精品解析：2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(六)

2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（六） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 如图是某次劳技课上小明同学绘制了一个几何体的三视图，这个几何体属于（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 3. 毕业晚会上魔术师取出如图所示的7张扑克牌，将其背面朝上放在桌面上打乱顺序，若主持人从中随机抽取一张牌，抽到的花色可能性最大的是（ ） A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块） 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 6. 湖南省是我国矿产资源最为丰富的省份之一，素以“有色金属之乡”和“非金属矿之乡”著称．在已探明储量的矿产中，石煤、铋、锑、铌 （褐钇铌铁砂矿）、铍 （氧化铍）、普通萤石、玻璃用白云岩、海泡石粘土等8种矿产保有资源储量居全国第一位．年产矿石总量2.73亿吨，工业总产值299.79亿元．2.73亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 从某校随机抽取7名同学进行调查，测得身高分别为：175，160，158，155，186，151，170（单位：）．则这组调查数据的中位数是（ ） A. 160 B. 158 C. 155 D. 175 8. 已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边的长可能为（ ） A. B. C. D. 9. 某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（ ） A. B. C. D. 10. RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_________________． 12. 某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为________________． 13. 如图所示平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值：____________． 14. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ___________． 15. 为深入学习贯彻习近平文化思想，认真落实习近平总书记关于文化和旅游工作的重要论述精神，更好发挥公共图书馆对推动公共文化服务高质量发展的重要作用，月日上午，以“城市是一本打开的书”为主题的“书香长沙·岳麓山阅读”年世界读书日暨公共图书馆服务宣传周系列活动启动式在湘江新区举行．甲、乙两同学分别从距离活动地点米和米的两地同时出发，参加宣传活动．已知甲同学的速度是乙同学的速度的倍，但乙同学仍比甲同学提前分钟到达活动地点．根据上述条件可以计算出乙同学的速度是_____________米秒． 16. 小明在主题公园游玩时发现某个项目有三个巨大的正六边形广告牌，其简化图如图1所示，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧广告牌不动，如图2所示，将中间广告牌抽出并重新摆放后，其中，中间广告牌的上下两条边与直线平行，有两边分别经过两侧广告牌的一个顶点．则图2中：中间广告牌的中心到直线的距离为 ____（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 19. 今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，、两点分别为活动入口和出口．且点在一水平海岸线（如图所示）上，测得，，从点出发按方向前进20米到达点，即米，测得，，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离． 20. 某校计划组织学生前往个国家级红色景区（以下简称景区）中的个进行研学活动．这个景区为：．韶山市毛泽东纪念馆；．平江县平江起义旧址；．华容县湘鄂西革命根据地；．怀化市红军长征通道会议旧址；．安化县云台山景区．数学兴趣小组针对该研学活动的意向目的地开展抽样调查，并出具了调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择个意向前往的景区）． （1）求本次被抽样调查的学生人数； （2）若该校总的学生数量为人，请你估计该校意向前往平江县平江起义旧址的学生人数． （3）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求甲、乙两名同学选择同一景区的概率． 21. 在如图所示平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 22. 2024年是我国开展全民义务植树活动43周年，3月12日是第46个植树节．今年长沙全民义务植树宣传主题是：履行植树义务，共建美丽长沙．某学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗共200棵，已知购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元；购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元． （1）求本次活动购买的每棵甲、乙树苗的价格； （2）假设本次植树活动所种的所有树苗全部存活，若干年后平均每棵树的价值均为原来树苗价格的100倍，本次植树活动要想获得不低于5万元的总价值，请问甲种树苗种植数量不得多于多少棵？ 23. 如图，为直角三角形的外接圆，为直径，外一点在的延长线上，直线与垂直，垂足为，且满足等式． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）设面积为，的面积为．若，，求常数的值． 24. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． （1）设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； （2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； （3）在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 25. 在平面直角坐标系中，A为x轴上一点，以为半径作交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦的距离． （1）求弦下方圆内阴影部分的面积； （2）如图1所示，若圆心O到弦的距离，求C点的坐标； （3）如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得，四边形的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（六） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是关键．根据乘积为1的两个数互为倒数求解． 【详解】解：∵． ∴2024的倒数是． 故选：A． 2. 如图是某次劳技课上小明同学绘制了一个几何体的三视图，这个几何体属于（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据三视图判定即可． 【详解】根据该几何体的三视图可得，这个几何体属于球， 故选：A． 3. 毕业晚会上魔术师取出如图所示的7张扑克牌，将其背面朝上放在桌面上打乱顺序，若主持人从中随机抽取一张牌，抽到的花色可能性最大的是（ ） A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块） 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可．本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：有7张扑克牌，且黑桃为1张、红心为3张、梅花为1张、方块为2张， ∴抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为， 抽到花色可能性最大的是红心． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A，根据合并同类项可判断B，根据平方差公式可判断C，根据积的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，不是同类项，不能合并，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键． 5. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向． 故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 6. 湖南省是我国矿产资源最为丰富的省份之一，素以“有色金属之乡”和“非金属矿之乡”著称．在已探明储量的矿产中，石煤、铋、锑、铌 （褐钇铌铁砂矿）、铍 （氧化铍）、普通萤石、玻璃用白云岩、海泡石粘土等8种矿产保有资源储量居全国第一位．年产矿石总量2.73亿吨，工业总产值299.79亿元．2.73亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】2.73亿用科学记数法可以表示为． 故选：C． 7. 从某校随机抽取7名同学进行调查，测得身高分别为：175，160，158，155，186，151，170（单位：）．则这组调查数据的中位数是（ ） A. 160 B. 158 C. 155 D. 175 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义计算即可得出答案，熟练掌握中位数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：151，155，158，160，170，175，186，处在中间位置的为160，故中位数为160， 故选：A． 8. 已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：为等腰三角形， 为或， ， ， 故选：B． 9. 某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据给出的式子得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个单项式为， 故选：C． 10. RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故答案为：． 12. 某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值：____________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到k的值，从而得结论． 【详解】若反比例函数经过，则， 若反比例函数经过，则 ∴若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点， 则 ∴ 故答案为：4（答案不唯一）． 14. 将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：新几何体的表面积， 故答案为： 15. 为深入学习贯彻习近平文化思想，认真落实习近平总书记关于文化和旅游工作的重要论述精神，更好发挥公共图书馆对推动公共文化服务高质量发展的重要作用，月日上午，以“城市是一本打开的书”为主题的“书香长沙·岳麓山阅读”年世界读书日暨公共图书馆服务宣传周系列活动启动式在湘江新区举行．甲、乙两同学分别从距离活动地点米和米的两地同时出发，参加宣传活动．已知甲同学的速度是乙同学的速度的倍，但乙同学仍比甲同学提前分钟到达活动地点．根据上述条件可以计算出乙同学的速度是_____________米秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙同学的速度是米秒，根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米秒，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前分钟到达活动地点，即可列式求解． 【详解】解：设乙同学的速度是米秒， ∵甲同学的速度是乙同学的速度的倍， ∴甲同学的速度是米秒， 分秒， 根据题意得：， 解得：（米秒）， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：乙同学的速度是米秒， 故答案为：． 16. 小明在主题公园游玩时发现某个项目有三个巨大的正六边形广告牌，其简化图如图1所示，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧广告牌不动，如图2所示，将中间广告牌抽出并重新摆放后，其中，中间广告牌的上下两条边与直线平行，有两边分别经过两侧广告牌的一个顶点．则图2中：中间广告牌的中心到直线的距离为 ____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、三角函数、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意推出，证四边形为矩形、，分别求出、即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵该多边形是正六边形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴； 则 由正六边形结构特征可知：,, ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，绝对值的化简，立方根，锐角三角函数，计算即可， 本题考查零指数幂，绝对值的化简，立方根，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 19. 今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，、两点分别为活动入口和出口．且点在一水平海岸线（如图所示）上，测得，，从点出发按方向前进20米到达点，即米，测得，，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 如图，过作于，由，设，则，可得，而，可得，结合，即，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，即， 设，则， ∴，而， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：A、B两点间的距离为500米． 20. 某校计划组织学生前往个国家级红色景区（以下简称景区）中的个进行研学活动．这个景区为：．韶山市毛泽东纪念馆；．平江县平江起义旧址；．华容县湘鄂西革命根据地；．怀化市红军长征通道会议旧址；．安化县云台山景区．数学兴趣小组针对该研学活动的意向目的地开展抽样调查，并出具了调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择个意向前往的景区）． （1）求本次被抽样调查的学生人数； （2）若该校总的学生数量为人，请你估计该校意向前往平江县平江起义旧址的学生人数． （3）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求甲、乙两名同学选择同一景区的概率． 【答案】（1）人 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）用选的学生人数除以所占百分比即可得解 （2）用乘以选的学生所占百分比即可得解； （3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学选择同一景区的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，本次被抽样调查的学生人数为； 【小问2详解】 解：该校意向前往平江县平江起义旧址的学生人数为 （人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择同一景区的结果有种． ∴． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体、列举法或树状图法求概率等知识．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及画树状图是解题的关键． 21. 在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，    由（1）知，， ， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 2024年是我国开展全民义务植树活动43周年，3月12日是第46个植树节．今年长沙全民义务植树宣传主题是：履行植树义务，共建美丽长沙．某学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗共200棵，已知购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元；购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元． （1）求本次活动购买的每棵甲、乙树苗的价格； （2）假设本次植树活动所种的所有树苗全部存活，若干年后平均每棵树的价值均为原来树苗价格的100倍，本次植树活动要想获得不低于5万元的总价值，请问甲种树苗种植数量不得多于多少棵？ 【答案】（1）甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵 （2）不得多于棵 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元；购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元”列出方程组，可求解； （2）设甲种树苗种植数量为m棵，则乙种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得： ， 解得：， 答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元； 【小问2详解】 解：设甲种树苗种植数量为m棵，则乙种树苗数量为棵， ∴， 解得：， ∴的最大整数解为100． 答：甲种树苗种植数量不得多于100棵． 23. 如图，为直角三角形的外接圆，为直径，外一点在的延长线上，直线与垂直，垂足为，且满足等式． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）设的面积为，的面积为．若，，求常数的值． 【答案】（1）与相切，理由见解析过程 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可证，即可求解； （2）设，则，由相似三角形的性质可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 与相切； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 设，则， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． （1）设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； （2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； （3）在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】（1）的解析式为；的解析式为； （2）①；②的解析式为，图象见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式； （2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果． 【小问1详解】 设解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； 【小问2详解】 ①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示： 【小问3详解】 ∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，A为x轴上一点，以为半径作交y轴于B，点C为第三象限的圆上一点，如图1所示，已知圆心到弦的距离． （1）求弦下方圆内阴影部分的面积； （2）如图1所示，若圆心O到弦的距离，求C点的坐标； （3）如图2所示，C点坐标同第（2）问，P是x轴下方的一个动点，使得，四边形的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，面积最大值为， 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质，求出,根据弦下方圆内阴影部分的面积即可求解； （2）设C为，由，求得，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可； （3）分点P在上和点P在与等半径同弦的上，利用四边形的面积公式以及相似三角形的判定和性质即可求解， 本题考查了坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵经过圆心O点，D是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴弦下方圆内阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：∵， ∴E是的中点， ∴，设C为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵C在第三象限， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ①当P点在上，此时不构成四边形，不符合题意， ②P点在如图所示的上（与是等圆）， 当点P在的延长线上时，四边形面积最大，此时，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积最大值为， 综上所述四边形面积最大值为， 过点P作轴于点G， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$