精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试题 （1）

2024-2025九年级上数学适应性练习（1） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A. 正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 3. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 4. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 如图，若≌，则点Q应是图中的（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 如图，中，，于D，若，则的长是( ) A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（　　） A. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B. 两个矩形一定相似 C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D. 相似三角形一定不是全等三角形 8. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，若，，则的值为__________． 12. 如图，和是位似三角形，点O是位似中心，且，，，则__________． 13. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比为_______． 15. 如图，在四边形中，于点，，且，当，时，线段的长度为______． 16. 如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是________. 三、解答题（86分） 17. 计算：． 18. 如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，AD＝2，求AB及BC的长． 21. 如图，点C、D在线段上，是等边三角形，且． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 中，，，将绕点A逆时针旋转后至． （1）求的度数； （2）若，线段与，分别交于、，求的长． 24. 如图1，在锐角中，D、E分别是中点，点F为上一点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2，求证：． 25. 已知抛物线y = mx2 -(1- 4 m)x + c过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1)． （1）求抛物线的解析式； （2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）． ①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标； ②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证： = ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025九年级上数学适应性练习（1） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、相似三角形的相似比；根据相似三角形的性质及相似比的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即相似比为； 故选：A． 2. 下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A. 正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，错误，故不符合题意； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故符合题意； C、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，错误，故不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，错误，故不符合题意； 故选：B． 3. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：16， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 4. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解∶∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得 ，即， 解得：EF=6， 故选：C． 5. 如图，若≌，则点Q应是图中的（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质判断即可； 【详解】∵≌， ∴点Q应是图中的D点，如图所示； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，准确分析判断是解题的关键． 6. 如图，中，，于D，若，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，利用面积法求出，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选D． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B. 两个矩形一定相似 C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D. 相似三角形一定不是全等三角形 【答案】A 【解析】 【分析】A中等于100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似；B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似；C中等于45°的角可以是等腰三角形的顶角或底角；D中两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等；进而判断选项的正误． 【详解】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要求； B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求； C中等于45°的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为；当为底角时，三角分别为，故这两个等腰三角形不相似，故错误，不符合要求； D中当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等，故错误，不符合要求； 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 8. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质解答即可 【详解】解：∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比， ∴， ∴， 即， ∴， ∴a：b=：1． 故选A． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边成比例． 9. 如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握正方形中的全等模型和相似模型是解题的关键．先证明，得出，再证明，即可得，将、转化为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，得到，．作于，先证明出，利用性质建立等式解出，利用勾股定理求出，再根据，利用相似比求出面积即可． 【详解】解：设，则，． 作于， 则． 所以． 所以， 即， 解得． 于是，． 所以， ． 又， 所以． 因此． 所以． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据，即可判断出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，和是位似三角形，点O是位似中心，且，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得出位似比，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是位似三角形，点O是位似中心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，利用勾股定理解得的长即可解题． 【详解】解：∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， 相似比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，在四边形中，于点，，且，当，时，线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】在AB上截取AM=AD=3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，证明△ABD∽△ACE和△AMN∽△ABC，求出相关边长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，过作交于点，把绕逆时针旋转得，连接， 则，，， ∴， 又∵于点，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形边角关系等，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 16. 