第11讲 直线与圆锥曲线综合（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第11讲 直线与圆锥曲线综合 【人教A版2019】 模块一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 2．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 3．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与圆锥曲线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式1.1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式1.2】（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【题型2 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】 【例2.1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式2.2】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 圆锥曲线中的弦长问题 1．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·浙江·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 【变式3.2】（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【题型4 双曲线的弦长问题】 【例4.1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2024·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4.1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【变式4.2】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【题型5 抛物线的弦长问题】 【例5.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例5.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，弦的长是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【变式5.2】（23-24高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【题型6 圆锥曲线中的面积问题】 【例6.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． (1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； (2)求四边形的面积的最大值． 【例6.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为. (1)求； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值. 【变式6.1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 【变式6.2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【题型7 圆锥曲线中的向量问题】 【例7.1】（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【变式7.1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【变式7.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）设点， 分别是椭圆: 的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 4．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 6．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为的直线与抛物线交于、两点(在轴上方)，过点、作准线的垂线，垂足分别为、 线段中点为， 四边形和四边形的面积分别记为，则 （    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ）    A． B． C．若AD，BC的斜率分别为，，则 D．若的面积为，则的面积为 二、多选题 9．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 10．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 11．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若时，则的面积是 三、填空题 12．（2024高二上·江苏·专题练习）直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 13．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 14．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，已知抛物线：，点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则 ． 四、解答题 15．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 16．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 18．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 19．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与曲线相交于两点，直线，过点作，垂足为，设点为坐标原点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与圆锥曲线综合 【人教A版2019】 模块一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 2．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 3．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与圆锥曲线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【解题思路】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【解答过程】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【解题思路】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 【题型2 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】 【例2.1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案. 【解答过程】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 【例2.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【解答过程】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．， C．， D．， 【解题思路】根据抛物线方程求得点坐标，设过点的直线方程与抛物线方程联立消去，根据判别式大于等于0求得的范围. 【解答过程】， ，为准线与轴的交点），设过点的直线方程为. 与抛物线有公共点， 方程组有解， 即有解. △，即. ， 故选：C. 【变式2.2】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案. 【解答过程】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 模块二 圆锥曲线中的弦长问题 1．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【解答过程】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二上·浙江·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出欧拉线的方程，联立方程，表示出弦长，求出最值即可. 【解答过程】因为，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点, 当斜率不存在时，被椭圆截得的弦长为2； 当斜率存在时，设方程为，直线与椭圆的交点为, 与椭圆方程联立可得， 则，； 令，则，且； ， 因为，所以，所以当时，即，取到最大值，最大值为. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 【解题思路】（1）先得到，即，从而得到，求出离心率； （2）变形得到椭圆方程为，直线为，两方程联立，求出，由弦长公式列出方程，求出，求出. 