重庆市第八中学校2024—2025学年上学期九年级开学考数学试题

重庆八中2024—2025学年上期初三年级入学考试 数 学 试 题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3. 作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B 铅笔完成； 4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一 、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑. 1.下列有理数中最小的数是 A.-2 B.0 C.2 D.4 2. 甲骨文，又称“契文”“甲骨卜辞”“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”,是迄今为止中国发现的年 代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文中，一 定不是轴对称图形的是 第1页共6页 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 3.反比例函数 的图象一定经过的点是 A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,-4) 4.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°,则∠2的度数为 A.35° B.45° C.55° D.25° 5.若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的面积比为1:16,则AB 与 DE 的比是 A.1:4 B.1:8 C.1:16 D.1:32 6.下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个。,第②个 图形中共有8个。,第③个图形中共有15个。,..,则第⑧个图形中●的个数为 A.63 B.64 C.80 D.81 7.估计 √ 8+ √ 18的值在 A.4 到5之间 B.5 到6之间 C.6 到7之间 D.7 到 8 之 间 8. 如图，等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4, 将 △ABC 沿射线AB 平移 √ 2 个单位，得到△A'B'C', 连 接BC', 则 △A'BC 的面积是 A.6 B.6√2 C.12 D.12√2 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接BE, 过 点E 作 EF⊥BE, 交 DA的延长线于点F,AE=4√2,AF=2, 则 BE 的长为 A.2√ 10 B.4√3 C.6 D.2√ 13 8题图 9题图 13题图 10 . 已知关于x 的整式 M:ax⁴+bx³+cx²+dx+e, 其 中a,b,c,d,e 为整数，且a<b< c<d<e, 下列说法： ①M 的项数不可能小于等于3; ② 若e=0, 则 M 可能分解为一个整式的平方； ③ 若a+b+c+d+e =18, 且 a,b,c,d,e 均为正整数，则满足条件的M 共 有 4 个 . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二 、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 11.因式分解：ab²-4a= 12.如果一个多边形的每一个内角都为135°,那么这个多边形的边数为 _ 13.反比例函数 的图像如图所示，若△PO0 的面积是3,则k 的值为 14.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在0.75,则袋中红球有 个 . 15.某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 16. 已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组 有 解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 第2页共6页 学科网（北京）股份有限公司 17.如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A=60°,AB=6, 且 AB>AD, 点 E、F、G 分 ( 则 GF = )别为线段CD、BC、AD 上的点，∠GEF=120°,DE=4, 17题图 18.我们规定：若一个四位正整数M=abcd 能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧 数”.例如：因为1000=256²-254²,所以1000是“智慧数”.按照这个规定，1002 “智 慧数”(填“是”或者“不是”).若智慧数 M是 偶 数 ，a+b=5,c+d=8, 且满足两 位 数ba 与两位数cd 的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 三 、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上. 19 . 计算： (1)(a-2b)²+a(a+4b); 20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C 作CM⊥AD 交AD 延长线于点M, 过点C 作CN⊥AB 交AB 于 点N, (只保留作图痕迹) (2)在(1)所作的四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°,AC 平分∠BAD, 求证：CD=CB 证明： ∵AC 平分∠BAD 且CM⊥AD,CN⊥AB ∴ ① 且∠CNB=∠CMD=90° ∵在四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180° ∴∠B+∠ADC=180° 又∵∠ADC+∠CDM=180° ② =∠B ∴△CDM≌△CBN( ③ ) ∴CD=CB 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征.