精品解析：四川省广安市广安区广安友谊中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

2023-2024学年四川省广安市广安区友谊中学七年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，3，0，四个数中，最大数是（ ） A B. 3 C. 0 D. 2. 东湖隧道是湖北武汉东湖通道的重要组成部分，全长约．将10600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 单项式系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 100 4. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. （精确到） D. 近似数万是精确到千位 5. 若|a|=a，则a一定是（　　） A 非负数 B. 负数 C. 正数 D. 零 6. 某种商品原价每件m元，第一次降价打“八折”，第二次降价每件减10元，则第二次降价后的售价是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 8. 已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 若多项式的值为8，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 a b 表格中a、b的值正确的是（ ） A. a=2，b=3 B. a=3，b=2 C. a=3，b=4 D. a=2，b=2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是__，倒数是__，绝对值等于它自己的数是__． 12. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m到原点距离为3，则3（a+b）+2cd+m的值为 ___． 13. 轮船在顺水中的速度为，水流的速度为，轮船顺水航行5小时比逆水航行5小时多行驶______千米． 14. 七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用（单位：元）和购买笔记本总数（单位：本）的关系为 ，如果需要本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少的值为___________． 15. 当时，代数式的值为-15，则当时，代数式的值为______． 16. 下列说法： ①若，则； ②若满足，则一定不是负数； ③已知，为有理数，若，则是负数； ④多项式合并同类项后不含项，则的值是，其中一定正确的结论是________（只填序号）． 三、解答题（共72分）写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x的值． 20. 已知，． （1）化简：；（结果用含，的式子表示） （2）若（1）中的化简结果与的取值无关，请你求出字母的值． 21. 如图是福州市地铁1号线地图的一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从树兜站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，； （1）请通过计算说明A站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 22. 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后（不超过50克），它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题： 质量（克） 1 2 3 4 ……n 伸长量（厘米） 0.5 1 15 2 …… 总长度（厘米） 10.5 11 11.5 12 …… （1）要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ （2）当所挂重物为x克时，用代数式表示此时弹簧的总长度． （3）当x=30克时，求此时弹簧的总长度． 23. 如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． （1）若由、（、均为的正整数）组成的两位数、，则与的和一定能被_______整除； （2）现有一个四位数，若它是“完美数”，则这个“完美数”一定能被_______整除； （3）现有一个三位“完美数”，、、均为的正整数，若这个“完美数”正好能被9整除，请直接写出符合条件的所有“完美数”． 24. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？ 经过研究，这个问题的一般结论是，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？ 观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你计算： （1） （2） （3）． 25. 已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；，两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2022次时，求点所对应的有理数； （3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒（）个单位长度在，之间运动（到达或即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四川省广安市广安区友谊中学七年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，3，0，四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数大小比较法则“正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即最大的数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查比较有理数的大小，熟练掌握比较有理数的大小法则是解题的关键． 2. 东湖隧道是湖北武汉东湖通道的重要组成部分，全长约．将10600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 单项式的系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是100， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式的系数概念，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 4. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. （精确到） D. 近似数万是精确到千位 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的混合运算，绝对值，近似数，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 ，故A符合题意； B、当时，则，故B不符合题意； C、（精确到），故C不符合题意； D、近似数万是精确到百位，故D不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，近似数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 若|a|=a，则a一定是（　　） A. 