山东省德州市2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷02

2024-2025学年八年级数学上学期期中考试试卷02 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第十一章三角形、第十二章三角形全等、第十三章轴对称。 5．难度系数：中等。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2．如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交于点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是（ ） A. AQ=BQ B. AP=BP C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠NMB 3．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ） A. 19cm B. 19cm 或 14cm C. 11cm D. 10cm 4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：7：4 D. 6：7：8 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（ ） A. 30° B. 35° C. 36° D. 45° 6．如图，BO平分，CO平分，，，，则的周长为（ ） A. 15 B. 18 C. 30 D. 33 7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（ ） A. △ABE的面积=△BCE的面积 B. ∠AFG=∠AGF C. BH=CH D. ∠FAG=2∠ACF 8．如图，在中，，，于点，于点，，，则长是（ ）． A. 4cm B. 5cm C. 3cm D. 9．如图，已知等边，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（ ）个 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.如图，已知，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 第Ⅱ卷 1. 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是______度． 12．如图，已知，，，则_____． 13．如图，平分，于E，于F，．若，则____． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 15. 如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______． 16．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 18．（4分）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E． （1）已知的周长，求的长； （2）若，，求的度数． 19. （6分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．（6分）如图，点D、E是等边的边、上的点，且，、相交于P点，于Q，已知，求的长． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD． 求证：（1）AD＝CF； （2）点F为BD的中点． 22．（10分）如图，在中，AB=AC=8, ． （1）求证：； （2）分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积． 23．（10分）如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O. (1)求证:DC=BE； (2)求∠BOC的度数； (3)当∠BAC度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由. 24.（12分）如图，△ABC是边长为6等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）若AE＝1时，求AP的长； （2）当∠BQD＝30°时，求AP的长； （3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由． 25．（12分）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． （1）若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； （2）如图，若为 的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是______（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中考试试卷02 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第十一章三角形、第十二章三角形全等、第十三章轴对称。 5．难度系数：中等。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：在为平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交于点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是（ ） A. AQ=BQ B. AP=BP C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠NMB 【答案】D 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可判断． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AP=BP，AQ=BQ， ∵点P是直线MN上的点， ∴∠MAP=∠MBP， ∴A，B，C正确，D错误， 故选D． 3．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和 3cm，则它的周长为（ ） A. 19cm B. 19cm 或 14cm C. 11cm D. 10cm 【答案】A 【分析】从①当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时；②当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，两种情况去分析即可． 【详解】当8cm的边是腰时，三角形的周长=8+8+3=19cm， 当3cm的边是腰时，因为3+3＜8，所以不能组成三角形， 所以等腰三角形ABC的周长=19cm， 故选：A． 4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：7：4 D. 6：7：8 【答案】D 【分析】过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD，利用角平分线性质可以得到OF=OE=OD，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】 如图，过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD ∵OC是∠BCA的角平分线 ∴OF=OD 同理OD=OE ∴OE=OF=OD ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=::=AB:BC:CA=6:7:8 故选：D． 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（ ） A. 30° B. 35° C. 36° D. 45° 【答案】C 【分析】根据正五边形的性质即可求出其内角，进而求出的大小，最后根据即可求出x． 【详解】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴，AE=DE=BC=CD， ∴ ∴． 故选：C． 6．如图，BO平分，CO平分，，，，则的周长为（ ） A. 15 B. 18 C. 30 D. 33 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB=MO，NO=NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长=AB+AC，进行计算即可解答． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB， ∵， ∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB， ∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC， ∴MB=MO，NO=NC， ∵AB=15，AC=18， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN =AM+MO+NO+AN =AM+MB+NC+AN =AB+AC =33， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（ ） A. △ABE的面积=△BCE的面积 B. ∠AFG=∠AGF C. BH=CH D. ∠FAG=2∠ACF 【答案】C 【分析】根据中线的性质即可判断A，根据直角三角形的锐角互余即可判断B，根据同角的余角相等以及角平分线的性质即可判断D. 【详解】根据三角形中线的性质可得:△ABE的面积和△BCE的面积相等,故A正确, 因为∠BAC＝90°,所以∠AFG+∠ACF=90°, 因为AD是高,所以∠DGC+∠DCG=90°, 因为CF是角平分线, 所以∠ACF=∠DCG， 所以∠AFG=∠DGC， 又因为∠DGC=∠AGF, 所以∠AFG＝∠AGF,故B正确, 因为∠FAG+∠ABC=90°,∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠FAG=∠ACB, 又因为CF是角平分线, 所以∠ACB＝2∠ACF, 所以∠FAG＝2∠ACF,故D正确, 假设BH＝CH，∠ACB=30°,则∠HBC=∠HCB=15°,∠ABC=60°, 所以∠ABE=60°－15°=45°, 因为∠BAC＝90°, 所以AB=AE, 因为AE=EC, 所以,这与在直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半相矛盾, 所以假设不成立,故C不一定正确, 故选：C 8．如图，在中，，，于点，于点，，，则长是（ ）． A. 4cm B. 5cm C. 3cm D. 【答案】B 【分析】先说明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：， ∴, ∴， 又， ∴， ∴, ∴． 故选：B． 9．如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（ ）个 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，从而得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE＝CG，DE＝FG，故①正确； 在△DEP和△FGP中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误； ∵PG＝PC＋CG， ∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2， ∴PE＝1，故④正确． 故答案为：C． 10.如图，已知，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【分析】根据等边三角形的定义得出，求出，得到，由此得到的边长为2，再推理得到规律：的边长为，代入n的值即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为2， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边长是， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 的边长为， ， ∴的边长为， ∴的边长为， 故选：C． 第Ⅱ卷 1. 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是______度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是分类讨论． 已知等腰三角形的一个外角是，则等腰三角形的一个内角是，但题中没有说明这个角是顶角还是底角，所以分两种情况进行讨论． 【详解】等腰三角形的一个外角是， 等腰三角形的一个内角是， 当为顶角时，其他两个角都是底角且等于， 当为底角时，其他两个角为、， 等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 12．如图，已知，，，则_____． 【答案】或度 【分析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，平分，于E，于F，．若，则____． 【答案】4 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵BD平分∠ABC，， ∴， ∵， ∴， 即，解得． 故答案为：4． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，如图，连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小，由题意，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长，， ∴的值最小时，的周长最小， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______． 【答案】或 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长． 【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在和中， ∴ ∴BG＝AC，， 又∵AE＝EF， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF， 又∵BE＝7CE，AE＝， ∴BF＋EF＝， 即BF＋＝， 解得BF＝． 故答案为： 16．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：①是等边三角形，；②是一般，；从而得到答案． 【详解】解：根据题意，若，如图所示： 此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论： ①如图所示： 为等腰三角形，， ， 在长方形中，，，则， ，， ， 是等边三角形，即； ②如图所示： 为等腰三角形， ， ，是的一个外角， ，即， 在长方形中，，，则， ，， ， 在中，利用三角形内角和定理可知： ； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出． 【详解】证明：，， ∴和是直角三角形， 和中， ， ∴． ． 又， ； ． 在和中， ， ． ． 18．（4分）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E． （1）已知的周长，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 19. （6分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．得到两线交点即为发射塔的位置是解决问题的关键． 【详解】解：设两条公路相交于O点．P为线段的垂直平分线与的平分线交点或是与的平分线交点即为发射塔的位置． 如图，满足条件的点有两个，即P、． 20．（6分）如图，点D、E是等边的边、上的点，且，、相交于P点，于Q，已知，求的长． 【答案】6 【分析】由题中条件可得，得出，，进而得出，又，所以在中，求解的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD． 求证：（1）AD＝CF； （2）点F为BD的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】(1) 根据等腰直角三角形的性质, 判定ΔADE≌ΔCFE, 即可得出AD=CF; (2) 先判定ΔACD≌ΔCBF, 得到CD=BF, ∠ACD=∠CBF, 再依据∠DCF=∠DFC, 可得DC=DF, 即可得到点F为BD的中点. 【详解】解：（1）∵E为AC边的中点， ∴AE＝CE， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF平分∠ACB， ∴∠BAC＝45°＝∠ECF， ∵AD⊥AB， ∴∠DAC＝45°＝∠FCE， 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF； （2）∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB，AD＝CF， ∴△ACD≌△CBF， ∴CD＝BF，∠ACD＝∠CBF， ∵∠DCF＝∠ACD+∠ECF＝∠ACD+45°，∠DFC＝∠CBF+∠BCF＝∠CBF+45°， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴DC＝DF， ∴BF＝DF，即点F为BD的中点． 22．（10分）如图，在中，AB=AC=8, ． （1）求证：； （2）分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）16 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点E，根据题意可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答. 【详解】解：（1）在中， ∵, ∴. ∵, ∴. ∴； （2）过点D作的延长线于点E， 由作图得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵,, ∴， ∴的面积． 23．（10分）如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O. (1)求证:DC=BE； (2)求∠BOC的度数； (3)当∠BAC度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)∠BOC=120°；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.∠BOC=120°. 【分析】（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE； （2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题； （3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关． 【详解】（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）； ∴DC=BE （2）解：∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC=∠ABE， ∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°， ∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°， （3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD， ∴∠BOC和∠BAC大小无关． 24.（12分）如图，△ABC是边长为6等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）若AE＝1时，求AP的长； （2）当∠BQD＝30°时，求AP的长； （3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）2 （3）DE=3是定值 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A=60°，根据三角形内角和定理得到∠APE=30°，根据直角三角形的性质计算； （2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可； （3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵PE⊥AB， ∴∠APE=30°， ∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AB， ∴AP=2AE=2； （2）过P作PF∥QC， 则△AFP是等边三角形， ∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP， ∴BQ=PF， 在△DBQ和△DFP中， ， ∴△DBQ≌△DFP， ∴BD=DF， ∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°， ∴BD=DF=FA=AB=2， ∴AP=2； (3)由（2）知BD=DF， ∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB， ∴AE=EF， ∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=3为定值，即DE的长不变． 25．（12分）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． （1）若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； （2）如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是______（直接写出答案）． 【答案】（1）①见解析②见解析 （2） 【分析】（1）①由角平分线的性质及直角三角形的性质得出，得出，则可得出结论； ②证明，由全等三角形的性质得出，，证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题； （2）作交的延长线于．只要证明，，即可解决问题． 【详解】解（1）①证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴（）， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴． （2）解：，，三条线段的数量关系是．如图中，作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$