江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷

2025届高三第一次质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合A={1,3,5,7},B={x-x2+4x≥0}，则AnB= A.1,3 B.5,] c.{1,3} D.{5,7} 2.设函数f(x)= log22-)x<1则f0-2+f0og10)- 2 ,x≥1， A.4 B.5 C.6 D.7 “nx>ny”是“F>√”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C。充要条件 D.既不充分也不必要条件 4。当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用1。=，©心表示其 总衰减规律，其中K是消光系数，D(单位：米)是海水深度，1。（单位：坎德拉） 和。（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强。已知某海域5米深处的 光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为 (参考数据：h2≈0.7，n51.6) A.0.2 B.0.18 C.0.1e D.0.14 数学试卷 第1页（共4页） 5. 函数y=了闲的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解折式可能 为 A.y=f0-2) B.y=-0-3) C.y=f4-2x) r D.y=-f(4-2x) 图2 6。今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》。 《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生)，《姥姥的外孙)这5部，小明和小华两位同 学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一 定选看《名债探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为 A.12 B.24 C.28 D.36 。已知x>00,+y,则去产的最小值为 A. B. c.1 D号 8. 若函数了)=宁-m心有两个极值点，则实数口的取值范围是 A.(》 B.(30 c传+ ( 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分。 9. 设a=l0g26,b=1og6 则下列结论正确的有 A.ab<0 B.a+b<0 e1.吉+培 10. 已知随机事件A,B相互独立，且代0-号，8)=则 A.PB)=号 B.P)=0 c. D.P4+-号 数学试卷 第2页（共4页） 山，定义域为R的连续函数)，对任意xyeR,+)+fc-)=/0), 且fx)不恒为0，则下列说法正确的是 A.f(x)为偶函数 B.f(x)+fO)≤0 c.若0=0，则20-2 D.若0为f(x)的极小值点，则fx)的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.2+5引：-2沙的展开式中xy的系数为▲一（用数字作答） 13.已知正方体ABCD-ABCD,的棱长为4，E,F分别是棱AB,AD的中点，则四面体 FAED的外接球的表面积为▲ 14.与曲线y=上和曲线y=-nx-2均相切的直线的方程为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与 “当年的月份”线性相关。根据统计得下表： 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y 12 21 33 41 52 63 (1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程=10x+1,请估计当 年7月份该品牌的空调可以销售多少台？ (2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月 平均销量的月份的个数，求X的分布列和数学期望， 数学试卷 第3页（共4页） 16.(15分) 量高制90s 如图，在三棱柱ABC-4BC中，侧面MB,A,BCCB均为正方形，AB=BC=2, AB⊥BC,D是AB的中点， A (1)求证：BC∥平面ADC: B (2)求二面角D-AC-A的余弦值， 17.(15分) 已知函数f四=n2x+2x+c-. 分 (1)证明：曲线y=fx)是中心对称图形： 的日 (2)若f(2m-1)+f(m)<4,求实数m的取值范围. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是量方形PAL底面ABCD,PA=AD=3, F是棱PD的中点，E是棱DC上一点. (1)求证：AF⊥EF: 2)者直线即与平面F所成角的正弦值为票 求点B到平面AEF的距离 19.(17分) 已知函数x)=e[x2-(a+2)x+a+3小 (1)讨论fx)在区间(2，+可)上的单调性： (2)若)在(0,2)上有两个极值点五· ①求实数a的取值范围： ②求证：f)/)<4e2 数学试卷 第4页（共4页） 数学试卷 第5页（共4页）2025届高三第一次质量监测 数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 2 3 4 5 > O D B B 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9 10 u ACD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.40 13.29元 14.y=-ex 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 【解】(1)由统计数据可得，x=1+2+3±4+5+6=3.5， 6 =2+21+33+41+2+63=37. …2分 6 又同归直线过样本中心点（侯，习， 所以37=10x3.5+1,得1=2， 所以=10r+2. …4分 当x=7时，乎=72， 所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台： …6分 (2)因为下=37，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4,5,6， 所以X=0,1,2,3 P=0)-S= P(x-1)-CC9 C20 P(x=)= …10分 所以X的分布列为： X 0 1 P 20 2 2 20 高三数学参考答案第1页（共7页） 数学试卷 第1页（共7页） 所以E(X)-0动+1*易+2易+3x动-号 …13分 16.