如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是________. 【答案】1 【解析】 【分析】因∠AEF＝90°得∠AEB＋∠FEC＝90°，在Rt△ABE中∠BAE＋∠CEF＝90°，根据同角的余角相等得∠BAE＝∠FEC，可证明△ABE∽△ECF；由相似三角形的性质和二次函数可求点G到AD距离的最大值是1． 【详解】解：设BE＝x，FC＝y， ∵EF⊥AE， ∴∠AEB＋∠FEC＝90°， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90° ∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∴△ABE∽△ECF（AA）， ∴， 即， , ∵点G到AD距离就是FC的长度， ∴点G到AD距离的最大值是1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质和二次函数最值等相关知识；重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值． 三、解答题（86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方，再去绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、去绝对值等知识．把握运算顺序和正确的计算是解决本题的关键． 18. 如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD． 【答案】 证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， ∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF， 即AE=FC， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． ∴AB=CD． 【解析】 【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则进行计算，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：原式 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 20. 如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，AD＝2，求AB及BC的长． 【答案】AB＝2.5，BC＝ 【解析】 【分析】首先利用相似三角形的对应边的比相等求得AB的长，然后利用勾股定理求得BC的长即可 【详解】∵△ABC∽△ACD ∴ ∵AC＝，AD＝2 ∴ 解得：AB＝2.5 ∵∠D＝90° ∴∠ACB＝∠D＝90° ∴ 【点睛】考查了相似三角形的性质，了解相似三角形对应边的比等于相似比是解答本题的关键，难度不大 21. 如图，点C、D在线段上，是等边三角形，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵ ∴， 即， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这两方面知识是解题的关键． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，从而结论得证； （2）由相似三角形的性质及三角形角的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴ ． 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可； （2）由（1）得，则得；再由可求得，；再由（1）中，即可求得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）有， 即， ∴， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即． 23. 中，，，将绕点A逆时针旋转后至． （1）求的度数； （2）若，线段与，分别交于、，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键． （1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可； （2）过点作于点，作于点，利用等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质得出，，，结合，求出，得，再利用和分别是等腰直角三角形和含角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转知：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，作于点， 由旋转知，，， ∴，， ∴，，， ∴， 得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在锐角中，D、E分别是中点，点F为上一点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵D、E分别是中点， ，； ∴； ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴． 【解析】 【分析】（1）由得，结合得，由等边对等角即可求证； （2）由D、E为中点及证明四边形为平行四边形，得；再证明，由相似三角形的性质得，从而证得结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形中位线性质定理及平行线的性质，证明三角形相似是解题的关键． 25. 已知抛物线y = mx2 -(1- 4 m)x + c过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1)． （1）求抛物线的解析式； （2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）． ①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标； ②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证： = ． 【答案】（1） （2）①， ②证明：由题意知，点D在第四象限，点E在第二象限 设OD的解析式为y=kx，，，则 联立 消去y得关于x的一元二次方程 由题意知，是此一元二次方程的两个实数根 由根与系数的关系可得：， ∴， ∴ 即 过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，如图 则DN∥FM∥OG ∴， ∵ ， ∴ 即 ∴ = 【解析】 【分析】（1）把(0，−1)代入解析式中得c的值，再由(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称且关于y轴对称，可知抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0，从而可求得m，最后得到解析式； （2）①过点D作y轴的平行线交AB于点H；由点A在抛物线上及点A的横坐标可求得点A的坐标，从而求得直线AB的解析式，联立直线解析式与二次函数解析式，可求得点B的坐标，从而可求得△ABC的面积；设点D的坐标为，则可得点H的坐标，从而求得DH的长，由，即可求得n的值，从而求得点D的坐标； ②由题意知，点D在第四象限，设OD的解析式为y=kx，，，联立OD的解析式与二次函数解析式，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得及的值，从而可得及的值，可得；过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，则由平行线分线段成比例定理可得：，，由可证结论成立． 【小问1详解】 把(0，−1)代入解析式中，得c＝−1 ∵(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称，且又关于y轴对称 ∴抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0 ∴ 故所求函数解析式为 【小问2详解】 过点D作y轴的平行线交AB于点H，如图 ∵点A在抛物线上，点A的横坐标4 ∴ ∴点A的坐标为(4，3) 设直线AB的解析式为y=ax，把点A坐标代入得： 即直线AB解析式为 联立与二次函数，即 消去y，得 解得（舍去） ∴ 即点B的坐标 ∵OC=1 设点D的坐标为，则可得点H的坐标为 ∴ ∵ ∴ 即 ∴DH=1 即 解得n=3，n=0(舍去) 当n=3时， ∴点D的坐标为 ②略 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程及二元方程组，一元二次方程根与系数的关系，平行线分线段成比例定理，割补法求图形面积等知识，这里尽管设了D、E的坐标，但没有求出其坐标，这是一种设而不求的重要方法，本题有较大的运算量，对运算能力提出了较高的要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $