是2个全程，理解两车第100次相遇点与第101次相遇点的距离是轿车比货车多走的路程，根据“路程差÷速度差＝时间”、“速度和×时间＝路程”解答。 16．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了32千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个全程甲车就行了32千米，所以第二次相遇时甲车共行了32×3＝96（千米），又因为此时距A地64千米，那么两个全程的距离就是32×3+64＝160千米，由此再除以2可以求得A、B两地间的距离． 【解答】解：（32×3+64）÷2 ＝160÷2 ＝80（千米） 答：A、B两地间的距离是80千米． 【点评】完成本题的关键是明白两车第二次相遇时共行了3个全程． 17．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干，小刚和她的小狗分别以均匀的速度同时从外婆家的起点出发，当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．那么说明小狗的速度是小刚速度的3倍，而时间一定时，路程与速度成正比，所以小狗行驶的总路程是小刚行驶的总路程的13倍，所以小刚到达终点行驶300米，小狗则是行驶了300×3＝900米，据此即可解答问题． 【解答】解：300×（1） ＝300×3 ＝900（米） 答：小狗一共跑了900米． 【点评】解答此题关键是明确小狗跑的路程是小刚行驶的路程的3倍． 18．游乐园里有A、B两地，两地相距10千米，一个班有学生45人，由A地去B地，现在有一辆马车，车速是人步行的3倍，马车每次可以乘坐9人，在A地先将第一拨学生送到B地，其余的学生同时向B地前进；车到B地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再接9名学生前往B地，余下的学生继续向B地前进……多次往返后，当全体学生到达B地时，马车共行了多少千米？ 【答案】28.85千米。 【分析】一共45人，每次只能乘坐9人，所以要分成45÷9＝5（拨），将AB两地的距离看作单位“1”，第一拨学生到达，马车走了全程，根据时间相同，路程比等于速度比，此时剩下5拨学生走了全程的，马车回去接第二波学生，相遇路程为全程的1，马车则走了全程的，往返需要再乘2，，剩下的四拨学生又前进了全程的1，此时马车与学生相距全程的，马车返回的路程为全程的，往返需要乘2，2，剩下的3拨学生又前进了全程的，此时马车与学生相距全程的，马车返回路程为全程的，往返需要乘2，2，所以可以发现，从第三拨开始，马车从B返回接上学生再返回B所走的路程是上一次的，据此规律解答。 【解答】解：10×（1+1） ＝10 ＝10 ＝28.75（千米） 答：当全体学生到达B地时，马车共行了28.75千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据前几次接送学生马车所走的路程，从而得出每次接送所走路程与前一次接送所走路程之间的关系，是本题解题的关键。 19．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？ 【答案】见试题解答内容 【分析】我们通过“走相同的路程”所用的时间比表示出小张和小王的速度的比，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13，即，小王走一个全程，小张走13个全程；小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追……，所以，共相遇7次，追上6次；据此解答即可． 【解答】解：由题意可知：走相同的路程，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1 所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13 即，小王走一个全程，小张走13个全程． 小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追上……， 所以，共相遇7次，追上6次． 答：小张和小王迎面相遇过7次． 【点评】本题是一道较复杂的行程问题，考查了“用走相同的路程所用的时间的比来表示他们的速度的比”来解决问题． 20．甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？ 【答案】170。 【分析】设A、B两地相距x米，则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，所以，两次相遇两人所有的路程比相同，据此列出方程。 