2025年中考数学二轮高频压轴题突破——二次函数与线段周长问题

2025年中考数学高频压轴题突破——二次函数与线段周长问题 一、解答题 1．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点和点，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)求所在直线的函数解析式； (3)过点作轴交直线于点，求线段长度的最大值． 2．如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B， （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求抛物线y的函数表达式； (2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作交于点E，作轴交抛物线于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，的对称轴交x轴于点H，D为的顶点，M为对称轴右侧图象上的一点，N为对称轴上的一点，当时，直接写出的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），探究：抛物线（m为常数）交x轴于点M、N两点． （1）当m＝2时． ①求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长； ②抛物线上有一点P，使，求出点P的坐标； （2）对于抛物线（m为常数）． ①线段MN的长是否发生变化，请说明理由． ②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中．有抛物线和.抛物线经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B．P是抛物线上一点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．过点Q作PQ的垂线交抛物线于点（不与点Q重合），连结.设点P的横坐标为m． (1)求a的值； (2)当抛物线经过原点时，设与△OAB重叠部分图形的周长为l． ①求的值； ②求l与m之间的函数关系式； (3)当h为何值时，存在点P，使以点为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第二象限抛物线上一点，过点D作轴，垂足为H，连接交于点Q，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点Р在上，，连接PA，点E，F分别在，上，连接，，，，求点Р的坐标． 7．在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点.过点作直线轴，交轴于点. （Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴； （Ⅱ）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 9．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，4)，且与直线y＝－x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(－3，0)． (1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； (3)在(2)的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标． 11．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)求点A，B和C的坐标； (2)点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当时，求点E的横坐标； (3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间． 12．如图1，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点在B的左边，交y轴于C，直线经过B、C两点． 求抛物线的解析式； 为直线BC下方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于E点设，求m的最大值及此时P点坐标； 探究是否存在第一象限的抛物线上一点M，以及y轴正半轴上一点N，使得，且若存在，求出M、N两点坐标；否则，说明理由． 13．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值； （3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求m的值及直线的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点Q为的中点，连接，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点Р作x轴的垂线．垂足为H，交于点M，交直线于点J，过点M作，垂足为N．是否存在与和的最大值﹖若存在，求出与和的最大值；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． (1) 求抛物线与直线的解析式； (2)点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM∥CE交线段AD于M点. ①过D点作DE⊥y轴于点E，问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由; ②作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m关于x的函数关系式，并求出m的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$