请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此 对角线平分为相等的那两个小角 ④ 第3页共6页 学科网（北京）股份有限公司 21. 巴黎奥运会上，乒乓球项目非常受国人的关注.某学校为了解该校学生对乒乓球项目的 关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对乒乓球 项目的关注与了解程度就越高.现从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测试得 分进行整理和分析(得分用x 表示，且得分为整数，共分为5组，A 组：0≤x<60,B 组：60≤x<70,C 组：70≤x<80,D 组：80≤x<90,E 组：90≤x≤100),下面给出 了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48,62,79,95,88,70,88,55,74, 87,88,93,66,90,74,86,63,68,84,82; 九年级被抽取的学生测试得分中C 等级包含的所有数据为：72,77,78,79,75; 第4页共6页 学科网（北京）股份有限公司 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 80.5 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中： a= b= C= ; 九年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对乒乓球项目的关注与了 解程度更高?请说明理由(一条理由即可); (3)若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试 得分在C 组的人数一共有多少人? 22.近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试。为了推进项目进行，现 需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车。已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 . (1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元； (2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆? 23. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 交于点O, 且 AO 的 长 为 9 , ∠AOB=60°, 动 点P,Q 分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A, 点 B 出 发 ， 点P 沿 A→0→C 方向运动，点Q 沿折线B→0→D 方向运动，当点P 到达点C 时 ，P,Q 两点停止运动.设运动时间为t 秒，点P,Q 两点间的距离为y. (1)请直接写出y 关 于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当点P,Q 两点距离小于5个单位长时，t 的范围 . (结果保 留一位小数) 2 4 . 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 某 工 厂 的 平 面 图 ， 经 测 量 AB=BC=AD=80 米 ， 且 ∠ABC=90°,∠DAB=135°. (参考数据： √ 2≈1.41, √ 3≈1.73) ( 1 ) 求CD 的长；(结果精确到1米) (2)若直线AB 为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D 处 安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为40 √ 6米， 求被监控到的道路长度为多少米? 25. 已知反比例函数 直线l:y=kx+m(k≠0), 直 线l₁与反比例函数交于点 A(a,4),B(-2,b ), 与 x 轴交于点C. (1)求直线l₁的解析式； ( 2 ) 过 点C 作x 轴的垂线l₂,l₂ 上有一动点M, 过 点M 作y 轴的垂线段与y 轴交于点N, 连 接AM,BN, 求 AM+MN+NB 的最小值和此时M 点的坐标； (3)在(2)问的前提下，当AM+MN+NB 取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q 在坐标轴上有一动点P, 若 ∠PAC=∠QCA, 求 点P 的坐标，并写出其中一种情况的 过程。 第5页共6页 学科网（北京）股份有限公司 图 1 备用图 26. 在△ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC,BC 绕 点C 顺时针旋转角度α(0°<a<360°) 得 到 DC. (1)如图1,若α=30°,连接 AD交 BC 于 点E, 若 AC=6, 求 DE 的长； (2)如图2,若0°<α<90°,CF 平分∠BCD 交AD 于点F, 连接BF, 过点C 作CG⊥AD, 在射线CG 上取点G 使得∠BGC=45°, 连 接BG, 请用等式表示线段CG 、CF 、BF 之 间的数量关系并证明； ( 3 ) 如 图 3 , 若BC=8, 点 P 是 线 段AB 上 一 动 点 ， 将CP 绕 点P 逆时针旋转90°得到QP, 连接AQ,M 为AQ 的中点， 当2CM+CQ 取得最小值时，请直接写出△ABM 的面积. 