非负数 B. 负数 C. 正数 D. 零 【答案】A 【解析】 【详解】根据绝对值的代数意义，得 (1) 当a为正数时，； (2) 当a为零时，因为，所以； (3) 当a为负数时，. 因此，若，则a可以是正数或零，即a一定是非负数. 故本题应选A. 6. 某种商品原价每件m元，第一次降价打“八折”，第二次降价每件减10元，则第二次降价后的售价是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据折扣价等于原价乘以折扣率，得到第一次的价格，再减去10元，得到第二次的售价即可． 【详解】解：由题意，得：第二次降价后的售价为：元； 故选D． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 8. 已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再根据有理数的四则运算法则判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴四个选项中只有A选项结论错误，符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，根据数轴上点的位置判断式子符号，正确得到是解题的关键． 9. 若多项式的值为8，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，代入代数式求值即可求解． 【详解】解：多项式的值为， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 10. 下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 a b 表格中a、b的值正确的是（ ） A. a=2，b=3 B. a=3，b=2 C. a=3，b=4 D. a=2，b=2 【答案】D 【解析】 【分析】对比图表中七、八年级小组活动次数可知，八年级比七年级多活动1次文艺小组，总时间多2小时，由此可以指导文艺小组活动每次2小时，再通过七年级的活动次数可以求出科技小组活动每次1.5小时，然后列代数式，求代数式的整数解． 【详解】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时． 设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数次，因为活动次数为整数，所以当时，． 故选D 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是__，倒数是__，绝对值等于它自己的数是__． 【答案】 ①. ②. ③. 非负数 【解析】 【分析】本题考查倒数、相反数、绝对值，根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的性质进行解题即可． 【详解】相反数是，倒数是，绝对值等于它自己的数是非负数． 故答案为：，，非负数． 12. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m到原点距离为3，则3（a+b）+2cd+m的值为 ___． 【答案】5或－1 【解析】 【分析】根据相反数和倒数的定义可得a＋b＝0，cd＝1，根据数轴上两点间距离可得m＝±3，然后代入求值． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m到原点距离为3， ∴a＋b＝0，cd＝1，m＝±3， 当m＝3时，原式＝3×0＋2×1＋3＝0＋2＋3＝5， 当m＝−3时，原式＝3×0＋2×1−3＝0＋2−3＝－1， 故答案为：5或－1． 【点睛】本题考查相反数，倒数的概念，数轴上两点间的距离，理解互为相反数的两个数和为0，乘积是1的两个数互为倒数并利用分类讨论思想解题是关键． 13. 轮船在顺水中的速度为，水流的速度为，轮船顺水航行5小时比逆水航行5小时多行驶______千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据路程速度时间，再根据某轮船顺水航行5小时，逆水航行5小时，已知轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度y千米/小时，列出代数式，即可得出答案． 【详解】解：(千米)． 故轮船顺水航行5小时比逆水航行5小时多行驶千米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握好路程速度时间，从而可列出代数式． 14. 七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用（单位：元）和购买笔记本总数（单位：本）的关系为 ，如果需要本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少的值为___________． 【答案】元 【解析】 【分析】根据解析式，买101本最省钱，代入关系式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，如果需要本笔记本， 则买101本最省钱，此时总费用最少的值为． 故答案为：元． 【点睛】本题考查了代数式求值，根据关系式判断的值是解题的关键． 15. 当时，代数式的值为-15，则当时，代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得到，然后将和代入计算即可． 【详解】将代入得到， 当时， ． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，整体代入是解题的关键． 16. 下列说法： ①若，则； ②若满足，则一定不是负数； ③已知，为有理数，若，则是负数； ④多项式合并同类项后不含项，则的值是，其中一定正确的结论是________（只填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据除法运算法则、绝对值的性质、通过举例和有理数的混合运算、合并同类项法则和解方程等知识，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴；故①正确； ∵， ∴，即a的绝对值等于它本身， ∴a是非负数，一定不是负数；故②正确； 取，，满足，此时，故③不一定正确， ∵中不含项， ∴，解得,故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了合并同类项、绝对值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是掌握相应的运算法则． 三、解答题（共72分）写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据有理数的加减进行计算即可求解． （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】去括号，合并同类项把所求式子化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则，把所求式子化简． 19. 下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x的值． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得：且，所以；同理可得；因为，，所以；因为，所以． 【详解】解：由题意可得：且， ∴， ∵，，， ∴； ∵，， ∴， ∵ ，，， ∴． 即x的值为5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是把两个字母的和当作一个整体来看，即可求得未知数的值． 