中国科学技术大学2022年新生入学考试数学试题

满分：100分，考试时间120分钟。须写出必要的计算和证明过程，结果需简化。禁止使用手机、计算机等 电子设备。 1.(10分)设0=100°，求P=(sin9+cos8)(1-4sin0cos0)的值. 2.（10分)袋中共有m+n个小球，m个红球，n个蓝球，除了颜色之外完全相同.每次从袋 中随机取出一个小球，若为红球测放回袋中；若为蓝球则不放回，直至取出所有蓝球.求 取球次数的数学期望. 3.(20分)设映射f:N→R满足：f(1)=2,fm+m)=)f2m)+2fm)-fm-n)-n ,m≥n.求f2022)的值. 4.(20分)设点A是圆C,的圆心，线段AB是圆C2的直径，圆C1、C2相交于E、F两点，点G 是EF的中点，点H是C关于A的对称点，线段BH是圆C3的直径，圆C、C相交于P、Q两 点.证明：线段PQ是C,的直径 5.（20吩)设a、b、都是正数且a+b+c=1,求S=a十平+十e 。的取值 +e2+a2 范围 6.(20分)设1，a2,,s是R3中任意5个非零向量，证明：必存在向量B∈R3,它与1 ,2,·,Q中至多一个向量的夹角是钝角. 试题解答和评分参考 1.(10分)设0=100°，求P=(sin0+cos0)(1-4sin0cos0)的值 P sin 0+cos0-2(1-cos 20)cos 0-2 sin (1+cos 20)=-sin 0-cos0+2 cos0 cos 20- 2sin8cos20=cos30-sin30=cos60°+sin60°=1 (10分) 2.(10分)袋中共有m+n个小球，m个红球、n个蓝球，除了颜色之外完全相同.每次从袋 中随机取出一个小球，若为红球则放回袋中，若为蓝球则不放回，直至取出所有蓝球.求取 球次数的数学期望. 解答.设an是所求数学期望.a0=0,an=1十nan十mna-1,n≥1. (5分) 由此可得，a,=+a-1=…=n十m公1. 与k1 (5分) 3.(20分)已知映射f:N→R满足f1)=2,f(m+m)=f(2m)+2f(m)-f(m-n)-n, m≥n.求f(2022)的值. 解答.在题设中，令m=n=0,得f0)=0:令m=n=1,得f(2)=6. (5分) 令n=1,得f(m+1)=2f(m)-f(m-1)+2,m≥1. (5分) fm+1)-f(m)=f(m)-f(m-1)+2=…=f(1)-f0)+2m=2(m+1). (5分) f(2022)=2(1+2+·+2022)=2022×2023=4090506 (5分) 4.(20分)已知点A是圆C的圆心，线段AB是圆C2的直径，圆C,C2相交于两点E.F, 点G是线段EF的中点，点H是G关于A的对称点，线段BH是圆C3的直径，圆C,C3 相交于两点P,Q.证明：线段PQ是C1的直径 证明.建立直角坐标系，设A(0,0),B(6,0),C1:x2+y2=1,C2:x2-bc+y2=0.(5分) 联立C,C2方程，得G,H=(士，0)，其中b>1. (5分) 从而C3:(x-b)(x+)+y2=0. (5分) 联立C1,C3方程，得P,Q=(0,土1.故PQ是C1的直径。 (5分) 5.(20分)设a,b,c都是正数且a+b+c=1.求S=十e+的取值范围. 解答.不妨设a≥b≥c.取定c,S=中十a平+三-e-2+- a2+b2+2c2 (1-c)2-2(ab-c2) 可视为x=b-2的函数，S=f回=-西+4品等： (5分) 2 2x(a2+b2-2c2) 由f')=ap-a+e+e西-昴≤0,0<c≤(（1-c2+4c2<1, 得5≥f9-c2)=2可+-+2>2+8=10. 2 8 (10分) 当(a,bcd)→(，3,0)时，S→10.当(a,b,c)→(1,0,0)时，5→+o. 由函数的连续性，S的取值范围是(10，+∞). (5分) 6.(20分)设Q1,·,a5是R3中任意5个非零向量.证明：必存在非零向量B∈R3,它与 1,…,5中至多一个向量的夹角是钝角。 证明.设Q:=OA.情形1：O,A1,·,A中存在四点共面（此平面记作π）： 若O生不，A1,·,A4∈π，则存在不的法向量B,它与a1,·,Q4的夹角都是锐角.(5分) 若O,A1,A2,A3∈π，则存在π的法向量3，它与a1,a2,ag的夹角是直角，与a4的夹角是 锐角或直角。 (5分) 情形2：O,A1,·,A5中任意三点不共线、任意四点不共面 若O在四面体A1A2AA4外部，则可过O作平面π，使得A1,·,A4在π的同侧.存在 π的法向量B,它与Q1,…,a4的夹角都是锐角。 (5分) 若0在A1A2A3A4的内部，则无论A5在A1A2A3A4的内部或外部，O必在A1A2AA A1A2A4A5、A1A3A4A5、A2A3A4A之一的外部.同上，存在3满足题目要求.(5分)