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 图 1 图 2 图 3 $$重庆八中2024一2025学年上期初三年级入学考试 数学试题 (全卷共三个大题,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项: 1. 试题的答案书写在答题卡上,不得在试题卷上直接作答: 2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项; 3. 作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成; 4. 考试结束,由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代 号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑。 1. 下列有理数中最小的数是 C. 2 A.-2 B.0 D.4 甲骨文,又称“契文”“甲骨卜辞”“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”,是迄今为止中国发现的年 代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉,下列甲骨文中,一 定不是轴对称图形的是 A. B. C D. 3.反比例函数y-- -6的图象一定经过的点是 { C.(2,-3) B.(23) A.(-3,-2) D.(-2.-4) 4. 如图,把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若乙1=55*,则2的度数为 A.35o B.45o C. 55o D.25o 5. 若AABCADEF,A4BC与ADEF的面积比为1:16,则AB与DE的比是 C. 1:16 A.1:4 B.1:8 D. 1:32 6. 下列图形都是用同样大小的·按一定规律组成的,其中第①个图形中共有3个·,第②个 图形中共有8个·,第③个图形中共有15个·,.,则第⑧个图形中·的个数为 4题图 ① ② ③ A. 63 B.64 C. 80 D. 81 7. 估计8+18的值在 A. 4到5之间 B.:5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 第1页 共6页 8 如图,等腰直角三角形ABC,ACB=90*,AC-BC-4,将△ABC沿射线AB平移2 个单位,得到△A'B'C”,连接BC”,则△A'BC的面积是 B. 6V2 C. 12 A.6 D. 122 9. 如图,已知四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接BE,过点E作EF1BE, 交D4的延长线于点F,AE=42,AF=2,则BE的长为 B.43 A. 210 C. 6 D. 2V13 B B 9题图 8题图 13题图 10. 已知关于x的整式M:ax +bx+cx2}+dx+e,其中a,b,c,d,e为整数,且a<b< c<de,下列说法: ①M的项数不可能小于等于3; ②若e一0,则M可能分解为一个整式的平方 ③若a十b十c十d十e=18,且a,b,c,d,e均为正整数,则满足条件的M共有4个 其中正确的个数是 B.1 C. 2 A.0 D.3 二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 11.因式分解:ab2-4a= 12. 如果一个多边形的每一个内角都为135,那么这个多边形的边数为 14. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球,这些球除颜色不同外其余均相同, 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回,经过很多次重复试验,发现摸到黄球的 频率稳定在0.75,则袋中红球有个. 15. 某新开业的商场地下共有三层停车库,已知最底层开了80盏灯,每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x倍,三层停车库共开了380盏灯,则x的值为 [4y3(y-2) 有 2-x 2_)-1 _d 2 解且至多5个整数解,则所有满足条件的整数a的值之和为 第2页 共6页 $7. 如图,在平行四边形ABCD中,乙A=60^,AB=6,且AB>AD,点E、F、G 分 DG 别为线段CD、BC、AD上的点,ZGEF-120*,DE=4, _-4:则GF-__. C2 1 C 17题图 18. 我们规定:若一个四位正整数M=abcd能写成两个正整数的平方差,则称M为“智慧 数”.例如:因为1000=2562-2542,所以1000是“智慧数”,按照这个规定,1002 “智 慧数”(填“是”或者“不是”),若智慧数M是偶数,a+b-5,c+d一8,且满足两 位数ba与两位数cd的和为完全平方数,则满足条件的正整数M的值为 三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分)解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上 19.计算: (1)(a-2b))+a(a+4b); (2) 2-2x+1 -1 20. 学习了四边形后,小明同学想继续探素对角互补的的四边形特征,请根据他的思路完成 以下作图与填空: (1)用直尺和圆规,过点C作CM1AD交AD延长线于点M,过点C作CN1AB交AB 于点N,(只保留作图痕迹) (2)在(1)所作的四边形ABCD中,BAD+BCD=180*,AC平分 BAD,求证:CD=CE 证明: ·:AC平分BAD 且CM1AD, CNIAB 日.CNB=CMD-90o .在四边形4BCD中,乙BAD+BCD=180 ..乙B+乙A/DC=180 又:·乙ADC+CDM-180* ② 6=乙B ③ .△CDM2△CBN( B .CD-CB 小明同学进一步研究发现,对角互补的四边形,若对角线平分一个内角,则均有以上特 征,请你依照题意完成下面结论:对角互补的四边形,若对角线平分一个内角,则被此 对角线平分为相等的那两个小角④. 