20. 已知，． （1）化简：；（结果用含，的式子表示） （2）若（1）中的化简结果与的取值无关，请你求出字母的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再将代入计算即可； （2）令含a的项系数为0，即可求出b的值． 【小问1详解】 ， 把，代入得： 原式 ； 【小问2详解】 与的取值无关， ， 解得． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则． 21. 如图是福州市地铁1号线地图的一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从树兜站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，； （1）请通过计算说明A站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】（1）A站是树兜站； （2）小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米 【解析】 【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断A站的位置； （2）计算所有站数绝对值的和，再乘以1.2即可． 【小问1详解】 解：， A站是树兜站； 【小问2详解】 解：， （千米） ∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，有理数混合运算，理解绝对值、正负数的意义是解题的关键． 22. 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后（不超过50克），它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题： 质量（克） 1 2 3 4 ……n 伸长量（厘米） 0.5 1 1.5 2 …… 总长度（厘米） 10.5 11 11.5 12 …… （1）要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ （2）当所挂重物为x克时，用代数式表示此时弹簧的总长度． （3）当x=30克时，求此时弹簧的总长度． 【答案】（1）10克；（２）；（3）25cm． 【解析】 【分析】（1）当弹簧上挂重物后，弹簧伸长，变为，即可得出弹簧伸长，应挂重物的克数； （2）当弹簧上挂重物后，弹簧伸长，变为，那么弹簧不挂重物时长，挂在10的基础上加1个0.5，挂，就在10的基础上加个0.5；（3）把代入计算即可． 【详解】解：（1）由表格可知弹簧每伸长1厘米，需挂2克重物， 所以要使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； （2）弹簧总长度为； （3）将代入得弹簧的总长度为25厘米． 【点睛】本题考查根据题意列代数式及代数式求值，掌握题目中的等量关系是本题的解题关键． 23. 如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． （1）若由、（、均为的正整数）组成的两位数、，则与的和一定能被_______整除； （2）现有一个四位数，若它是“完美数”，则这个“完美数”一定能被_______整除； （3）现有一个三位“完美数”，、、均为的正整数，若这个“完美数”正好能被9整除，请直接写出符合条件的所有“完美数”． 【答案】（1） （2） （3）这个“完美数”为，，，，，，，，． 【解析】 【分析】（1）先分别表示为，为，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案； （2）由题意可得这个四位的完美数为，其中，为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案； （3）由题意可得这个三位完美数可表示为，再根据整除的含义可得或或，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵、（、均为的正整数）组成的两位数、， ∴为，为， ∴这两个数的和为：， ∴与的和一定能被整除； 【小问2详解】 ∵一个四位数，它是“完美数”， ∴这个四位数为，其中，为一位正整数， ∴这个四位数为：， ∴这个“完美数”一定能被整除； 【小问3详解】 ∵有一个三位“完美数”，、、均为的正整数， ∴， ∴这个完美数为：， ∵这个“完美数”正好能被9整除， ∴是9的倍数， ∴或或， 当时， ∴，，，， 此时这个“完美数”为，，，， 当时， ，，，， 此时这个“完美数”为，，，， 当时， ， 此时这个“完美数”为， 综上：这个“完美数”为，，，，，，，，． 【点睛】本题考查是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，列出正确的运算式与方程是解本题的关键． 24. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？ 经过研究，这个问题的一般结论是，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？ 观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1）343400 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算； （2）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算； （3）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【点睛】考本题考查了有理数的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是找到题目中的规律，从而进行化简． 25. 已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；，两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2022次时，求点所对应的有理数； （3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒（）个单位长度在，之间运动（到达或即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】（1）-4，6，10； （2）1007； （3）向左运动，的值为． 【解析】 【分析】（1）由题意直接可求解； （2）根据点的运动特点，可得； （3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意知：， ∴ ∴AB的距离为10， 故答案为：，6，10； 【小问2详解】 解：依题意：点P第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为，… 即， 即点P对应的数为1007， 【小问3详解】 解：依题意，运动后点A对应的数为，点B对应的数为， ①当点D向左运动时，点D对应的数为 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 当的值始终固定，则，； ②当点D向右运动时，点D对应的数为， 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 当的值始终固定，则，， 因为，不符合题意，舍去， 综上所述，当的值始终固定，点D向左运动，的值为． 【点睛】本题考查整式的加减运算和数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$