中国科学技术大学2023年新生入学考试数学试题

2023年中国科学技术大学新生入学考试数学试题 一、填空题（每空5分，共40分，结果须化简，写在答题纸上) 1.i是虚数单位，集合{x∈Rlx一1+x-=2}= 2,在双曲线)。的两个焦点中，距离(0,0)最近的焦点的坐标是 3.设S=1,2,3,4,5},满足f(x)=f(f(x)的映射f:S→S的数目是 4.设函数y=f(x)和y=x3的图像关于直线x+y=1对称，则f(x)= 5.设随机变量X服从二项分布B(10,0.1),则X3的数学期望E(X3)= 6.设五边形的顶点都在平面区域{(x,y)川x2+2y2≤1，y≥0}中，此五边形的面积的最大值 是 7.把边长3×4的矩形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，设0是异面直线AC与BD的 夹角，则tan0= 8.设O,O2分别是圆柱P的上、下底面而1，π2的中心，Q,是以O,为顶点，π3-，为底面的圆 锥体，若P的体积是1，则Q1,Q2的公共部分的体积是 二、解答题（每题20分，共60分，须写出必要的计算和证明过程） 9.在平面直角坐标系中，A=(1,0),过圆C:x2+y2=4上动点P作直线lLPA,求l扫 过的圆C内部区域的面积 10.设an= 其中n∈N,C是组合数 求证：(1)数列{an〉单调递减：(2)对于任意正实数e,存在正整数n,使得a,<e 1.求证：对于任意正整数n和实数，，…，，∑g十小≥∑g一恒成立 参考答案和评分标准 oo,3 ②(1,0) ®196 ④1+x- ⑤4.42 1( 0.设P-gcm2血叭，则L:y=2e-2s明+2a, (6分) 化简得（红+）c0s0+y血9=贡+2. 故（红+12+≥（亏+22，并且等号可取到. (8分) 飞扫过的圆内区线工=e,12+r≤4且苦+号≥山。 其面积=(4-2V3m. (6分) 10. 句芒-烈号<1故a}单调运减 (5分) (间)热知e≥1+x对x∈R恒成立. (5分) 故a=公<c=e,英中8-含裙 (5分) 设n=2空，m∈则8≥1+含空安-1+受当m>b时，a<6,6分别 11.对n归纳证明…)=(+小--列≥0恒成立。 不妨设z≤…≤.当n=1时，结论显然成立.当n≥2时， x<0 a动=会2mne0g(小其中o(因)-气0 x=0. (6分) x>0 若x1=0,则∫（红1，…，xn)=八2，…，xn小.根据归纳假设， 结论成立 (2分) 4+1,xx1<0 若x1卡0，令斯= 得h=0,x≥0，=l+.(4分) x-x1,xx1>0 则fe,…,n)=jm,…,n)+2xl∑g(x)=j八h…:h)+2p-g2, 其中卫，9分别是x1,…,xn中的正数和负数个数. (6分) 根据归纳假设，八x1,…,x)≥0. (2分)