第3页 共6页 21. 巴黎奥运会上,乒乓球项目非常受国人的关注,某学校为了解该校学生对乒兵球项目的 关注与了解程度,对全校学生进行问卷测试,得分采用百分制,得分越高,则对兵乓球 项目的关注与了解程度就越高,现从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测试得 分进行整理和分析(得分用x表示,且得分为整数,共分为5组,4组:0<x<60,B 组:60<x<70,C组:70<x<80,D组:80<x<90,E组:90<x\<100),下面给出 了部分信息: 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为:48,62,79,95,88,70,88,55,74, 87,88,93,66,90,74,86,63,68,84,82; 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为:72,77,78,79,75; 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 九年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 E . A 八年级 77 80.5 10%15% 89 九年级 B D 30% 心 % 根据以上信息,解答下列问题: (1)上述图表中:a=__,b=__,c=__; (2)根据以上数据,你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对兵兵球项目的关注与了 解程度更高?请说明理由(一条理由即可): (3)若该校八年级有学生600人,九年级有学生800人,估计该校这两个年级的学生测试 得分在C组的人数一共有多少人? 22. 近日,无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试。为了推进项目进行,现 需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车。已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元. (1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元; (2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆,且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元,求最多可以购进甲车多少辆? 23. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AO的长为9,乙AOB=60, 动点P,Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A,点B出发,点P沿 A→O→C方向运动,点Q沿折线B→O→D方向运动,当点P到达点C时,P,C 两点停止运动,设运动时间为:秒,点P,O两点间的距离为y. 阳~n+_~一 D 0 第4页 共6页 (1)请直接写出v关于:的函数表达式并注明自变量/的取值范围 (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质 (3)结合函数图象,直接写出当点P,O两点距离小于5个单位长时,1的范围,(结果保 留一位小数) 24. 如图,四边形ABCD为某工厂的平面图,经测量AB=BC=AD=80米,且 ABC=90”,DAB=135*.(参考数据:2~1.41,3~1.73) (1)求CD的长;(结果精确到1米) (2)若直线AB为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D处 安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况,已知摄像头能监控的最远距离为40\6米, 求被监控到的道路长度为多少米? C D 25. 已知反比例函数y- 2 A(a,4),B(-2.b):与x轴交于点C. (1)求直线/的解析式 (2)过点C作x轴的垂线/.,7.上有一动点M,过点M作v轴的垂线段与v轴交于点N 连接AM,BN,求AM+MN+NB的最小值和此时M点的坐标; (3)在(2)问的前提下,当AM+MN+NB取得最小值时,作点M关于x轴的对称点 在坐标轴上有一动点P,若乙PAC=OCA,求点P的坐标,并写出其中一种情况的 过程. y 图1 备用图 第5页。 共6页 26. 在△ABC中, ACB=90,AC=BC,BC绕点C顺时针旋转角度q(0<C<360)得 到DC. (1)如图1,若g三30{,连接AD交BC于点E,若AC=6,求DE的长; (2)如图2,若0<a<90,CF平分/BCD交AD于点F,连接BF,过点C作CG1AD 在射线CG上取点G使得 BGC-45*,连接BG,请用等式表示线段CG、CF、BF之 间的数量关系并证明: (3)如图3,若BC=8,点P是线段AB上一动点,将CP绕点P逆时针旋转90得到OP, 连接AO,M为AO的中点,当2CM+CO取得最小值时,请直接写出。ABM的面积. G .D 图1 图2 图3 第6页 共6页数学答案 出“动 横 咳 AA u而 是 30 10响 邓 1% /0 明 58 乃年上地 吸家大形配羽取心吧两为40小√6不， 841分 4题 花△中无刺分) 作鉴.（缺竹都) 近似值（忘取分） (2) 1b0米 @和米 场6咪都绵粉 )司五分 ()5分 打制分 8积8米 l西粘衣千点 极厚6行住、 6.42 译△Ae旺试：在RtoA中。I D22, (1:万不做辅物浅背不扣分 伦生强间书马)、 (2)· 4並⊥(5+肝6) 女∠心e4°上，年不份分 (a吓4) t3)、S格m=8 第6页共6页 B G D 好 D E F 6 M M A 降： 图16 图2 4).D飞=2万 (2)· 61:4(4温期折国) (3). Acp-9点国 ?GB2△T0(M) )5吓+T=0G