【解答】解：设A、B两地相距x米， 则第一次相遇甲走了（x﹣60）米， 从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米， 根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变， 可得方程： （x﹣60）：60＝（2x﹣10）：（x+10） （x﹣60）（x+10）＝60（2x﹣10） x2﹣50x﹣600＝120x﹣600 x2﹣170x＝0 x（x﹣170）＝0 x＝170 答：A、B两地相距170米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，根据相遇问题中，路程比等于速度比，列出方程是本题解题的关键。 21．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】 图中红色点代表A车，蓝色点代表B车． A车到乙地时用时时，B车到甲地用时．A车到乙地时B车已经从甲地返回，行驶到N点，速度也变为50km/h．MN之间的距离为（ ）×50 km．A车开始返回速度变为60km/h．行驶30千米到Q点时停车．PQ长度为30km，用时时，这段时间B车从N点行驶至R点．NR的长度为：50＝25（千米）造成相遇晚1小时1分的原因是RQ这段路程本来是AB两车同时行驶，现在变为B车单独行驶． RQ的长度为：x﹣（ ）×50﹣25﹣30＝x55 x﹣55 【解答】解：设两地的距离为x 千米． [x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷50﹣[x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷（50+60）＝1 （x55）÷50﹣（x55）÷110＝1 （ x﹣55）÷50﹣（ x﹣55）÷110＝1 x＝198 答：甲、乙两地之间的距离是198千米． 【点评】用画图法可以帮助理解题意，要明白是哪一段路程导致的相遇晚点． 22．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米，第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米，又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，所以东西两站相距：（30+40）÷（2），再计算即可． 【解答】解：第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米， 第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米， 又知快车行的比2个东西两站距离少40千米， 所以东西两站相距： （30+40）÷（2） ＝70 ＝140（千米） 答：东西两站相距140千米． 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是得出又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，或者说是行了东西两站距离的多30千米． 23．小徐和小马在相距120米的跑道上来回跑步，小马每秒跑3.5米，小徐每秒跑2.5米，两人同时从跑道两端相向而行，来回共跑了3分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？ 【答案】6。 【分析】由这条直跑道长度为120米，两人的速度和3.5+2.5＝6米/秒，所以两人第一次是迎面相遇，用时120÷6＝20秒；第二次相遇是两人共行两个全程迎面相遇，相遇时间为120×2÷6＝40秒；第三次相遇是两人共行两个全程迎面相遇，相遇时间为40秒；这时小马距离最近跑道端点是10米，也就是小徐与小马相距10+10＝20米，由于小马比小徐每秒多跑3.5﹣2.5＝1米，20÷1＝20秒，小马追上小徐，第四次是追及相遇；第五次是共行一个全程迎面相遇，时间是60×2÷6＝20秒，第六次是共行两个全程迎面相遇，用时40秒，这时总用时20+40+40+20+20+40＝180秒＝3分钟，所以一共相遇6次。 【解答】解：3分钟＝180秒 两人第一次迎面相遇用时： 120÷（3.5+2.5） ＝120÷6 ＝20（秒） 相遇点距离小徐出发点：2.5×20＝50（米） 两人第二次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 相遇点距离小马出发点：120﹣（3.5×40﹣50）＝30（米） 两人第三次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 相遇点距离小徐出发点：120﹣（3.5×40﹣30）＝10（米），此时小马跑到小徐出发点，掉头追小徐； 两人第四次是追及相遇，用时： 10×2÷（3.5﹣2.5） ＝20÷1 ＝20（秒） 相遇点距离小马出发点：120﹣10﹣2.5×20＝60（米） 两人第五次迎面相遇用时： （60+60）÷（3.5+2.5） ＝120÷6 ＝20（秒） 相遇点距离小马出发点：60﹣2.5×20＝10（米） 两人第六次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 这六次相遇共用时：20+40+40+20+20+40＝180（秒） 答：在这段时间内一共相遇了6次。 【点评】本题关键是分别求出每次相遇时，是迎面相遇，还是追及相遇，然后再进一步解答。 