精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末数学试卷（一）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 6、8、10 C. 8、15、17 D. 10、12、15 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 4. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，表示是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 10厘米 9. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限； ③不等式的解集是；④． 其中正确的是（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11 若，且，则m+n=__． 12. 若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是_____． 13. 在直角坐标系中，点P（2，－3）到原点的距离是_______． 14. 某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树___________株． 15. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 16. 菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则周长的最小值是__________． 三．解答题 17. 计算：． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 19. 如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，绿化环境，并在处修一条小路，经测量，，米，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求种植草坪的面积． 20. 某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 （1）学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ； （2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 21. 为宣传“人海和谐共生”的环保理念，某海洋馆面向社会推出优惠活动，活动套餐如下： 套餐一：购买会员卡，购买门票打五折； 套餐二：不购买会员卡，购买门票打七五折． 若在此优惠活动期间购买一张会员卡的费用为40元，游玩x次，按套餐一所需费用为元，且；按套餐二所需费用为元，且，其函数图象如图． （1）求和b的值； （2）小明在优惠活动期间来此海洋馆游玩8次，选择哪种方案合算？请说明理由． 22. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为c． （1）结合图①，求证：. （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为24，．求该图形的面积． 23. 先阅读下面的一段文字，再解答问题． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为． 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或． （1）已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离； （2）已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标； （3）已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由． 24. 如图，正方形边在坐标轴上，点B坐标为，将正方形绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形交线段与点G，的延长线交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）认真探究，直接写出 ，之间数量关系为 ． （3）连接得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． （1）求a和k值； （2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； （3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、3与不同类二次根式，能合并，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 6、8、10 C. 8、15、17 D. 10、12、15 【答案】D 【解析】 【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．据此逐一判定即可得到答案． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，根据定义判断． 【详解】解：A、当时，，此时不是最简二次根式，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 4. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零列式解答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 5. 下列函数中，表示是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义条件：是常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意； B、不是表示是的正比例函数，故本选项不合题意； C、不是表示是的正比例函数，故本选项不合题意； D、符合正比例函数的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 把的图像沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【详解】将一次函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位， 那么平移后所得图象的函数解析式为：y=2x+1-5， 化简得，y=2x-4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 7. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠可得，，从而求出，，可得，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：长方形纸条沿折叠， ，， ，， ， ∴， ， 故选：A． 【点睛】此题考查翻折问题，平行线的性质，关键是根据翻折前后对应角相等解答． 8. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 10厘米 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱体的侧面展开，通过勾股定理求出的长即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接， 圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米， ，， 蚂蚁爬行的最短距离， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 9. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断． 【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，CD∥AB， ∴∠BAE=∠DEA， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DA=DE，所以B选项不符合题意， ∴CD=DE，所以D选项不符合题意， 不能确定DE=BE，所以C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． 10. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限； ③不等式的解集是；④． 其中正确的是（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， a＞0，则-a＜0，对于函数来说，y随x的增大而减小，故①错误； a＞0，d＞0，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确； 由可得，故不等式的解集是，故③正确； 由可以得到，故④正确． 综上所述，正确的有②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 若，且，则m+n=__． 【答案】3 【解析】 【分析】将m2-n2按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值． 【详解】解：m2-n2=（m+n）（m-n）=（m+n）×2=6， 故m+n=3． 故答案为3． 12. 若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】直接把点（m，n）代入函数y=2x+1即可得出结论． 【详解】解：∵点（m，n）在函数y=2x+1的图象上， ∴2m+1=n，即2m﹣n=﹣1． 故答案为﹣1． 13. 在直角坐标系中，点P（2，－3）到原点的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离． 【详解】解：过P作PE⊥x轴，连接OP， ∵P（2，-3）， ∴PE=3，OE=2， 在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2=PE2+OE2=9+4=13， ∴OP=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解题的关键． 14. 某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树___________株． 【答案】5 【解析】 【分析】根据加权平均数公式即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知：（4+3+7+4+7）=5， ∴平均每组植树5株． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了加权平均数，解决本题的关键是掌握加权平均数公式． 15. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB长是 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 16. 菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则周长的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对称性，连接，交于点P，连接，得到是等边三角形，推出，根据点E是的中点，求出，，设，则，根据勾股定理求出x即可． 【详解】解：连接，交于点P，连接， ∵四边形是菱形，，点， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴周长的最小值是, 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 三．解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简进行计算，再进行加减计算． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形． 19. 如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，绿化环境，并在处修一条小路，经测量，，米，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求种植草坪的面积． 【答案】（1）小路的长为米； （2）种植草坪的面积是平方米． 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求小路的长； （2）由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得种植草坪的面积． 【小问1详解】 解：在中，，米，米，则： （米）． 答：小路的长为米； 【小问2详解】 解：在中，米，米，米，则： ，． 所以． 所以直角三角形，且． 故 （平方米）． 答：种植草坪的面积是平方米． 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 （1）学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ； （2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【答案】（1）4.5首 （2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数； （2）根据表格中的数据可以解答本题； （3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：本次调查的学生有：（名）， 背诵4首的有：（人）， ∵， ∴这组数据的中位数是：（首）， 故答案为：4.5首； 【小问2详解】 大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：（人）， 答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人； 【小问3详解】 活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想（答案不唯一）． 21. 为宣传“人海和谐共生”的环保理念，某海洋馆面向社会推出优惠活动，活动套餐如下： 套餐一：购买会员卡，购买门票打五折； 套餐二：不购买会员卡，购买门票打七五折． 若在此优惠活动期间购买一张会员卡的费用为40元，游玩x次，按套餐一所需费用为元，且；按套餐二所需费用为元，且，其函数图象如图． （1）求和b的值； （2）小明在优惠活动期间来此海洋馆游玩8次，选择哪种方案合算？请说明理由． 【答案】（1） （2）选择方案一合算，见解析 【解析】 【分析】（1）由图象知，的图象过点，代入解析式求解即可； （2）由（1）得，可知，表示的实际意义是：购买一张会员卡后每次游泳费用为16元；表示的实际意义是：购买一张会员卡的费用为40元，求出优惠活动前每次游泳的费用为（元），得到，即，将分别代入，求出和比较即可． 【小问1详解】 解：由图象知，的图象过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）得， 可知，表示的实际意义是：购买一张会员卡后每次游泳费用为16元；表示的实际意义是：购买一张会员卡的费用为40元， ∴优惠活动前每次游泳的费用为（元）， ∴，即， ∴当时，，， ∵， ∴选择方案一合算． 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． 22. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为c． （1）结合图①，求证：. （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为24，．求该图形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由图形可知，大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全相同的直角三角形的面积的和，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长，得到，设，利用勾股定理列方程，求得，从而得到，即可求出该图形的面积． 【小问1详解】 证明：由图形可知，小正方形的边长为， ， ， ； 【小问2详解】 解： 图形的周长为24， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 图形的面积． 【点睛】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． 23. 先阅读下面的一段文字，再解答问题． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为． 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或． （1）已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离； （2）已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标； （3）已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）AB= （2）（3，-）或（-13，-） （3）△ABC的形状为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式代入求解； （2）根据A，B在垂直于轴的直线上可知点A与点B的纵坐标相等，设B（，-），代入两点间的距离公式，求解即可； （3）利用两点间的距离公式求出三角形三边的长度，即可判断三角形的性质． 【小问1详解】 ∵A(1，5)，B(-3，6) ∴AB= =； 【小问2详解】 ∵A，B在垂直于轴的直线上， ∴点A与点B的纵坐标相等， 设B（，-）， ∴， ∴， ∴B(3，-)或（-13，-）， 【小问3详解】 △ABC的形状为等腰三角形， ∵A（0，6），B（-3，2），C（3，2）， ∴AB= =5， AC= =5， BC= =6， ∴AB=AC=5， ∴△ABC的形状为等腰三角形． 【点睛】本题考查了两点间距离公式和勾股定理，解题的关键是会应用公式求出线段的长度． 24. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标为，将正方形绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形交线段与点G，的延长线交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）认真探究，直接写出 ，之间的数量关系为 ． （3）连接得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）能，H的坐标是 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得出，根据旋转的性质得出，，求出，根据推出G即可； （2）求出，推出，根据全等得出，即可得出答案； （3）根据正方形性质得出，根据矩形的性质得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出x即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵旋转正方形到正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：时，， 理由是：∵， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在旋转过程中四边形能为矩形， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴H的坐标是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． （1）求a和k的值； （2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； （3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式即可求得的值，从而确定点是坐标，再将点的坐标代入即可求得值； （2）首先得到直线解析式，然后得到点的坐标，根据的面积，求得或，代入直线的解析式即可求得答案； （3）设点的坐标为，根据点、的坐标，得到，然后分①当是边时和②当是对角线时，则的中点，即为的中点，且轴，进而求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入并解得：， 故点， 将点的坐标代入，得， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得直线的表达式为：， 则点， 的面积， 解得：或， 故点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 当，是边时， 当点在点的上方时，则，即， 解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位， 则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴点纵坐标为，即：， ∴， ∴， ∵的中点也为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法，菱形的判定与性质等，解答的关键是注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$