第02章 简单事件的概率 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 简单事件的概率 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是5 D．画一个三角形，其内角和是360° 2．下列事件中，确定事件是（　　） A．打开电视机的新闻频道，它正在播新闻 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．掷一枚硬币，正面向上 D．早晨太阳从西方升起 3．下列事件是必然事件的是（    ） A．在平面上任意画一个三角形，其内角和是 B．打开电视机正在播放广告 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．元旦是星期一 4．某事件发生的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．每做次实验，该事件必发生次 B．做次实验，该事件必发生次 C．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 D．实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于 5．下列三个事件：①明天，上海会下雨；②将汽油滴入水中，汽油会浮在水面上；③任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上；④方程有两个不相等的实数根，其中必然事件是（    ） A．②④ B．①③④ C．④ D．② 6．将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（    ） A．不太可能件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 7．下列说法正确的是（    ） A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式 B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3 C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.1，0.9，则乙组数据比甲组数据更稳定 D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 8．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 9．黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当时，黄豆发芽的频率是，所以黄豆发芽概率为；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为；③若时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（    ） 每批粒数 30 60 100 500 1000 3000 5000 发芽的粒数 28 58 97 479 957 2844 4752 发芽的频率 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．某校七年级新生分为4个班，则该校七年级新生小亮和小红兄妹二人被分到同一个班的概率是 ． 12．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000条，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为30%，则水塘有鲢鱼 条． 13．在四张背面完全相同的卡片正面分别画有正三角形，正六边形、平行四边形和圆，将这四张卡片背面朝上放在桌面上．现从中随机抽取一张，抽出的图形是中心对称图形的概率是 ． 14．从﹣1、1、2三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3中的k值，则所得一次函数中y随x增大而减小的概率是 ． 15．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 16．一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 摸到红球的频数 摸到红球的频率 估计袋中红球的个数是 ． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生授“阅读之星”的称号．初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表一所示： 表一 阅读册数 0 1 2 3 4 5 学生数 20 18 27 70 12 3 (1)平均每位学生阅读课外书籍多少册？ (2)已知小明阅读5本课外书籍，小红阅读4本课外书籍，小亮和小刚均只读一本课外书籍．现从中随机抽取两人进行采访，记事件A为：这两人均获得“阅读之星”的称号．求事件A的概率． 18．为了提高学生的汉字书写能力，某学校连续举办了几届汉字听写大赛，今年经过层层选拔，确定了参加决赛的选手，决赛的比赛规则是每正确听写出1个汉字得2分，满分是100分，下面是根据决赛的成绩绘制出的不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图． 类别 成绩x分 频数（人数） A 50≤x＜60 5 B 60≤x＜70 7 C 70≤x＜80 a D 80≤x＜90 15 E 90≤x＜100 10 请结合图表完成下列各题 （1）表中a的值为　 　，并把频数分布直方图补充完整； （2）学校想利用频数分布表估计这次决赛的平均成绩，谐你直接写出平均成绩； （3）通过与去年的决赛成绩进行比较，发现今年各类人数的中位数有了显著提高，提高了15%以上，求去年各类人数的中位数最高可能是多少？ （4）想从A类学生的3名女生和2名男生中选出两人进行培训，直接写出选中1名男生和1名女生的概率是多少． 19．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________； (2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算． 20．五一假期，芳芳和丽丽两家一起开车去秦岭动物园玩，到了秦岭动物园停车场，发现停车场还有四个停车位空闲（如图所示），停车场规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若芳芳家的车先停，则芳芳家的车停在1号车位的概率为______； (2)芳芳和丽丽家的车先后停到车位上，请用树状图或列表法求这两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率．（芳芳家的车记为车，丽丽家的车记为车） 21．某中学为丰富学生活动，开展了党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，圆心角______度，并补全条形统计图； (2)已知某中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ (3)若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 22．某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：      （1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为________； （2）补全图2频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由； （4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率． 23．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校计划为学生提供四类在线学习方式：A．在线阅读、B．在线听课、C．在线答疑、D．在线讨论，为了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的人数有 　　人； （2）该校有学生2000人，估计选择“在线答疑”的人数为 　　； （3）同学小李和小张都参加了远程网络教学活动，请用树状图或列表法求小李和小张选择同一种学习方式的概率． 24．2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年以来，中国航天捷报频传，见证我国加快建设航天强国的坚实步伐．爱好航天科技的晓伟同学收集了如图1所示的4张卡片，准备选择2张送给好朋友旭东，他设计了如图2所示的两个可以自由转动的转盘①和②（每个转盘被分成4个面积相等的扇形区域），同时转动两个转盘，转盘均停止转动时，记下每个转盘中指针所指扇形区域上的数（如果指针指到分割线上，那么就取指针右边扇形区域上的数）．若记下的两个数之积为0，则将两张卡片送给旭东；反之，若记下的两个数之积不为0，则将两张卡片送给旭东． (1)转动转盘①一次，转盘停止转动后，指针指向的数为偶数的概率为______； ．神舟十八号    ．中国空间站 ．鹊桥二号     ．嫦娥五号 (2)请用列表法或画树状图的方法，求晓伟将两张卡片送给旭东的概率. 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【点睛】本题考查了确定事件．解决本题的关键是理解确定事件就是一定发生，或一定不发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 3．下列事件是必然事件的是（    ） A．在平面上任意画一个三角形，其内角和是 B．打开电视机正在播放广告 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．元旦是星期一 【答案】A 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、在平面上任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； B、打开电视机可能正在播放广告，也可能不正在播放广告，是随机事件，不符合题意； C、任意一个一元二次方程可能有实数根，也可能没有实数根，是随机事件，不符合题意； D、元旦可能是星期一，也可能不是星期一，是随机事件，不符合题意； 故选A． 4．某事件发生的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．每做次实验，该事件必发生次 B．做次实验，该事件必发生次 C．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 D．实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率的意义是解题关键.，利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、每做次实验，该事件必发生次，错误，故本选项不符合题意； B、做次实验，该事件必发生次，错误，故本选项不符合题意； C、无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，符合概率意义，故本选项符合题意； D、实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于，错误，故本选项不符合题意； 故选C． 5．下列三个事件：①明天，上海会下雨；②将汽油滴入水中，汽油会浮在水面上；③任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上；④方程有两个不相等的实数根，其中必然事件是（    ） A．②④ B．①③④ C．④ D．② 【答案】D 【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件，即可求解． 【详解】解：①上海明天不一定下雨，属于随机事件； ②水的密度大，油都飘在水面上，属于必然事件； ③可能反面朝上，属于随机事件； ④△=（-3）2-4×1×4＜0，方程没有实数根．是不可能事件． 故选：D． 【难度】本题考查了必然事件的概念，掌握必然事件的概念及判断是解题的关键． 6．将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（    ） A．不太可能件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 【答案】D 【分析】根据相应事件的定义进行求解即可． 【详解】解：2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸6个球， 若摸到所有的红球与白球共5个，一定还会摸到1个黑球， 若摸到所有的白球与黑球共5个，还会摸到1个红球， 若摸到所有的红球与黑球共4个，还会摸到2个白球， 所以从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件． 故选D． 【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，难度适中． 7．下列说法正确的是（    ） A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式 B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3 C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.1，0.9，则乙组数据比甲组数据更稳定 D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 【答案】A 【分析】本题考查调查方式，众数、平均数、方差等统计量，概率的意义．根据调查方式，众数、平均数、方差等统计量与概率的意义分别判断即可． 【详解】解：A选项：由于检测灯泡的质量具有破坏性，故检测一批灯泡的质量，应采用抽样调查的方式，故本选项的说法正确，符合题意； B选项：这组数据中，2和5出现的次数最多，故众数为2，5， 平均数， 故本选项的说法错误，不合题意； C选项：甲、乙两组数据的方差分别是0.1，0.9，由于方差越小，数据的波动性更小，甲组数据比乙组数据更稳定，故本选项的说法错误，不合题意； D选项：“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性为，故本选项的说法错误，不合题意． 故选：A 8．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得游戏转盘共8等份，阴影部分占5等份，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： 指针落在阴影部分的概率是； 故选D． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 9．黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当时，黄豆发芽的频率是，所以黄豆发芽概率为；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为；③若时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（    ） 每批粒数 30 60 100 500 1000 3000 5000 发芽的粒数 28 58 97 479 957 2844 4752 发芽的频率 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.95，由于试验次数较多，可以用频率估计概率． 【详解】解：①当时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；此推断错误； ②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；此推断正确； ③若时，估计黄豆发芽的粒数约为．此结论正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 10．如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】除了点A、点B以外，共有23个点，再在其中找出顶点C使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求出答案． 【详解】解：如图所示，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的顶点C有9个， 所以恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率为， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，概率的计算，理解概率的定义是正确解答的前提，掌握等腰三角形的判定是得出正确答案的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．某校七年级新生分为4个班，则该校七年级新生小亮和小红兄妹二人被分到同一个班的概率是 ． 【答案】 【分析】假设共有1、2、3、4班，得出两个人被同时分配到1班的概率，又因为有四个班级可选择，故可得到两人同班的概率． 【详解】解：假设共有1、2、3、4班， 则小亮被分配到1班的概率为：，小红被分配到1班的概率为：， ∴两个人被同时分配到1班的概率为：， 又∵共有4个班级，除了被同时分在1班，小亮、小红还可同时被分配到2班、3班、4班， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了事件的概率，解题的关键在于对事件进行拆解，先计算两个人被分在1班的概率，再推广到两个人分配在同一班的概率． 12．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000条，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为30%，则水塘有鲢鱼 条． 【答案】7000 【详解】试题分析：∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000条， 一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为30%， ∴鲤鱼出现的频率为70%， ∴水塘有鲢鱼有10000×70%=7000条． 故答案是7000． 考点：利用频率估计概率． 13．在四张背面完全相同的卡片正面分别画有正三角形，正六边形、平行四边形和圆，将这四张卡片背面朝上放在桌面上．现从中随机抽取一张，抽出的图形是中心对称图形的概率是 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此， ∵正三角形，正六边形、平行四边形和圆中，是中心对称图形的有圆、平行四边形、正六边形3个， ∴从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为：． 14．从﹣1、1、2三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3中的k值，则所得一次函数中y随x增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】从-1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=-1?x+3是y随x增大而减小的，函数y=1?x+3和y=2?x+3都是y随x增大而增大的，所以符合题意的概率为． 【详解】解：P（y随x增大而增大）=． 故本题答案为：． 【点睛】概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数的比例系数大于0，y随x的增大而增大． 15．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4， ∴击中黑色区域的概率＝＝． 故答案是：． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 16．一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 摸到红球的频数 摸到红球的频率 估计袋中红球的个数是 ． 【答案】5 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出红球的概率，进而求出红球的个数即可． 【详解】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数附近， ∴“摸到红球”的概率的估计值是． ∴估计袋中红球的个数是个． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生授“阅读之星”的称号．初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表一所示： 表一 阅读册数 0 1 2 3 4 5 学生数 20 18 27 70 12 3 (1)平均每位学生阅读课外书籍多少册？ (2)已知小明阅读5本课外书籍，小红阅读4本课外书籍，小亮和小刚均只读一本课外书籍．现从中随机抽取两人进行采访，记事件A为：这两人均获得“阅读之星”的称号．求事件A的概率． 【答案】(1)册 (2) 【分析】本题考查了加权平均数的计算，画树状图法求概率，熟练掌握公式和画树状图是解题的关键． (1)根据加权平均数的计算公式，计算求解即可． (2)根据画树状图法，计算求解即可． 【详解】（1）根据公式，得（册）， 答：平均每位学生阅读课外书籍2.3册． （2）根据题意，小明阅读5本课外书籍，小红阅读4本课外书籍，这两人均获得“阅读之星”的称号．画树状图如下： 一共有12种等可能性，事件A有2种等可能性， 故事件A的概率是． 18．为了提高学生的汉字书写能力，某学校连续举办了几届汉字听写大赛，今年经过层层选拔，确定了参加决赛的选手，决赛的比赛规则是每正确听写出1个汉字得2分，满分是100分，下面是根据决赛的成绩绘制出的不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图． 类别 成绩x分 频数（人数） A 50≤x＜60 5 B 60≤x＜70 7 C 70≤x＜80 a D 80≤x＜90 15 E 90≤x＜100 10 请结合图表完成下列各题 （1）表中a的值为　 　，并把频数分布直方图补充完整； （2）学校想利用频数分布表估计这次决赛的平均成绩，谐你直接写出平均成绩； （3）通过与去年的决赛成绩进行比较，发现今年各类人数的中位数有了显著提高，提高了15%以上，求去年各类人数的中位数最高可能是多少？ （4）想从A类学生的3名女生和2名男生中选出两人进行培训，直接写出选中1名男生和1名女生的概率是多少． 【答案】（1）13，图见解析；（2）78.5；（3）去年各类人数的中位数最高可能是8；（4） . 【分析】（1）用E点的频数除以该组的频率得到调查的总人数，然后计算a的值，最后补全频数分布直方图； （2）取组中值表示各组的平均数，然后根据加权平均数的计算方法求解； （3）根据中位数的定义得到今年各类人数的中位数为10，然后计算10÷（1+15%）≈8.7，利用人数为整数确定去年各类人数的中位数最高； （4）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷＝50， 所以a＝50﹣5﹣7﹣15﹣10＝13； 故答案为13； 频数分布直方图为： （2）平均成绩＝（5×55+7×65+13×75+15×85+10×95）＝78.5； （3）今年各类人数的中位数为10， 10÷（1+15%）≈8.7， 而人数为整数，今年各类人数的中位数比去年提高了15%以上， 去年各类人数的中位数最高可能是8； （4）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的结果数为12， 所以选中1名男生和1名女生的概率＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 19．新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________； (2)若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算． 【答案】(1) (2)摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解； （2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率． 【详解】（1）解：∵，， ∴当抽中时，由能判断，①符合题意； 当抽中时，由能判断，②符合题意； 当抽中时，由不能判断，④不符合题意； ∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种 能证明概率是， 故答案为：； （2）解：补全树状图，如图， ∵， ∴当抽中①，②，不能判断； 当抽中①，③，能判断； 当抽中①，④，能判断； 当抽中②，①，不能判断； 当抽中②，③，能判断； 当抽中②，④，能判断； 当抽中③，①，能判断； 当抽中③，②，能判断； 当抽中③，④，不能判断； 当抽中④，①，能判断； 当抽中④，②，能判断； 当抽中④，③，不能判断； 共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个， ∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 20．五一假期，芳芳和丽丽两家一起开车去秦岭动物园玩，到了秦岭动物园停车场，发现停车场还有四个停车位空闲（如图所示），停车场规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若芳芳家的车先停，则芳芳家的车停在1号车位的概率为______； (2)芳芳和丽丽家的车先后停到车位上，请用树状图或列表法求这两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率．（芳芳家的车记为车，丽丽家的车记为车） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或者列表法求解概率，解题的关键是： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，停车位共有4种情况，停在1号车位是其中一种， 故概率为． 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车都停在序号为奇数的车位上的结果数有2种， 两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率为． 21．某中学为丰富学生活动，开展了党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，圆心角______度，并补全条形统计图； (2)已知某中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ (3)若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 【答案】(1)50，144，条形图见解析 (2)480人 (3) 【分析】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图相结合，样本估计总体，求扇形统计图相关项目圆心角，画条形统计图等知识，正确画出树状图是解题的关键． （1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，用优异的人数除以总人数，求出成绩优秀的人数，即可补全统计图； （2）由总学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：（人）， 则圆心角， 成绩优秀的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50，144； （2）（人）， 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种， 恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为． 22．某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：      （1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为________； （2）补全图2频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由； （4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率． 【答案】（1）50，36%；（2）见解析；（3）能获奖．理由见解析；（4） 【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“59.5～69.5”这两组所占的百分比，然后计算出“79.5～89.5”所占的百分比； （2）根据“69.5～79.5”所占的百分比可求得“69.5～74.5”的人数，根据“79.5～89.5”所占的百分比可求得“79.5～84.5”的人数，从而补全统计图； （3）计算出前40%有20人，恰好落在“84.5～99.5” 这一范围，从而可判断他能获奖； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）“89.5～99.5”的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和24%， ∴总人数为：(人)， “59.5～69.5”的人数是5人，所占百分比是：， ∴“79.5～89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%， 故答案为：50，36%； （2）∵“69.5～79.5” 的人数是：5030%=15(人)， ∴“69.5～74.5”的人数是：15-8=7(人)， “79.5～89.5” 的人数是：5036%=18(人)， ∴“79.5～84.5”的人数是：18-8=10(人)， 补全条形图如图所示： （3）能获奖．理由： 因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为（人） 由频数直方图可得84.5～99.5这一范围人数恰好人， 又，所以能获奖； （4）画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种， 所以P（一男一女为主持人）． 答：恰好选中一男一女为主持人的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 23．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校计划为学生提供四类在线学习方式：A．在线阅读、B．在线听课、C．在线答疑、D．在线讨论，为了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的人数有 　　人； （2）该校有学生2000人，估计选择“在线答疑”的人数为 　　； （3）同学小李和小张都参加了远程网络教学活动，请用树状图或列表法求小李和小张选择同一种学习方式的概率． 【答案】（1）100；（2）400人；（3）见解析， 【分析】（1）由“在线阅读”的人数及其所占百分比可得本次调查的总人数； （2）先根据四种方式的总人数为100求出“在线答疑”的人数，再用总人数乘以样本中“在线答疑”人数所占比例即可； （3）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）本次调查的人数有25÷25%＝100（人）， 故答案为：100； （2）∵样本中选择“在线答疑”的人数为100﹣（25+40+15）＝20（人）， ∴估计选择“在线答疑”的人数为2000×＝400（人）， 故答案为：400人； （3）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，则可画树状图如下： 共有16种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种， 则小李和小张选择同一种学习方式的概率是． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图分析，画树状图计算概率，解决本题的关键是要熟练掌握分析条形统计图和扇形统计图和画树状图计算概率的方法. 24．2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年以来，中国航天捷报频传，见证我国加快建设航天强国的坚实步伐．爱好航天科技的晓伟同学收集了如图1所示的4张卡片，准备选择2张送给好朋友旭东，他设计了如图2所示的两个可以自由转动的转盘①和②（每个转盘被分成4个面积相等的扇形区域），同时转动两个转盘，转盘均停止转动时，记下每个转盘中指针所指扇形区域上的数（如果指针指到分割线上，那么就取指针右边扇形区域上的数）．若记下的两个数之积为0，则将两张卡片送给旭东；反之，若记下的两个数之积不为0，则将两张卡片送给旭东． (1)转动转盘①一次，转盘停止转动后，指针指向的数为偶数的概率为______； ．神舟十八号    ．中国空间站 ．鹊桥二号     ．嫦娥五号 (2)请用列表法或画树状图的方法，求晓伟将两张卡片送给旭东的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握简单概率计算公式和正确作出树状图是解题关键． （1）根据简单概率计算公式求解即可； （2）根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【详解】（1）解：转动转盘①，指针指向1、2、3、4区是等可能情况， ∴转动转盘①一次，转盘停止转动后，指针指向的数为偶数的概率为； （2）根据题意画出树状图如下， 一共有16种等可能的情况，两数之积不为0的情况有12种， 所以，晓伟将两张卡片送给旭东的概率为． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$