24．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 【答案】第7次。 【分析】甲、乙走完A、B间的两个单程才第一次相遇，需时间950×2÷（40+150）＝10（分钟），90分钟内，所以总共相遇90÷10＝9（次），甲每10分钟走40×10＝400（米），并且与乙相遇一次，因为950×3﹣400×7＝50（米），差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近。 【解答】解：950×2÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 90÷10＝9（次） 40×10＝400（米） 因为950×3﹣400×7＝50米，差最小； 也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小。 答：在第7次相遇时他们离B点的距离最近。 【点评】此题重点考查学生分析问题以及推理能力。本题解答的关键是要求出两人多少时间相遇一次。 25．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？ 【答案】600米。 【分析】淘气从东地出发与笑笑从西地出发后第一次相遇距西地360米，说明笑笑走了360米，两人所走的总路程即是东西两地的总路程；淘气第一次相遇后到两人第二次相遇时又走了（360+120）米，两人在第一次相遇后到第二次相遇时共走了东、西两地距离的2倍，因为两人速度不变，所以淘气在第一次相遇后到第二次相遇时走的路程是他第一次相遇前走的路程的2倍，据此算出第一次相遇前淘气走的路程，再用第一次相遇前淘气走的路程加上第一次相遇前笑笑走的路程，即为东、西两地的总路程。 【解答】解：（360+120）÷2+360 ＝480÷2+360 ＝240+360 ＝600（米） 答：东、西两地相距600米。 【点评】解答此题的关键在于理解淘气在第一次相遇后到第二次相遇时所行路程是第一次相遇前所行路程的2倍。 26．美美和丽丽两人从学校、文具店同时出发，相向而行，在距离学校500米处两人第一次相遇，相遇后两人继续以原速前进，各自到达文具店和学校后，立即沿原路返回；在距离文具店200米处两人第二次相遇，学校与文具店相距多远？ 【答案】1300米。 【分析】两人第一次相遇点，距离学校500米，说明此时美美行了500米，即每共行一个全程美美就行500米，第二次相遇点，在距离文具店200米处，说明美美行了3个500米，且此时距离文具店200米，即美美行了一个全程加200米，据此解答即可。 【解答】解：500×3﹣200 ＝1500﹣200 ＝1300（米） 答：学校与文具店相距1300米。 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确相遇两次她们共行了3个全程。 27．甲、乙两辆汽车同时从A、B两城出发，相向而行，在离A城65千米处相遇，两车各自到达对方城市后，都立即以原速沿原路返回，又在离A城23千米处相遇。求A、B两城之间的距离。 【答案】109千米。 【分析】第一次相遇时，从A城出发的汽车行驶了65千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的汽车就应该行驶了65×3＝195（千米），此时此汽车再行驶23千米，就行驶23+195＝218（千米）的距离，也就是2个两城间的距离，依据除法意义即可解答。 【解答】解：（65×3+23）÷2 ＝（195+23）÷2 ＝218÷2 ＝109（千米） 答：原来两城相距109千米。 【点评】明确第二次相遇时从A城出发的汽车就应该行驶了（65×3）千米是解答本题的关键。 28．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？ 【答案】800米。 【分析】狗一直没有停，所以狗跑的时间就是两人的相遇时间；先把甲乙两人速度相加，求出两人的速度和，再用两人走的路程除以速度和，求出相遇时间，然后再用狗的速度乘相遇时间，就是直到两人相遇，这条狗一共跑了多少米。 【解答】解：1000÷（100+150）×200 ＝1000÷250×200 ＝4×200 ＝800（米） 答：这条狗一共跑了800米。 【点评】解决本题关键是明确狗跑的时间就是两人的相遇时间，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出相遇时间，然后利用路程＝速度×时间求出狗跑的路程。 29．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 【答案】156千米。 【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决． 【解答】解：将A、B两地的距离看作单位“1”， 则甲每小时行，乙每小时行， 第一次相遇时间是：1（小时）， 此时甲行了全程：， 乙行了全程的：1， 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程， 所以甲走了， 这个地方离甲的出发点是全程的：2， 故两次相遇点之间的距离是全程的：， 全程的距离是：72156（千米）。 答：A、B两地的距离是156千米。 【点评】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 30．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 【答案】150千米。 【分析】第一次相遇时两车行程之和是一趟全程，第二次相遇时，卡车、摩托车各自走了一个全程后又返回再相遇，所以两车行程之和是三趟全程，则第二次相遇用的时间时是第一次相遇的3倍。速度一定，行程与时间成正比，第一次相遇卡车行程60千米，那么第二次相遇时卡车行程（60×3）千米。第二次在离B地30千米处相遇，即第二次相遇时卡车走了比一趟全程多30千米，再减去30千米就是全程。 【解答】解：60×3﹣30 ＝180﹣30 ＝150（千米） 答：A、B两地之间的距离是150千米。 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确明白：第一次两车相遇时，两车共行了一个全程（即A、B两地之间的距离）；第二次相遇时，两车又共行了2个全程。 31．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】10千米。 【分析】高高的速度是途途的，即高高和涂涂的速度之比是2：3，在相同的时间内，两人所走的路程也是2：3；第一次相遇时，两人走了一个全程，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份；第二次相遇时，两人又走了两个全程，即走了10份，因为速度之比是2：3，所以高高走了4份，涂涂走了6份；这时涂涂离A点距离：10﹣（6+3）＝1（份），第一次相遇时，涂涂离A点距离3份，此时相差的份数即为两次相遇点相距的距离，即可求出1份是多少，由此再求出全长。 【解答】解：第一次相遇时，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份； 第二次相遇时，两人走了两个全程，即走了10份，所以高高走了4份，涂涂走了6份； 3﹣1＝2（份） 1份：4÷2＝2（千米） 全长：2×5＝10（千米） 答：那么A、B两地相距10千米。 【点评】此题考查多次相遇问题。关键在于找到两次相距的距离是多少份，求出1份，再求全长。 32．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于它们相向而行，各自达到目的地后又立即返回，他们应是在乙车返回A地后又在去B地的路上和返回A地的甲车相遇，所以相遇时他们行了3个全程，即236×3＝708（千米），已知行驶时间为6小时，用总路程除以6小时，求出两车的速度和，再减去甲车的速度，即可求出乙车每小时行多少千米． 【解答】解：236×3÷6 ＝708÷6 ＝118（千米） 118﹣56＝62（千米） 答：乙车每小时行62千米． 【点评】明确两车第二次相遇时，两车一共行驶了3个AB两地间的距离，是解答本题的关键，依据是等量关系式：速度＝路程÷时间． 33．2015年的某一天，智康的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练．跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一．已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】刘老师的速度是杨老师的速度的，设杨老师速度为1，那么刘老师速度是，算出速度比是3：2； 第一次相遇在距杨老师出发点占全程的3÷（2+3）处，当杨老师跑完一圈的时候，刘老师只能跑圈，也就是距离杨老师出发点占全程1处，现在杨老师提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当刘老师跑完剩下的时，杨老师可以跑，也就是在距离杨老师出发点1处； 现在刘老师提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们的相遇在距离杨老师出发点3÷（5+3）处，，再根据是190米，进一步算出得数． 【解答】解：设杨老师速度为1，杨老师速度：刘老师速度是1：3：2； 当杨老师跑完一圈的时候，刘老师只能跑圈，杨老师提速，现在他们的速度比为：2：1； 所以当刘老师跑完剩下的时，杨老师可以跑，也就是在距离杨老师出发点1处； 刘老师提速，（1），杨老师速度：刘老师速度：5：3； 他们相遇在距离杨老师出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇； 190400（米）． 答：这条椭圆形跑道长400米． 【点评】此题关键是根据条件理顺题中数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决． 34．A、B两地相距1000米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米。那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有多远？ 【答案】400米。 【分析】第一次相遇两人共走了一个全程即1000米，相遇点据中点100米，说明其中一人比另一个人多走了100×2＝200（米），第二次相遇两人共走了三个全程，则快的人比慢的人多走了200×3＝600（米），根据和差公式，可以求出两次相遇中，快的人和满的人分别走了多少路程，两个相遇点的距离为快的人第二次相遇走的总路程减去一个全程，再减去慢的人第一次相遇走的路程，据此计算。 【解答】解：第一次相遇两人共走了一个全程，即1000米， 相遇点据中点100米， 说明快的人比慢的人多走了： 100×2＝200（米） 第二次相遇两人共走了三个全程， 则快的人比慢的人多走了： 200×3＝600（米） 第一次相遇，慢的人走的路程为： （1000﹣200）÷2 ＝800÷2 ＝400（米） 第二次相遇，快的人走的路程为： （1000×3+600）÷2 ＝3600÷2 ＝1800（米） 两个相遇点的距离为： 1800﹣1000﹣400 ＝800﹣400 ＝400（米） 答：第二次相遇时距第一次相遇的地点有400米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，找出相遇点间距与两人两次相遇分别走的路程之间的数量关系，是本题解题的关键。 35．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比，据此求出开始时甲乙两车的速度之比是多少；然后根据每次相遇后两车速度各加10%，可得甲乙两车的速度之比不变，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变，因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米，求出第三次相遇时甲车行驶的路程是4×3＝12（千米），再用它减去环形公路的长度，求出第三次相遇时甲车离出发点多少千米即可。 【解答】解：甲乙两车的速度之比是： 4：（10﹣4）＝4：6＝2：3； 因为每次相遇后速度都增加，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变； 因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米； 所以第三次相遇时甲车离出发点： 4×3﹣10＝2（千米） 答：第三次相遇时甲车离出发点2千米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：时间一定时，路程和速度成正比，并能判断出每次相遇时甲车行的路程都是4千米。 36．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇．各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇．A、B两地相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地60千米处相遇，则此时甲车行了60千米，此时两车共行了一个全程，即两车每共行一个全程，甲车就行60千米．当它们分别到达B地、A地后，立即返回，又在距A地40千米处相遇，即此时甲车距A地还有40千米就行了两个全程，此时两车共行了3个全程，则甲车行了60×3千米，所以全程是（60×3+40）÷2千米． 【解答】解：（60×3+40）÷2 ＝（180+40）÷2 ＝220÷2 ＝110（千米） 答：A、B两地相距110千米． 【点评】在此类题目中，两车第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程． 37．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　第二次相遇时，共行三个全程。　 【答案】（1）第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）这座桥长2160米。 （3）第二次相遇时，共行三个全程。 【分析】（1）第二次相遇所走的路程，就是两人的路程和，用两人速度的和乘时间即可。 （2）第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，用第（1）题中的得数，再除以3即可求出这座桥有多少米长。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程，据此解答即可。 【解答】解：（1）（120+60）×36 ＝180×36 ＝6480（米） 答：第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）6480÷3＝2160（米） 答：这座桥长2160米。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程。 故答案为：第二次相遇时，共行三个全程。 