【解答过程】（1）令，依题意可得上顶点，左，右焦点分别为， 所以， 又， 所以，即，即， 所以， 所以离心率； （2）由（1）可得，则椭圆方程为， 直线的方程为， 联立，整理可得， 解得或， 则，即， 所以，所以， 解得，所以． 【变式3.2】（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据题意求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 【题型4 双曲线的弦长问题】 【例4.1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【解答过程】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【例4.2】（2024·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可. 【解答过程】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D. 【变式4.1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 【变式4.2】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 【题型5 抛物线的弦长问题】 【例5.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【解答过程】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B. 【例5.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，弦的长是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】设点，则，确定得到直线方程，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可. 【解答过程】设点，弦AB所在直线的方程为， 则. 点在抛物线上，，故， ，即，故弦所在直线的方程为. ，整理得，所以. 所以， 得，即， 得，解得. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【解题思路】（1）设点，点，利用点差法即可求得直线方程的斜率，从而解决问题． （2）由（1），联立直线方程和抛物线方程，消元得一元二次方程，再结合根系数的关系和弦长公式即可得解. 【解答过程】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 【变式5.2】（23-24高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【解题思路】(1)根据题意可知曲线C的轨迹为抛物线，进而可知，即可得轨迹方程； (2)设直线方程为，联立直线与抛物线方程借助韦达定理求得弦长的表达式，解出，进而得直线方程. 【解答过程】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等， 所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），， 所以曲线C的轨迹方程是； （2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在， 设直线方程为，代入曲线C方程整理得， 设，则， ， 所以直线方程为，即或． 【题型6 圆锥曲线中的面积问题】 【例6.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． (1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； (2)求四边形的面积的最大值． 【解题思路】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率； （2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）由可知,椭圆上顶点为，即, 直线的斜率为，则直线的方程为：， 将其代入整理得，，解得，或， 因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：； （2） 如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和， 利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半. 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为 代入，整理得：，显然， 设，则， 于是， ， 点到直线的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时. 【例6.2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为. (1)求； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值. 【解题思路】（1）设抛物线上的动点为，则，根据二次函数的性质，找出最小值，得到的值. （2）先设直线，与抛物线联立计算得到，设平行线的方程为，与抛物线联立令，得到，计算到的距离，求得面积公式，算出范围即可. 【解答过程】（1）设抛物线上的动点为， ， 因为的最小值为，且时，， 故可知，且， 解得舍. （2）由（1）知，抛物线方程为， 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，    代入，可得， 则， 所以 . 设平行线的方程为， 将代入， 可得，当时，， 则，即， 所以点到直线的距离为： ， 故 ， 当时，取得最小值，此时. 【变式6.1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 【解题思路】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程； （2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为， 所以， 又焦点到渐近线的距离为1，即，所以， 又，所以，，则双曲线的方程为； （2）由（1）可得，， 则直线的方程为， 设，，，，由题意可知，， 由的面积是面积的倍，可得，即， 所以， 由，消去，可得，解得， 由，消去，可得，解得， 由，可得，解得或（舍去）， 当时，，符合题意， 所以直线的斜率为. 【变式6.2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【解题思路】（1）由题意，利用点到直线的距离公式及之间的关系求出的值，进而可得椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可. 【解答过程】（1）设椭圆焦距为， 由题意可得，有①， 又因为直线方程为， 所以②， 联立①②解得：，， 故椭圆方程为. （2）①当斜率不存在时，易知； ②当斜率存在时，设， ，， 由，得， 显然， 所以， 因为， ， 所以， 因为， 又， 设，则， 解得且， 所以， 综上可得的取值范围为． 【题型7 圆锥曲线中的向量问题】 【例7.1】（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【解答过程】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 【例7.2】（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解. 【解答过程】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式7.1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【解题思路】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可. （2）（ⅰ）设，，，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 联立结合韦达定理得到，． 同理，．再结合向量运算即可解决. （ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解. 【解答过程】（1）设C的方程为，其中． 由C过A，B两点，故，，解得，． 因此C的方程为． （2）（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2．    因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由，得， 所以， ． 因此． 同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为． 由，得， 所以， ， 因此 ． 则，即存在，满足． （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为， 所以点P到直线MN的距离． 而， 所以的面积为定值． 【变式7.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）设点， 分别是椭圆: 的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可； （2）可设，根据向量的数量积坐标运算即可求出点的坐标； （3）向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程. 【解答过程】（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，， 椭圆上的点到点的距离的最小值为，， 解得，椭圆的方程为； （2）由（1）可得，， 由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，， ，， ，，即， 解得，，； （3）向量与向量平行，，由题意， 又，，即， 设，，，，， ，， ， ，，， ， ，，， 解得，或（舍去）， ， ，， ，直线的方程为， 即为. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【解答过程】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B. 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【解答过程】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 4．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知：，设，，根据向量共线可得，结合椭圆方程运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：，可知， 设，，则， 因为，可得，整理得， 将代入方程可得，解得， 可知B点的横坐标为. 故选：D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【解答过程】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 6．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【解答过程】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C. 7．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为的直线与抛物线交于、两点(在轴上方)，过点、作准线的垂线，垂足分别为、 线段中点为， 四边形和四边形的面积分别记为，则 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与轴交于点，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再计算面积即可. 【解答过程】抛物线 的焦点为，准线为，设准线与轴交于点， 依题意直线的方程为， 由，解得或， 所以，， 则，，， 所以 ， ， 所以. 故选：D. 8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ）    A． B． C．若AD，BC的斜率分别为，，则 D．若的面积为，则的面积为 【解题思路】根据抛物线定义表示，由条件列方程求可得抛物线方程，判断A，设的方程为，利用设而不求法求，判断B，设，利用设而不求法求，根据直线AD经过点F，确定的关系，利用表示，判断C，求出坐标即可判断D. 【解答过程】当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为，所以点A的横坐标为p，所以，又，所以，故A选项错误； 若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故可设直线AB的方程为，联立化简可得， 方程的判别式， 由已知，为方程的两根， 所以，，，故B选项错误； 设直线CD的方程为，，，联立； 化简可得，方程的判别式， 所以，．， 若直线AD的斜率存在，则，，， 因为直线AD经过点F，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，，所以，选项C正确； 当直线AB垂直于x轴时，易知点，从而， 此时点D在过，两点的直线上，且在抛物线E：上， 从而求出点，从而，从而，故选项D错误． 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【解题思路】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【解答过程】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 【解题思路】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D. 【解答过程】由题意得， ，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为，，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选:BCD. 11．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若时，则的面积是 【解题思路】根据椭圆定义可知的周长为，可判断A正确；联立直线和椭圆方程求出点的坐标，表示出斜率公式即可得，可得B正确；由易知点在以为圆心，半径为的圆上，即可得圆与椭圆有交点，需满足，可得离心率，可知C正确；将代入联立的方程可得的面积，可得D正确. 【解答过程】由可知，； 显然直线过点，如下图所示：    由椭圆定义可知的周长为，所以A正确； 设，中点； 将直线和椭圆方程联立，消去整理可得； 由韦达定理可得，所以， 代入直线方程解得，即； 所以， 可得，所以B错误； 根据B选项，由可得， 可得，即点在以为圆心，半径为的圆上； 又点在椭圆上，即可得圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，所以可得离心率，即C正确； 若时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得； 所以可得； 所以 易知的面积 即可得的面积是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024高二上·江苏·专题练习）直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 【解题思路】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【解答过程】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故m∈． 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【解题思路】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 14．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，已知抛物线：，点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则 ． 【解题思路】根据题意设出，，，可求出直线方程，可求出点坐标，根据可得出点坐标，同时可确认点为的中点，再根据直线，可求解. 【解答过程】由题意知：，设，，， 由，得，所以，故， 所以的方程为，且即． 又因过点，所以，同理， 所以直线的方程为，所以直线过点， 由消去并化简得， 根据韦达定理可知，，所以， 所以．直线的方程为， 所以，即，因为， 所以点为的中点，， 所以，且为的中位线，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 【解题思路】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点； （2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【解答过程】（1）由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，左焦点为. （2）由椭圆，可得，即 当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切； 当时，联立方程组，可得， 即， 则， 所以直线与椭圆相切， 综上可得，直线与椭圆相切. 16．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【解题思路】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以. 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【解题思路】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【解答过程】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 18．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 19．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与曲线相交于两点，直线，过点作，垂足为，设点为坐标原点，求面积的最大值. 【解题思路】（1）设，由题意可得，，利用代入法即可求解； （2）联立直线与曲线的方程，设，则，得出直线的方程，令，结合韦达定理可得，即直线过定点，根据面积公式可得 ，令，则，结合单调性即可求解最大值. 【解答过程】（1）设. 因为，所以，即. 由，得， 所以， 将，代入，得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由得① 设，则， 显然， 所以，即. 因为，所以直线的方程为. 令，得②. 将代入②，得， 故直线过定点，即定点. 在①中，， 所以 . 又直线过定点， 所以 . 令， 则. 又在上单调递增， 所以在上单调递减， 故当，即时，的面积取得最大值，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$