(15分) 【解】(1)连结AC,交AC于E,连结DE, 在三棱柱ABC-AB,C中， B 侧面ACC,4是平行四边形， 所以E是AC的中点 …2分 因为D是AB的中点， 所以DE∥BC· D *…4分 因为DEc平面ADC,BC文平面ADC, 所以BC∥平面ADC. *…6分 (2)因为侧面ABBA,BCCB均为正方形， 所以BB⊥AB,BB⊥BC. 因为AB,BCC平面ABC,AB∩BC=B, 所以BB⊥平面ABC. …8分 (方法一)所以三棱柱ABC一4B,C是直三棱柱，侧面ACC4⊥底面ABC. 过点D作AC的垂线，垂足为F,过点F作AC的垂线，垂足为G,连结DG, 因为DFc平面ABC,平面ACC4∩平面ABC=AC, 所以DF⊥平面ACCA· 所以FG是DG在平面ACC4上的射彩，FG⊥AC, 所以DG⊥AC, 所以∠FGD是二面角D-4C-A的平面角. …10分 因为侧面ABBA,BCCB均为正方形，AB=BC=2,AB⊥BC, 高三数学参考容案第2页（共7页》 数学试卷 第2页（共7页） 所以44=2,4C=2反，所以DF=巨 在直角△CFG中，CF=32 2 sim∠FcG=5 所以FG= 2 所以在直角△FGD中，DG=√反， FG 所以cosLFGD=是=7 所以二面角4-DC-A的余弦值为 …15分 2 (方法二)以B为坐标原点，以BC,B,BR 为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系。 因为AB=BC=2, B 侧面ABB4,BCC,B均为正方形， 所以A4=2,AC=√2. 所以C(2,0,0),，D0,1,0),A0,2,2) 所以CD=(-2,1,0),4D=(0,-1,-2). …10分 设平面4DC的法向量%=(x,y,), 则由。 41C历：即%C⑦-2x+y=0可取4=0,2，- …12分 H⊥4D,m4D=-y-2z=0, 取平面ADC的法向量n2=1,1,0). …13分 设=二面角4-DC-4的大小为8(0<0<受)， 则m0-4斗价石高万号 所以二面角4一DC一A的余弦值为兰， …15分 高三数学参考答案第3页（共7页） 数学试卷 第3页（共7页） 17.(15分) 【解】(1)函数fx)的定义域(0,2)， …2分 f+/2-0=n2六+2x+-+h2+22-+0- =加2六2+2+20-训[-+0-门 =0+4+0 =4. 5分 所以曲线y=f(x)关于点0,2)对称. …7分 2）f=2+2+36-0=2+2+36x-. 因为x∈(0,2)， 2 2 x2-x) 京=2， x+(2-x) 2 所以f()=x2-) 2。+2+3x-102>0: 所以fx)在定义域(0,2)上单调递增. …10分 (方法一)又fx)关于点0.2对称，f(2m-1)+fm)<4, 2m-1+m<2, 所以0<2m-1<2, …13分 0<m<2, 解得<m<1 …15分 (方法二)因为x)关于点1,2对称， 所以g(x)=f(x+)-2是奇函数，且在区间(-1,1)上单调递增. 由f(2m-1)+f(m)<4,即f2m-)-2<-[f(m)-2] 即g(2m-2)<-g(m-) 所以g(2m-2)<g1-m), 2m-2<1-m, 所以{-1<2m-2<1, …13分 -1<1-m<1, 解得号<m<1. …15分 离三数学参考答案第4页（共7页） 数学试卷第4页（共7页） 18.(17分) 【解】(I)在正方形ABCD中，有AD⊥CD, 又PA⊥底而ABCD,CDc平面ABCD, 所以PA⊥CD. …2分 因为AD4P=A,AD,APC平面PAD, 所以CD⊥平南PAD. …4分 因为AFC平面PAD,所以CD⊥AF. 又PA=AD,F是棱PD的中点， 所以AF⊥PD. 因为CDOPD=D,CD,PDc平面PDC, 所以AF⊥平面PDC. …6分 因为EFc平面PDC, 所以AF⊥EF …7分 (2)如图，以A为原点，以AB,AD,AP为 一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系。 则BB.0.0.P0,0.3F0.2引 所以证-0，是引丽=（←3.0功 …9分 设Em,3,0),0≤m≤3，则A正=(m,3,0). 设平而AEF的法向量为n=c,”功 则m正=0即+y=0, 即 …11分 m*AF=0'by+:=0, 取x=3,得n=(3,一m,m)。 所以直线BP与平面AEF所成角的正弦值为 sin cos<PB,n>= PBn_-9+3m22 PB322m+9 11 …13分 化简得m2一22m十21=0，即(m一1Xm一21)=0， 所以m=1或m=21(舍去). …15分 所以1,3,0)，n=(3,-1,1): 离三数学参考答案第5页（共7页） 数学试卷 第5页（共7页） 又AB=(3,0,0) 所以点B到平面ABF的距离历m面 11 …17分 19.(17分) 【解】(1)fx)=e2-ar+1),x∈(2，+) 若a≤房则2-ar+1≥p-多+1>2”-×2+1=0， 所以f(x)>0,所以f)在区间(2，十)上单调递增。 …3分 若a>记g网=2-ar+1,则g@=1>0,g(2)=5-2a<0,g(@)=1>0. 所以g国在区间2，+国)上有唯一零点士山三马 2 且当xe2.h 2 时，g)<0,f)<0,f)单谓递减， 当中三，+，R份>0>0，四单调适城 综上所述：当a≤时，f)在区间2，十)上单调递增： 当a>时，f区间2， a+ya-4 2 上单调递减， fx)在区间 士三十小单调递增 …6分 2 (2)①因为fx)在(0,2)有两个极值点， 所以g(x)=x2一ar+1在(0,2)有两个不等零点x,2: A=d2-4>0 所以 0<号2 ,解得2<a< *…10分 8(0)=1>0 g(2)=5-2a>0 ②由①知x1十x=a,x0=1. (方法一)x2=a-1,x2=a3一1 所以fm)=e[x2-(a+2)m+a+3】 =e[ar1-1-(a+2n+a+3] =e(-2x1+a+2). 同理f)=c(-2x2+a+2). 所以fm/(=c+(-2x+a+2(-2n+a+2) 高三数学参考答案第6页（共7页） 数学试卷 第6页（共7页） 数学试卷第7页（共7页） =e+[4x-2(a+2m+x)+(a+2)月 =c4-2(a+2a+(a+2] =e8-a2, …15分 设h=e8-x∈么，引 所以h)=-e气x十4)x-4)<0, 所以函数h:在区间么，到上单调递减。 所以h)<h(2)=4e2, 所以fx/64e2 …17分 (方法二) f/x2)=e+2-(a+2m+a+3j2-(a+2r2+a+3] =e+2-(m十十2n十1十x+3]2-(m十+22十++3) =c+n-n+2(x1一x2十2) =e+4-x-x门 =e+x4-1十x+4r] =e(8-d) …15分 下同解法一 高三数学参考答案第7页（共7页） 数学试卷 第8页（共7页）