【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。 38．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 【答案】11250米。 【分析】第一次相遇是相遇问题，小抄转身往回跑；第二次相遇为追击问题，追击距离为跑道长度，小汐转身往回跑；第三次相遇再次变为相遇问题……所以，30次相遇中一半为相遇问题，一半为追及问题，相遇路程和追及路程均为一圈跑道的长度，据此计算出总时间，再乘小潮的速度，即为他的总路程。 【解答】解：相遇时间： 400÷（3+5） ＝400÷8 ＝50（秒） 追及时间： 400÷（5﹣3） ＝400÷2 ＝200（秒） 总时间： 50×15+200×15 ＝750+3000 ＝3750（秒） 总路程： 3750×3＝11250（米） 答：在第30次相遇时小潮一共跑了11250米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，总结30次相遇中有多少次相遇是追及问题和相遇问题，从而求出总时间，是本题解题的关键。 39．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 【答案】540千米。 【分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，客、货两车的速度比是60：48＝5：4，第二次相遇时，两辆车行的路就相当于3个全程，所以第一次相遇客车行了甲、乙两地距离的，第二次相遇时，客车行了甲、乙两地距离的3，所以120千米相当于单位“1”的（32），由此根据分数除法的意义求出甲、乙两地的距离即可。 【解答】解：60：48＝5：4 120÷（32） ＝120 ＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离是540千米。 【点评】本题的难点在于明确相遇两次共行了3个总路程，而不是2个总路程这是本题容易出错的地方。 40．晚饭后，妈妈在一条长400米的小路上匀速散步，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．然后龙一鸣返回与妈妈相向而行，遇到妈妈后再调转车头向小路另一端骑行，到达小路的另一端后再与妈妈相向而行……直到妈妈到达小路的另一端，龙一鸣从出发开始，一共骑了多少米？ 【答案】1600米． 【分析】根据题意可知，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．妈妈的速度就是龙一鸣的，龙一鸣的速度就是妈妈的14倍，在相同时间内龙一鸣行的路程就是妈妈的4倍，据此即可解答． 【解答】解：400 ＝400×4 ＝1600（米） 答：龙一鸣从出发开始，一共骑了1600米． 【点评】解答本题的关键是理解龙一鸣骑车的时间和妈妈散步的时间是相同的． 41．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？ 【答案】6千米。 【分析】第一次相遇，两人共走了一个全程，再一次相遇，两人又走了两个全程，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出第一、二次相遇的时间，再求出两次相遇点距离A地的距离，作差即为两次相遇点的间距。 【解答】解：第一次相遇时间： 21÷（4+3） ＝21÷7 ＝3（小时） 第一次相遇点距离A地的距离： 3×4＝12（千米） 第二次相遇时间： 21×（2+1）÷（4+3） ＝21×3÷7 ＝9（小时） 第二次相遇点距离A地距离： 9×3﹣21 ＝27﹣21 ＝6（千米） 两次相遇点相距： 12﹣6＝6（千米） 答：两次相遇点相距6千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确地算出每次相遇的总路程是本题解题的关键。 42．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】我们知道像题目中的行程问题，甲乙第一次相遇时，两车共行了一个全程（A、B间的距离），以后每次相遇都要行两个全程．所以，我们根据甲、乙两车的速度比9：7，结合行程问题可以把甲、乙两车第一次相遇时，甲走了9份路程，乙走了7份路程，共行7+9＝16份的路程；第二次相遇时，甲走了9×2＝18份路程，即在返回的路上走了18﹣7＝11份路程，11﹣7＝4份的路程就是两次相遇点之间的距离，至此即可求出全程的千米数． 【解答】解：9×2﹣7＝11（份） 32÷（11﹣7）×（7+9） ＝32÷4×16 ＝8×16 ＝128（千米） 答：A、B两地之间的距离为128千米． 【点评】此题解答的关键是通过画图得出：两次相遇点之间的距离占全程的多少． 43．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 【答案】二。 【分析】当两人第一次相遇时，两人行驶了两地间距离的2倍，也就是950×2＝1900米，第一次相遇时需要的时间应该是：1900÷（40+150）＝1900÷190＝10（分钟），也就是说每过10分钟两人就需要相遇一次，所以第一次相遇时距B地的距离应该是950﹣40×10＝550 （米），第二次相遇时距B地的距离应该是950﹣400×2＝150米，第三次距B地的距离应该是400×3﹣950＝250米，此时甲要往回走，以后与B地的距离应该是越来越远，故此可得：第二次相遇时距离B地最近，据此即可解答。 【解答】解：（950×2）÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 950﹣10×2×40 ＝950﹣20×40 ＝950﹣800 ＝150（米） 答：甲、乙二人第二次迎面相遇时距B地最近。 【点评】解答本题的关键是判断出两人每次相遇间隔的时间，进而求出相遇的地点与B地的距离。 44．在一条公路上，甲、乙两地相距600米，小甬和小真进行竞走训练，小甬每小时走4千米，小真每小时走5千米。8时整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1分钟后二人掉头反向而行，又过3分钟，二人又都掉头相向而行，依次按照1、3、5，7……（连续奇数）分钟数掉头行走，那么二人相遇时是几时几分？ 【答案】8时24分。 【分析】若两人不掉头，则相遇时间：600÷1000÷（4+5）＝0.6÷9（小时），即4分钟，将他们每分钟走的路程看作单位“1”，向相遇点前进即为正，则二人按照1、﹣3、5、﹣7……的顺序前进，当总和到达4时相遇，计算出此时的时间，再加上出发时刻，从而求出相遇的时刻。 【解答】解：若两人不掉头，相遇时间为： 600÷1000÷（4+5） ＝0.6÷9 （小时） 小时＝4分钟 将他们每分钟走的路程看作单位“1”，向相遇点前进即为正，则二人按照1、﹣3、5、﹣7……的顺序前进，当向正方向前进4时，两人相遇： 1﹣3+5﹣7＝﹣4＜4 1﹣3+5﹣7+9＝5＞4 4﹣（﹣4）＝8 所以总用时为： 1+3+5+7+8＝24（分钟） 8时+24分＝8时24分 答：二人相遇时是8时24分。 【点评】本题主要考查了相遇问题，将问题转化为正负数问题是本题解题的关键。 45．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？ 【答案】480米。 【分析】从出发到第一次相遇甲乙两人共跑了半圈，其中乙跑了100米；从出发到第二次相遇甲乙两人共跑了三个半圈，其中甲跑的路程比一圈少60米，乙跑的路程比半圈多60米。因为他们以匀速跑步，所以乙总共跑了三个100米，从而半圈的长度为：300﹣60＝240米，跑道长就为：240×2＝480米；据此解答。 【解答】解：（100×3﹣60）×2 ＝240×2 ＝480（米） 答：这个圆形场地的周长是480米。 【点评】解答此题的关键是求出乙共跑了多少米，考查了学生对问题的分析判定能力。 46．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人第一次相遇，共行一个全程，用时为40分钟，第二次相遇，共行三个全程，所用时间为：40×3＝120分钟＝2小时相遇时，小张行了两个全程减去2千米，其速度为：[6×（40×3÷60）﹣2]÷2＝5（千米/小时），小王行了一个全程多2千米速度为：（6+2）÷2＝4（千米/小时）． 【解答】解：小张的速度为： [6×（40×3÷60）﹣2]÷2 ＝[6×2﹣2]÷2， ＝5（千米/小时）； 小王的速度为： （6+2）÷2 ＝8÷2， ＝4（千米/小时）． 故答案为：5，4． 【点评】在相遇问题中，一般第二次相遇时两人共行的路程为全程的三倍． 47．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 【答案】从出发开始，小狗一共跑了625米。 【分析】根据相遇时间＝路程÷速度之和，用700÷（82+58）＝5（分），即求得小明出发5分钟后和爸爸相遇。在这段时间里，小狗一直在跑，求小狗的跑动距离，用小明和爸爸的相遇时间×小狗的速度即可。 【解答】解：700÷（82+58） ＝700÷140 ＝5（分） 125×5＝625（米） 答：从出发开始，小狗一共跑了625米。 【点评】本题的关键在于求出小明和爸爸的相遇时间。 48．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!） 【答案】；190千米。 【分析】根据题意，第一次相遇，两车合走一个全程，这时货车行了80千米；到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，那么货车能行80×3＝240（千米）；这时货车行了1个全程还多50千米，再用240千米减去多行的50千米，即可求出全程。据此解答。 【解答】解：画图如下： 80×3﹣50 ＝240﹣50 ＝190（千米） 答：甲、乙两地间相距190千米。 【点评】解答本题的关键是明确：到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，这时货车行了1个全程还多50千米。 49．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】丙遇到乙后再过10分钟又遇到甲，则从丙遇到乙后，再和甲相遇的这10分钟里，甲丙共行了（20+25）×10＝450米，即乙丙相遇时，乙比甲多行了450米，甲、乙两人的速度差为22﹣20＝2米/分钟，则乙丙相遇时，甲、乙共行的时间450÷2＝225分钟，所以东、西两镇的距离为：（22+25）×225米． 【解答】解：（20+25）×10÷（22﹣20）×（22+25） ＝450÷2×47 ＝225×47 ＝10575（米） 答：两镇相距10575米． 【点评】解答此题关键是根据乙丙相遇后甲与丙的相遇时间求出相遇时甲、乙的距离差，再用甲乙路程差除以速度差，就可此求出乙、丙的相遇时间是完成本题的关键． 50．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。 【答案】160千米。 【分析】第一次相遇时，甲、乙合走了一个AB全程，且甲走了90千米．第二次相遇，甲、乙共合走了3个AB全程，则甲就走了（90×3）千米；根据第二次相遇时离A地50千米，也就是甲走的路程再加上50千米就等于AB全程的2倍；然后再除以2就是AB间的距离；列式解答即可。 【解答】解：（90×3+50）÷2 ＝320÷2 ＝160（千米） 答：A、B两地的距离是160千米。 【点评】解答此题的关键是求第二次相遇时甲汽车共行驶的路程。 51．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？ 【答案】140；40。 【分析】画出线段图，设东西两港相距x千米，第一次相遇，两船共走了一个x千米，第二次相遇共走了3x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两次相遇两船走的路程比相同列出方程求解即可，再根据容斥原理，求出两次相遇地点的距离。 【解答】解：设东西两港相距x千米，线段图如下： 根据两次相遇路程比相同，得到方程： 80（x﹣20）＝（x+20）（x﹣80） 80x﹣1600＝x2﹣60x﹣1600 x2﹣140x＝0 x（x﹣140）＝0 x＝140或0（舍去） 两次相遇点间的距离为： 80+100﹣140 ＝180﹣140 ＝40（千米） 答：东西两港相距140千米；两次的相遇地点相距40千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据相遇问题中，速度一定时，路程比不变列出方程是本题解题的关键。 52．小东和小光绕圆形湖跑步，小东跑一圈用8分钟，小光跑一圈用12分钟，如果两人同时从起点沿同一方向出发，至少要多少分钟后两人在起点处相遇？这时，小东跑了多少圈？小光跑了多少圈？ 【答案】见试题解答内容 【分析】可以通过求8、12的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数分别除以他们跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数． 【解答】解：8＝2×2×2 12＝2×2×3 8、12的最小公倍数是2×2×2×3＝24，所以至少24分钟后两人在起点再次相遇． 相遇时小东跑了：24÷8＝3（圈） 小光跑了：24÷12＝2（圈） 答：至少24分钟两人在起点再次相遇，相遇时小东跑了3圈，小光跑了2圈． 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力． 53．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 【答案】264千米。 【分析】（红色表示乙走的，黑色表示甲走的）。 如图所示，两人共走了3个全程，将全程分为11份，因为甲车的速度：乙车的速度＝6：5，所以同时间条件下，甲乙的路程比是6：5，3个全程就是33份，33÷11＝3（份）乙走了3×5＝15（份），乙折返回来走了15﹣11＝4（份），乙折返回来走多远则距厦门多远即15﹣11＝4（份），即算出一份的距离为：96÷4＝24（千米），据此解答。 【解答】解：6+5＝11（份） 11×3＝33（份） 33÷11＝3（份） 3×5＝15（份） 15﹣11＝4（份） 96÷4＝24（千米） 24×11＝264（千米） 答：福州到厦门264多少千米。 【点评】明确两次相遇，两车共行走了3个全程，这是解决这道题目的关键。 54．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 【答案】176米。 【分析】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。 【解答】解：设乙的速度为x米/分， 0.1米/秒＝6米/分 所以甲的速度为（x+6）米/分 8×（x+6+x）＝400×5 解得：x＝122 乙的总路程为： 122×8＝976（米） 976÷400＝2（圈）……176（米） 因为176＜400÷2， 所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。 答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$